不等式的经典公式和经典例题讲解
不等式的
证明
住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问
规律及重要公式总结
a，b222222(可直接用) 1、a，b,2ab,ab,(),a，b，c,ab，bc，ca2
22a，ba，b2，2、(要会证明) ,,ab,(a,b,R)1122，重ab要
333公3、即可) a，b，c,3abc(a，b，c,0
式 a，b，c3，34、a，b，c,3,abc，; abc,()(a,b,c,R)3
5、， |a|,|b|,|a，b|,|a|，|b|(a,b,c,R)
证明方法 方法一:作差比较法:
1222a，b，c,1 已知:，求证:。 a，b，c,3
1的代换112222222(3a，3b，3c,1),,,,[3a，3b，3c,(a，b，c)] 证:左,右= 331222,[(a,b)，(b,c)，(c,a)],0 3
2a2b2cb，cc，aa，b，a,b,cabc,abc方法二:作上比较法，设a、b、c，且，求证: ,R
abc222左abcabca,ba,cb,cb,ac,ac,ba,bb,cc,aaabbcc 证: ,,,(),(),()b，cc，aa，b右bcaabc
aaa,bab,,1,,,0,(),1 当a>b>0时 bb
aaa,bab,,(0,1),,0,(),1 当0
b还是a0,b>0，且a+b=1，求证:
111254422()()a，b,a，，b，, ? ? 82ab
2222A，BA，BA，BA，B2,,,() 证?由公式:得: 2222
442211a，ba，ba，b22244()[()],,,,a，b, 222168
222()A，BA，BA，B222 证?由() ,,A，B,222
1111a，b11222 ? 左 (*) ,[(a，)，(b，)],[a，b，],(1，)2ab2ab2ab
a，b112 ? ab,(),,,424ab
1252 ? (*)(14) ,，,22
(n，1)(n，2)方法四:放缩法: log,log(n,1)n(n，1)
(n，1) ? n>1， ? log,0n
n(n，2) ? 只要证: log,log,1即可 (n，1)(n，1)
11n(n，2)2n(n，2)2[(log，log)],[log] 左< n，1n，1(n，1)22
2211(n，2n，1)2(n，1)2[(log],[log],1 < n，1(n，1)22
，方法五:分析法:设a，a，b，b，求证:(自证) ,R(a，b)(a，b),aa，bb121211221212
nna，ba，bn(),方法六:归纳猜想、数学归纳法:设，求证:(自证) a,0,b,022
高考数学百大经典例题——不等式性质
概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
不等式
一(不等式的性质:
acbd，,，1(同向不等式可以相加;异向不等式可以相减:若abcd,,,，则
acbd,,,(若abcd,,,，则)，但异向不等式不可以相加;同向不等式不可
以相减;
2(左右同正不等式:同向的不等式可以相乘，但不能相除;异向不等式可
acbd,以相除，但不能相乘:若abcd,,,,0,0abcd,,,,0,0，则(若，
ab则); ,cd
nnab,,03(左右同正不等式:两边可以同时乘方或开方:若，则或ab,
nn; ab,
1111ab,0ab,ab,0ab,4(若，，则;若，，则。如 ,,abab(1)对于实数中，给出下列命题: a,b,c
2222 ?; ?; 若a,b,则ac,bc若ac,bc,则a,b
1122若a,b,0,则, ?; ?; 若a,b,0,则a,ab,bab
ba若a,b,0,则, ?; ?; 若a,b,0,则a,bab
ab11若c,a,b,0,则, ?; ?，则。 若ab,,,ab,,0,0c,ac,bab其中正确的命题是______
(答:?????); (2)已知，，则的取值范围是______ ,,，,11xy13,,,xy3xy,
(答:); 137,,,xy
ca,b,c(3)已知，且则的取值范围是______ a，b，c,0,a
1,,(答:) ,,2,,,2,,
二(不等式大小比较的常用方法:
1(作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果; 2(作商(常用于分数指数幂的代数式);
3(分析法;
4(平方法;
5(分子(或分母)有理化;
6(利用函数的单调性;
7(寻找中间量或放缩法 ;
8(图象法。其中比较法(作差、作商)是最基本的方法。如
1t，1logtlog和(1)设，比较的大小 a,0且a,1,t,0aa22
11t，a,1t,101,,aloglogt,(答:当时，(时取等号);当时，aa22
11t，t,1loglogt,(时取等号)); aa22
21,a，4a,2a,2pa,，p,q(2)设，，，试比较的大小 q,2a,2
pq,(答:);
log32log2(x,0且x,1)(3)比较1+与的大小 xx
4401,,x1,,xx,log32log2log3(答:当或时，1+,;当时，1+,xxx33
4;当时，1+,) x,2log2log32log2xxx3
三(利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到:“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。如
(1)下列命题中正确的是
1 A、的最小值是2 yx,，x
2x，3 B、的最小值是2 y,2x，2
4 C、的最大值是243, yxx,,,,23(0)x
4 D、的最小值是243, yxx,,,,23(0)x
(答:C);
xy(2)若，则的最小值是______ 24，xy，,21
(答:); 22
11(3)正数满足，则的最小值为______ xy,，xy，,21xy
(答:322，);
22abab，，2,,,ab4.常用不等式有:(1)(根据目标不等式左右2211，ab222abc,,abcabbcca，，,，，)a、b、c的运算结构选用) ;(2R，(当且仅当,
bbm，,时，取等号);(3)若，则(糖水的浓度问题)。如 abm,,,0,0aam，
a如果正数、b满足ab,a，b，3，则ab的取值范围是_________
9,，,(答:) ，,
五(证明不等式的方法:比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的
步骤
新产品开发流程的步骤课题研究的五个步骤成本核算步骤微型课题研究步骤数控铣床操作步骤
是:作差(商)后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。).
1111111常用的放缩技巧有: ,,,,,,2nnnnnnnnn，，,,1(1)(1)1
111 kkkk，,,,,,,，11
kkkkk，，,，121
222222a,b,cab，bc，ca,ab，bc，ca如(1)已知，求证: ;
222222(2) 已知，求证:; a,b,c,Rab，bc，ca,abc(a，b，c)
11xy，,,,xy(3)已知，且，求证:; ,abxyR,,,,abxayb，，
(4)若a、b、c是不全相等的正数，求证:
abbcca，，，lglglglglglg，，,，，abc; 222
222222abbc，a,b,c,R(5)已知，求证:; ，,，，caabcabc()
22*(6)若，求证:; (1)1(1)nn，，,，,nN,nn，,1
||||||||abab,，(7)已知，求证:; ||||ab,,||||abab,，
111(8)求证:。 12，，，，,？22223n
六(简单的一元高次不等式的解法:标根法:其步骤是:(1)分解成若干个一次
因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正;(2)将每一个一次因式
的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线;并注意奇穿过
偶弹回;(3)根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。如 fx()
2(1)解不等式。 (1)(2)0xx,，,
(答:或); {|1xx,x,,2}
2(2)不等式的解集是____ (2)230xxx,,,,
(答:或); {|3xx,x,,1}
(3)设函数、的定义域都是R，且的解集为，fx()gx()fx()0,{|12}xx,,
,的解集为，则不等式的解集为______ gx()0,fxgx()()0 ,
(答:); (,1)[2,),,，,:
2(4)要使满足关于的不等式2x,9x，a,0(解集非空)的每一个的值xx
22至少满足不等式x,4x，3,0和x,6x，8,0中的一个，则实数的取值范围是a______.
81[7,)(答:) 8七(分式不等式的解法:分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通
分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用
标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时
可去分母。如
5,x,,11)解不等式( 2xx,,23
(答:); (1,1)(2,3),:
ax,b,0(2)关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式(1,，,)
ax，b,0的解集为____________ x,2
(答:). (,,,,1):(2,，,)八(绝对值不等式的解法:
31|2,x|,2,|x，|1(分段讨论法(最后结果应取各段的并集):如解不等式 42
xR,(答:); (2)利用绝对值的定义;
(3)数形结合;如解不等式|||1|3xx，,,
(答:(,1)(2,),,,，,:) (4)两边平方:如
xR,a若不等式|32||2|xxa，,，对恒成立，则实数的取值范围为______。
4(答:) {}3九(含参不等式的解法:求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键(”注意解完之后要写上:“综上，原不等式的解集是„”。注意:按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集;但若按未知数讨论，最后应求
如 并集.
2(1)若，则的取值范围是__________ ,log1aa3
2a,1(答:或); 0,,a3
2ax(2)解不等式 ,,xaR()ax,1
11a,0a,0a,0(答:时，;时，或;时，{|0}xx,,{|xx,{|xx,0}x,0}aa
或) x,0}
提醒:(1)解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示;(2)不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。
x,2ax,b,0,0如关于的不等式 的解集为，则不等式的解集为x(,,,1)ax，b__________(答:(,1,2))
十一(含绝对值不等式的性质:
ab、0同号或有; ,||||||abab，,，,||||||||abab,,,
ab、0异号或有. ,||||||abab,,，,||||||||abab,,，
2如设，实数满足，求证: a||1xa,,|()()|2(||1)fxfaa,,，fxxx()13,,，
十二(不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题:不等式恒成立问题的常规处理方
式,(常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住
所给不等式的结构特征，利用数形结合法)
1).恒成立问题
DDfxA,若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上 ，，fx,A，，min
DDfxB,若不等式，，在区间上恒成立,则等价于在区间上 fx,B，，max22xy,如(1)设实数满足，当时，c的取值范围是xyc，，,0xy，,,(1)1
______
，21,,，,(答:); ，，
x,4，x,3,axa(2)不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围_____
a,1(答:);
2m,2mx(3)若不等式对满足的所有都成立，则的取值2x,1,m(x,1)
范围_____
71,31，(答:(,)); 22
n，1(,1)na(,1),2，na(4)若不等式对于任意正整数恒成立，则实数的取n
值范围是_____
3(答:); [2,),2
201,,x(5)若不等式对的所有实数都成立，求的xmxm,，，,2210xm取值范围.
1(答:) m,,2
2). 能成立问题
若在区间上存在实数x使不等式成立,则等价于在区间上DD，，fx,A
; fxA,，，max
x若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的DD，，fx,B
.如 fxB,，，min
x,4，x,3,aa已知不等式在实数集上的解集不是空集，求实数的取值R
范围____
a,1(答:)
3). 恰成立问题
若不等式D在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为，，，，fx,Afx,AD;
D若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为，，，，fx,Bfx,BD.
浙公网安备 33021202002483