浅谈高中数学不等式的证明方法

浅谈高中数学不等式的证明方法 浅谈高中数学不等式的证明方法 一(比较法 bb所谓比较法，就是通过两个实数与的差或商的符号(范围)确定与大小关系aa aaaab,,0ab,,0ab,,0b的方法，即通过“，，;或，，”来确定，,1,1,1abbb大小关系的方法，前者为作差法，后者为作商法。 a，ba,0b,0例1 已知:，，求证:. ,ab2 分析:两个多项式的大小比较可用作差法 2a，ba，b,2ab(a,b)证明 ， ,ab,,,0222 a，b故得 ,ab. 2 abbaa,b,0例2 设，求证:. ab,ab 分析:对于含有幂指数类的用作商法 a,b,0， 证明 因为 aa,b,0,1所以 ，. b a,bababa,,而 ， ,,1,,babab,, abbaab,ab故 二(分析法 从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判 定所证的不等式成立，这种方法叫做分析法。 36227，,，例3:求证 证明: ？960,870，,，, 22？为了证明原不等式成立，只需证明 (96)(87)，,， 1525415256，,，即 ， 只需证明 5456,5456,, ？5456,成立 原不等式成立 ？ 运用分析法时，需积累一些解题经验， 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 一些常规思路，这样可以克服无目的的乱碰，从而加强针对性，较快地探明解题途。 三(综合法 从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式，这种证明方法叫做综合法。 112522，ab，,1例4:已知，，求证: ()()ab，，，,abR,,ab2 22222ab，,1证明:? ? 1= ()22()abababab，,，，,， 122 ? ab，,2 11111122新疆王新敞奎屯 又 ? ，,，，,，，,()()(2)28abab 222222ababab 11111252222,，，,48 ? ( ()()()4()abab，，，,，，，，2222abab 四(反证法 从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的，这种证明方法叫做反正法.用反证法证明不等式时，必须将命题结论的反面的各种情形一一导出矛盾这里作一简单介绍。 反证法证明一个命题的思路及步骤: 1) 假定命题的结论不成立; 2) 进行推理，在推理中出现下列情况之一:与已知条件矛盾;与公理或定理矛盾; 3) 由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的; 4) 肯定原来命题的结论是正确的。 例5:已知01,01,01,,,,,,abc，求证:(1),(1),(1),,,abbcca至少有一个小于1等 4 分析:本题从正面考虑情况较多，可考虑选用反证法，“小于等于”的反面是“大于” “至少有一个”的反面是“一个也没有”。 1(1),(1),(1),,,abbcca证明:假设都大于，则 4 ? ? 根据平均值不等式，有 01,01,01,,,,,,abc10,10,10,,,,,,abc (1)11,，ab(1)1(1)1,，,，bcca，同理 ,,,,(1)ab,,,2222242 (1)(1)(1)1113,，,，,，abbcca ？，，,，，,2222222 33?, ，显然矛盾.所以结论成立。 22 五(放缩法 放缩法就是在证明过程中,利用不等式的传递性,作适当的放大或缩小,证明比原不等式更好的不等式来代替原不等式的证明.放缩法的目的性强,必须恰到好处, 同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及.否则不能达到目的。 abcb，，,3例6:设、、是三角形的边长，求证 acbcacababc，,，,，, abc,,b，c,ac，a,ba，b,c证明:由不等式的对称性，不妨设，则 ,, 20cab,,,20abc,,, 且， abcabc，，,,,，,，,3111 ? bcacababcbcacababc，,，,，,，,，,，, 222abcbaccab,,,,,,2a,b,c2b,c,a2c,a,b ,，，,，，,0c，a,bc，a,bc，a,bbcacababc，,，,，, abc，，,3 ? bcacababc，,，,，, 六(数学归纳法 对于含有的不等式，当取第一个值时不等式成立，如果使不等式在nn(n,N) n,k，1时成立的假设下，还能证明不等式在时也成立，那么肯定这个不等n,k(n,N) 式对n取第一个值以后的自然数都能成立. nnn,1n,1，n,Nn,1a，b,ab，ab例7 已知:，，，求证:. a,b,R 22n,2a，b,ab，ab,2ab证明 (1)当时，，不等式成立; kkk,1k,1n,ka，b,ab，ab(2)若时，成立，则 k，1k，1kkkk，1k,1k,1kk，1 a，b,a(a，b),ab，b,a(ab，ab),ab，b kk2k,1kk，1kkk,12kk=ab，ab，(ab,2ab，b),ab，ab，b(a,b),ab，ab， k，1k，1kk即成立. a，b,ab，ab nnn,1n,1根据(1)、(2)，对于大于1的自然数都成立. a，b,ab，abn七(换元法 在证题过程中，以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，使问题的证明达到简 化. 1a，b，c,1ab，bc，ca,例8: 已知:，求证:. 3 111证明 设，，则， a,,tb,,at(t,R)c,，(1，a)t333 111111,,,,,,，，,,，， ab，bc，ca,,t,at，,at，(1，a)t，,t，(1，a)t,,,,,,,,,,,,333333,,,,,,，，,,，， 1122,,(1，a，a)t,, 33 1ab，bc，ca,所以 3 11252222ab，,1例9:已知，求证:。 ()()ab，，,22ab4 22ab，,1本题在前面综合法中证明过，但观察到已知条件中的，可考虑用换元法， 设. ab,,sin,cos,, 2222ab,0ab，,1ab、证明:?， (求证式中分母含) ,302,,,,,,,可设，其中，其中， ab,,sin,cos,,,,,22 于是: 1122()()ab，，22ab 1122(sin)(cos),，，,,22sincos,, 4444sincossincos1，，，,,,, ,22sincos,,4422222sincos(sincos)2sincos1，，,，,,,,,,,22sincos,,222(sincos1)1,，,,,22sincos,, 122,,，(sin21)14 ,12sin2,4 2?当时，分子取最小值，分母取最大值. sin2, 12(1)1,，1125224? ()()ab，，,,221ab4 4 八(利用均值不等式 22ab,均值不等式公式:?(当且仅当时取“”); ,abababababR，,,，,2,(,) ，ab,?(当且仅当时取“”)。 ,abababababR，,,，,2,(,) 均值不等式是高考中一个重要知识点，其变形多，约束条件“苛刻“(一正、二定，三相 等)。 222222例10: 已知a，b，c为不全相等的正数，求证: a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)>6abc. 分析:观察要证不等式的两端都是关于，，的3次多项式，左侧6项，右侧6项，左和abc 右积，具备均值不等式的特征。 2222证明: ? b+c?2bc, a>0, ? a(b+c)?2abc 2222同理，b(c+a)?2bac, c(a+b)?2cab, 又 因为a，b，c不全相等， 所以上述三个不等式中等号不能同时成立， 222222因此 a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)>6abc。 11例11.若，求证: xyxy,0,2,，,，,2xy 11111证明:因为所以 xy,0,,，,，，()()xyxyxy2 1yx ,，，，,(11)22xy yx当且仅当，xy,,1,1，即时等号成立 xy 九(导数法 ,,xf(x),0f(x),0f(x)f(x)当属于某区间，有，则单调递增;若，则单调递减. ,,推广之，若证，只须证及即可. f(x),g(x),(x,(a,b))f(x),g(x)f(a),g(a) xx,0.例 12 证明不等 ， e,1，x xx,,x,0证明 设则故当时，递增;当f(x),0,ff(x),e,1.f(x),e,1,x, ,递减. x,0,f(x),0,f x,0则当时， f(x),f(0),0, x从而证得 e,1，x,x,0. 十(利用柯西不等式 22222adbc,设均为实数，则，当且仅当时成立. abcd,,,()()()abcdacbd，，,， 11例13.若，求证: xyxy,0,2,，,，,2xy 此题在前面用均值不等式解的，也可以用柯西不等式解答。 11111证明: ，,，，()()xyxyxy2 112,,，,,()2xy xy yx,当且仅当，即时等号成立 xy,,1,1xy 不等式知识在高中尤为重要，在学术上也有很大的研究的余地，本文只是浅显的举 例说明了一些关于不等式的内容更深层的知识有待学者继续研究。