不变子群的判别条件

不变子群的判别条件 高海燕 (西北师范大学数学系2003届) 摘  要：不变子群是一类重要的子群，它在群的理论中起着重要的作用.判断一个子 群是否不变子群，除了应用定义外，也可以应用其判别条件，本文在就对这些判别 条件进行归纳，同时证明诸判别条件的等价性并给出一些应用. 关键词：不变子群，陪集，共轭，正规化子，同余关系 一、准备知识 设 是 的一个子群，如果对 ,都有 ,那么，就说 是 的一个不变子群. 记为： . 设 和 是群 中的两个元素，如果在 中至少可找到这样的一个元 素 ，使 ，则称 与 在 中共轭. 3．正规化子：N (H)={g∈G︱H =H}={g∈G︱g Hg=H} 称H在G中的正规化子。 4．同余关系：设集合A中有二元运算，记作乘法，若A的一个等价关系R满足：aRb, cRd acRbd  a,b,c∈A  则称R为A的一个同余关系。 一． 判断一个子群为不变子群的条件，及其证明过程. ㈠．与定义等价的判别条件 1.H G，即 a∈G, 有aH=Ha 2. a∈G,有aHa =H 3. a∈G,有aHa H 4. a∈G, h∈H,有aha ∈H 5. a∈G,有aH Ha 6. a∈G,有H a Ha 7.aHbH=abH, a,b∈G  即两个左陪集的乘积仍是左陪集 8.H在G中的每个左陪集都是一个右陪集 9. a∈G,有a Ha=H 10. a∈G,有a Ha H 11. a∈G, h∈H,有a ha∈H 12. a∈G,有Ha aH 13. a∈G,有H aHa 14.HaHb=Hab, a,b∈G  即两个右陪集的乘积仍是右陪集 15.H在G中的每个右陪集都是一个左陪集 16.以群G之子集H为模的G之剩余类（即陪集）之集合关于陪集之积运算构成群.（即商群存在） 17.H是G的子群，则G中由aRb,当a b∈H，所定义的关系R为同余关系 18.N (H)=G 19.若n∈N，则所属的G的共轭元素C(n) H。即H由G的若干整个的共轭类组成。 证明上述条件的等价性，在此采用两种证法. 证法1： 证明思路：2←→9，3←→10，4←→11，5←→12，6←→13，7←→14，8←→15 8          17 ↓↑        ↓↑ 18 ←→ 1 →  2 →  3 →  4 →  5 →  6 →  1 ←→ 19 ↓                ↑    ↑          ↓ 7 →  →  → →  →      ← ← ← ←16 证明过程： 2 9: a∈G,有aHa =H, 故a (aHa )a=a Ha a Ha=H 9 2: a∈G,有a Ha=H, 故a(a Ha)a =aHa aHa =H 3 10: a∈G,有aHa H aha ∈H aha =h h,h ∈H h=a h a a h a∈H a Ha H 10 3: a∈G,有a Ha H a ha=h h,h ∈H h=ah a ah a ∈H  aHa H  a∈G 4 11: a∈G, h ∈H, 有ah a ∈H  ah a =h  h∈H a ha=h a ha∈H  h∈H 11 4: a∈G, h ∈H, 有a h a∈H a h a=h  h∈H  aha =h aha ∈H  h∈H 5 12: a∈G，有aH Ha ah=h a  h,h ∈H h a∈aH Ha aH 12 5: a∈G，有Ha aH ha=ah   h,h ∈H ah ∈Ha aH Ha 6 13: a∈G,有H a Ha h∈a Ha h=a h a  h,h ∈H   h =aha h ∈aHa   H aHa   a∈G 13 6: a∈G，有H aHa   a Ha a (aHa )a  即a Ha H a h a=h h,h ∈H h∈a Ha H a Ha  a∈G 7 14:∵aHbH=abH, a,b∈G H(aHbH)H =H(abH)H HaHb=Hab, a,b∈G 14 7:∵HaHb=Hab, a,b∈G H (aHbH)H=H (abH)H aHbH=abH, a,b∈G 8 15:H在G 中的每个左陪集都是一个右陪集，即 a∈G, 有aH=Ha  故Ha=aH a∈G 即H在G中的每个右陪集都是一个左陪集 1 2:由H是G的不变子群，即 a∈G,有aH=Ha,于是aHa =Haa =He=H 2 3: a∈G,有aHa =H, 显然aHa H 3 4: a∈G,有aHa H  故 a∈G, h∈H有aha ∈H 4 5: a∈G, aha ∈H ah∈Ha  h∈H aH Ha 5 6: a∈G, aH Ha a (aH ) a Ha H a Ha  a∈G 6 1: a∈G, 有H a Ha h∈a Ha h=a h a ah=h a  h,h ∈H  aH Ha  且Ha aH Ha=aH  a∈G 1 7:先证aHbH abH ： a∈G,有aH=Ha,设 a,b∈G,存在h ,h ,h ,h ∈H,有h a=ah h b=bh 于是ah bh =h ah b=abh h =abh∈abH   aHbH abH 再证 abH aHbH  ∵abh=ah b1∈aHbH abH aHbH  a,b∈G 综上 a,b∈G,  有 aHbH=abH 7 4:设 a∈G, h∈H, 有aha ∈aHa H  ∵aHa H=aa H=H  ∴aha ∈H  a∈G, h∈H 17 4:设R是同余关系, a∈G, h∈H, 于是有ahRa, a Ra   ∴(ah)a Raa   即 aha Re, 亦即 aha ∈H 4 17: g∈G, h∈H  有 ghg ∈H, 设aRb, cRd , 则存在h ,h ∈H, 使得b=ah   d=ch   又 ∵ (d h d)h ∈H  ∴(bd) ac∈H  即 acRbd , 亦即R为同余关系 2 8: a∈G,aHa =H (aHa )a=Ha aH=Ha即每个左陪集同时也是右陪集。 8 2:若aH=Hb, 则a∈Hb  ∴Ha=Hb ∴对 a∈G, 有aH=Ha aHa =H 1 18:若H不是G的不变子群,必存在x∈G,使xH≠Hx x Hx≠H, 但也有a∈G  使a Ha=H, 令使a Ha=H 在G中一切这样的元素之集合为 N (H)              即N (H)={a∈G︱a ha=H } a,b∈N (H)∵b Hb=H ∴(b ) H(b )=H            故(ab ) H(ab )=(b ) (a Ha)(b )=(b ) Hb =H ∴ab ∈N (H)  ∴N (H)为G的子群,由H是G的不变子群及N (H)的定义,可得N (H)=G 18 1:由N (H)=G, 即对 a∈G, 有a Ha=H aH=Ha  a∈G 1 19:由H G, 即 a∈G  aH=Ha a Ha=H a ha∈H  h∈H 即H由G的若干整个的共轭类组成. 19 1:∵ h∈H, H都包含在G中的一切共轭元素  ∴ a∈G, 有a ha∈H  于是 a Ha H,另一方面,对于a , 有 (a ) Ha H aHa H  H a Ha  ∴a Ha=H Ha=aH  a∈G  即 H G 1 16:设G=∑Ha 为H之右陪集分解  ∵ H G  ∴ a∈G  aH=Ha ∴Ha Ha =H(a H)a =Ha a 又∵ Ha=H, a∈H, HaHa =Haa =Ha 即H=Ha 在陪集之积运算中是左单位元                            又∵Ha Ha =Ha a =h  ∴ Ha =a H=(Ha ) 即在陪集之积运算中任元有左逆元存在 并且(Ha Ha )Ha =Ha a Ha =Ha a a =Ha (Ha Ha ),即陪集之积运算满足结合律,把不变子群H的每个陪集Ha 看成单独一元素，则所有陪集之集关于积运算构成群,即商群存在. 16 5:设H是G的子群，商群存在  Ha,Hb,Hc,a,b,c∈G, 有HaHb=Hc 又 ∵ ab∈HaHb  ∴ab∈Hc  ∴Hab=Hc  ∴HaHb=Hab 令 a =b, 有 HaHa =H aHa H aH Ha 证法2： 证明思路：8 ←→15                16  ←→ 14  ← ← ←  7 ↓↑                          ↓            ↑ 1 → 2 →3 →4 →5 →6 →13 →12 →11 →10 →9 → 1 ↑↓                  ↑↓ ↑↓ 17                    19  18 证明过程： 1 2 3 4 5 6, 4 17, 8 2, 7 14, 8 15证略 6  13: a∈G,有H a Ha, 故有 H (a ) H(a )=aHa 13 12: a∈G,有H aHa h=ah a ha=ah ha∈aH Ha aH 12 11:∵ a∈G,Ha aH ∴存在 h,h ∈H,有ha=ah a ha=h a ha∈H 11 10: h∈H,有a ha∈H a ha H 10 9:要证 a∈G, 有a ha=H, 只要证 H a Ha, 由10 ,有(a ) H(a) H aha H aH Ha H a Ha  ∴a Ha=H 9  1: a∈G, a ha=H Ha=aH  即aH=Ha  a∈G, 亦即H G 1  7:由H G,即 a∈G, aH=Ha  ∴aHbH=a(bH)H=a(bH)=abH 14 11:设 a∈G, h∈H, 有a ha∈Ha Ha=Ha a=He=H 即 a∈G,有a ha∈H 16 14:设H是G的子群，且以H为模的G的剩余类成群 Ha ,Hb,Hc,a,b,c∈H 有HaHb=Hc,又∵ab∈HaHb ∴ab∈Hc ∴Hab=Hc ∴HaHb=Hab a,b∈G 14 16:设G=∑Ha 为H之右陪集分解, Ha ,a H∈G,有Ha Ha =Ha a ∵ 存在Ha=H  a∈H, 使得  HaHa =Haa =Ha                           即H=Ha 在陪集之积运算中是左单位元                          又∵Ha Ha =Ha a =H  ∴Ha =a H=(Ha )                               即在陪集之积运算中任元有左逆元存在                          并且(Ha Ha )Ha =Ha a Ha =Ha a a =Ha (Ha Ha ), 即陪集之积运算满足结合律,把不变子群H的每个陪集Ha 看成单独一元素，则所有陪集之集关于积运算构成群. 19 10:∵ h∈H, H都包含h在G中的一切共轭元素，∴ a∈G, 有a ha∈H 于是 a Ha H  a∈G 10 19: a∈G,有a Ha H a ha∈H  即H由G的若干整个的共轭类组成. 18 9:由N (H)={a∈G︱a Ha=H}=G 即 a∈G,有a Ha=H 9  18:令使a Ha=H的G中一切这样的元素之集合为N (H) 即N (H)={a∈G︱a Ha=H} a,b∈N (H) ∵b Hb=H ∴(b ) H(b )=H 故(ab ) H(ab )=(b ) (a Ha)(b )=(b ) Hb =H∴ab ∈N (H) ∴N (H)为G的子群,由H是G的不变子群及N (H)的定义,可得N (H)=G (二).直接判断一个子群为不变子群的条件 1． 指数为2的子群为不变子群. 证明:设群G，H是G的子群，由题设[G:H]=2 ∴G=eH∪aH=He∪Ha aH=Ha  a∈G, 即H G 2． 设G为群，H是G的子群, a∈G, a ha H, 则H是G的不变子群. 证明:a ha H a(a Ha)a aHa H aHa 又(a ) Ha H  即aHa H  ∴ a∈G,a Ha=H aH=Ha  a∈G 即H G 3.群G的中心C是G的一个不变子群. 证明:∵C与G中的每个元素都可交换 ∴对 a∈G,有aC=Ca  ∴C G 4.交换群的子群都是不变子群. 证明:设G是交换群,H是G的子群,有aH={ah︱h∈H}={ha︱h∈H }=Ha a∈G ∴H G 5.设A,B都是G的不变子群，则A∩B 是G的不变子群. 证明:显然 A∩B 是G的子群 , a∈G, x∈A∩B, axa ∈A, axa ∈B ∴axa ∈A∩B  即A∩B G 推论1:群G中任意多个（有限或无限）不变子群之交也都是G的不变子群. 6.设A,B都是G的不变子群，则AB是G的不变子群. 证明:显然 AB是G的子群 , g∈G, x∈AB, 设x=ab gxg =g(ab)g =gag gbg ∈AB  故AB G 推论2:群G中任意多个（有限或无限）不变子群之积也都是G的不变子群. 7.设H是G的真子群，︱H︱=n ,且G的阶数为n的子群仅有一个，则H是G的不变子群. 证明: x∈G  显然xHx 是H的子群, 又知 f：h→xhx   h∈H, f是H到xHx 的双射, 故 ︱xHx ︱=︱H︱=n, 由唯一性, xHx =H x∈G  因而H的G不变子群. 8. 设A,B,H都是G的不变子群,且A B，则AH是BH的不变子群. 证明：AH,BH显然都是G的不变子群，∵A B，∴AH BH  而AH是G的不变子群，故AH是BH的不变子群. 二． 举例应用判别条件 判断一个子群是不是不变子群，除了用定义外，还可用其等价条件，应 用等价条件，有时可使证明容易，过程简洁. 例1：设 G={ ︱r,s∈Q r≠0 } ,  G对于方阵乘法作成一个群, H={ ︱t∈Q} ,  则H是G的不变子群. 证明：法1（利用定义）： ∈G,  H= ,  H =   r≠0 r,s是取定的有理数,故对 s+t, 方程 rx+s=s+t在Q中有解, 即x=t/r 故对 A∈H A= A= A∈ H 即 H H , 反之,对 rt+s 方程 rt+s=x+s在Q中有解 x=rt 故 H H   从而有  H=H   r≠0 r,s∈Q 即H是G的不变子群. 法2：（利用等价条件4）： ∈G, = ∈G, 对 ∈H 有 = = 显然 ∈H , 故H是G的不变子群. 例2：设G是一个群，a,b∈G 符号 [a  b] 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示G中元素a b ab，称之为G的换位元 ,证明G的一切有限换位元的乘积所成的集合G 是G的一个不变子群. 证明：（利用等价条件4）：显然，G 是G的子群，对任意[a  b]和 g∈G g [a  b]g=g a b abg=(ag) bagbb g bg=[ag  b][b  g]∈G 一般地，对G 中任一元 [a   b ] [a   b ]    …  [a   b ]  有g [a b ][a b ]…[a b ]g=(g [a b ]g)(g [a b ]g)…(g [a b ]g)∈G,故 g G g∈G   即G 是G的不变子群. 注释：1.∵A ≤G  B≤G  又e∈A  e∈B  ∴e∈A∩B≠ ,  设a,b∈A∩B 则 a,b∈A 且 a,b∈B  故 ab∈A且 ab∈B  ∴ab∈A∩B 设 a∈A∩B, 则 a∈A且a∈B  ∴a ∈A且a ∈B  ∴a ∈A∩B ∴A∩B≤G 即A∩B是G的子群 2.AB={ab︱a∈A, b∈B} ∵A G ∴bA=Ab 又∵ba ∈bA ∴ba =a b,a ∈A (ab)(a b )=a(ba )b =a(a b)b =(aa )(bb )∈AB 又b a ∈b A=Ab ∴ =b a =a b ∈AB ∴AB≤G即AB是G的子群 主要参考书目： ⑴ 吴三品，近世代数[M]，北京：人民教育出版社，1982，80-87.  ⑵ 张远达，有限群构造( 上册 三年级上册必备古诗语文八年级上册教案下载人教社三年级上册数学 pdf四年级上册口算下载三年级数学教材上册pdf )[M], 科学出版社，1982，38-41. ⑶ W.莱德曼，群论引论[M]，北京：高等教育出版社，1987，59-62. ⑷ 孟道骥，代数学基础[M]，天津：南开大学出版社， ⑸ A.Γ.库洛什，群论(上册)[M]，北京：高等教育出版社，1987，57-62.    ⑹ M.赫尔，群论[M]，科学出版社，1981，30. ⑺ 徐明曜，有限群导引[M]，科学出版社，2001，12-14. ⑻ 陈重穆，有限群论基[M]，重庆出版社，1983，21-23. ⑼ 王萼芳，有限群论基础[M]，北京：北京大学出版社，60-65. ⑽ 杨永保，近世代数(第二版)[M]，41-45.