初中函数综合试题(附答案)
二次函数与其他函数的综合测试题 一、选择题:(每小题3分，共45分)
121(已知h关于t的函数关系式为，(g为正常数，t为时间)，则函数图象为( ) h,gt2
A) (B) (C) (D) (
2(在地
表
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以下不太深的地方，温度y(?)与所处的深度x(km)之间的关系可以近似用关系式y,35x，20表示，这个关系式符合的数学模型是( ) (A)正比例函数 (B)反比例函数(
(C)二次函数 (D)一次函数
3(若正比例函数y,(1,2m)x的图像经过点A(x，y)和点B(x，y)，当x,12112
xyy时,，则m的取值范围是( ) 221
11(A)m,0 (B)m,0 (C)m, (D)m, 22
xy,k4(函数y = kx + 1与函数在同一坐标系中的大致图象是( )
yyyy
OxOOOxxx
(A) (B) (C) (D)
2y,ax，(a，c)x，c5(下列各图是在同一直角坐标系内，二次函数与一次函数y,ax，c的大致图像，有且只有一个是正确的，正确的是( )
(A) (B) (C) (D)
2y,2(x,1)，16(抛物线的顶点坐标是( )
A((1，1)B((1，,1)C((,1，1)D((,1，,1)
27(函数y=ax+b与y=ax+bx+c的图象如右图所示，则下列选项中正确的是( )
A( ab>0， c>0 B( ab<0， c>0
C( ab>0， c<0 D( ab<0， c<0
abc8(已知a，b，c均为正数，且k=，在下列四个点中，正比例函数 ,,y,kxb，ca，ca，b
的图像一定经过的点的坐标是( )
11 A((l，) B((l，2) C((l，,) D((1，,1) 229(如图，在平行四边形ABCD中，AC=4，BD=6，P是BD上AD
的任一点，过P作EF?AC，与平行四边形的两条边分别交于E点E，F(设BP=x，EF=y，则能反映y与x之间关系的图象为……………( )
P
BCF
10(如图4，函数图象?、?、?的表达式应为( )
45(A)，，y,, y,x，2y,,xx2
54(B)， ， y,,x，2y,xy,x2
54(C)，， y,x,2y,,xy,x2
45(D)，，y,, y,x,2y,,xx2
11(张大伯出去散步，从家走了20分钟，到一个离家900米的阅报亭，看了10分钟报纸后，用了15分钟返回到家，下面哪个图形表示张大伯离家时间
与距离之间的关系( )
212(二次函数y=x-2x+2有 ( )
A( 最大值是1 B(最大值是2
C(最小值是1 D(最小值是2
213(设A(x，y)、B(x，y)是反比例函数y=,图象上的两点，若x
y>0 D( y> y>0 21122112
214(若抛物线y=x-6x+c的顶点在x轴上，则c的值是 ( )
A( 9 B( 3 C(-9 D( 0
3215(二次函数的图象与轴交点的个数是( ) 3xy,x,x，2 y
0个 B(1个 C(2个 D(不能确定 A(
P 二、填空题:(每小题3分，共30分)
1(完成下列配方过程: D O x
22,,，，，，x，2px，1x，2px，________，________,
第3题图 2 ,; ，，，，x，_____，_______
2(写出一个反比例函数的解析式，使它的图像不经过第一、第三象限:_________(
23(如图，点P是反比例函数上的一点，PD?轴于点D，则?POD的面积为 ; xy,,x
m2，，y,x，m，1x，m，14、已知实数m满足，当m=___________时，函数m,m,2,0
的图象与x轴无交点(
22y,x，(2m，1)x，(m,1)5(二次函数有最小值，则m,_________;
2y,x,2x,36(抛物线向左平移5各单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为___________;
7(某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可 盈利40元(为了扩大销售量，增加盈利，采取了降价措施，经调查发现如果每件计划降价1元，那么商场平均每天可多售出2件(若商场平均每天要赢利1200元，则每件衬衫应降价__________; 8(某学生在体育测试时推铅球，千秋所经过的路线是二次函数图像的一部分，如果这名学生出手处为A(0，2)，铅球路线最高处为B(6，5)，则该学生将铅球推出的距离是________;
2y,ax，bx，c(a,0)9(二次函数的图像与x轴交点横坐标为,2，b，图像与y轴交点到圆点距离为3，则该二次函数的解析式为___________;
k10(如图，直线与双曲线在第一象限内的交点y,kx,2(k，0)y,x
R，与x轴、y轴的交点分别为P、Q(过R作RM?x轴，M为垂
足，若?OPQ与?PRM的面积相等，则k的值等于 ( 三、解答题:(1,3题，每题7分，计21分;4,6题每题8
分，计24分;本题共45分)
2y,x，bx，c1已知二次函数的图像经过A(0，1)，B(2，,1)两点(
(1)求b和c的值;
(2)试判断点P(,1，2)是否在此函数图像上,
82(已知一次函数ykxk,，的图象与反比例函数的图象交于点P(4，n)( y,x
(1)求n的值((2)求一次函数的解析式(
3(看图，解答下列问题(
(1)求经过A、B、C三点的抛物线
解析式;
(2)通过配方，求该抛物线的顶点坐标
和对称轴;
(3)用平滑曲线连结各点，画出该函数图象(
24(已知函数y=x+bx-1的图象经过点(3，2)
(1) 求这个函数的解析式;
)画出它的图象，并指出图象的顶点坐标; (2
(3)当x>0时，求使y?2的x的取值范围(
5(某工厂设门市部专卖某产品，该产品每件成本40元，从开业一段时间的每天销售统计中，随机抽取一部分情况如下表所示:
每件销售价(元) 50 60 70 75 80 85 …
每天售出件数 300 240 180 150 120 90 …
假设当天定的售价是不变的，且每天销售情况均服从这种规律(
y(1)观察这些统计数据，找出每天售出件数与每件售价(元)之间的函数关系，x
并写出该函数关系式(
(2)门市部原设有两名营业员，但当销售量较大时，在每天售出量超过168件时，则必须增派一名营业员才能保证营业有序进行，设营业员每人每天工资为40元(
求每件产品应定价多少元，才能使每天门市部纯利润最大(纯利润指的是收入总价款扣除成本及营业员工资后的余额，其它开支不计)
6(如图，一单杠高2.2米，两立柱之间的距离为1.6米，将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状(
(1) (2)
(1)一身高0.7米的小孩站在离立柱0.4米处，其头部刚好触上绳子，求绳子最低点到地面的距离;
(2)为供孩子们打秋千，把绳子剪断后，中间系一块长为0.4米的木板，除掉系木板用去的绳子后，两边的绳长正好各为2米，木板与地面平行(求这时木板到地面的距离(供
3.363.644.36选用数据:?1.8，?1.9，?2.1)
27(已知抛物线y,,x，mx,m，2(
5(?)若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB,，试求m
的值;
(?)设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且 ?MNC的面积等于27，试求m的值(
参考答案:
一、选择题: 1(A 2(D 3(D 4(B 5(D 6(A 7(D 8(A
9(A 10(C 11(D 12(C 13(C 14(A 15(C
2221,p1,ppp二、填空题:1(，，， (
522y,x，8x，102 y= 3( 1 4(2或,1 5( 6( 7(10元或20,,x4
元
1122258(6， 9( 或 10( 22y,x,x,3y,,x,x，344
三、解答题:
1(
82(解:(1)由题意得:， n,？,n2.4
2(2)由点P(4，2)在上， ( ykxk,，？,，24,kk？,k5
22 一次函数的解析式为( ？yx,，55
3(解:(1)由图可知A(,1，,1)，B(0，,2)，C(1，1)
2 设所求抛物线的解析式为y,ax，bx，c
abc,，,,1，a,2，,,2,,c,,2，b,1， 依题意，得 解得 ? y,2x，x,2( ,,
,,abc，，,1c,,2,,
22117 (2)y,2x，x,2,2(x，), 48
1171 ? 顶点坐标为(,，)，对称轴为x,, 448
(3)图象略，画出正确图象
24(解:(1)函数y=x+bx-1的图象经过点(3，2)
2?9+3b-1=2，解得b=-2 ( ?函数解析式为y=x-2x-1
22(2)y=x-2x-1=(x-1)-2 ，图象略， 图象的顶点坐标为(1，-2)
(3)当x=3 时，y=2， 根据图象知，当x?3时，y?2
?当x>0时，使y?2的x的取值范围是x?3(
yx5(解:(1)由统计数据知，该函数关系为一次函数关系，每天售出件数与每件售价之
间的函数关系为: ( y,600,6x
时， ， 解得:; (2)当y,168168,,6x，600x,72设门市部每天纯利润为 ?当时， zy,168x,72
z,x,40600,6x,40，3，，，， 2，，,,6x,70，5280
z,5280当时， x,70max
z,x,40600,6x,40，2，，，，?当时， y,168x,722，，,,6x,70，5320
y时，随的增大而减少 x？x,70
2时， z,,6，2，5320,5296？x,72max
时，纯利润最大为5296元( ？当x,72？5296,5280
6(
(1) (2)
2解:(1)如图，建立直角坐标系， 设二次函数解析式为 y,ax，c
0.16a，c,0.7，, ? D(,0.4，0.7)，B(0.8，2.2)， ? ,0.64a，c,2.2(,
28,a,，, ? ?绳子最低点到地面的距离为0.2米( 5,
,c,0.2(,
(2)分别作EG?AB于G，FH?AB于H，
11 AG,(AB,EF),(1.6,0.4),0.6( 22
2222 在Rt?AGE中，AE,2，EG,,,3.64?1.9( AE,AG2,0.6
2.2,1.9,0.3(米)( ? 木板到地面的距离约为0.3米( ?
27(解: (I)设点(x，0)，B(x，0) ， 则x ，x是方程 x,mx，m,2,0的两根( ,1212
?x，x ,m ， x?x =m,2 ,0 即m,2; 1 212
22又AB,?xx?,，?m,4m，3=0 ( (xxxx+),,451 21212
解得:m=1或m=3(舍去) ，?m的值为1 (
(II)设M(a，b)，则N(,a，,b) (
?MN是抛物线上的两点， 、
2,,，,，,amamb2,?, y ? C ,2,,,，,,amamb2.?,,
2，?得:,2a,2m，4,0 ( ?
2?a,,m，2( N ?当m,2时，才存在满足条件中的两点M、N( x
O am,,,2( ?M
2,m这时MN到y轴的距离均为， 、
又点C坐标为(0，2,m)，而S= 27 ， ?M N C
12,m?2××(2,m)×=27 ( ?解得m=,7 ( 2
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
中考试题分类汇编--函数综合题
1. 如图，已知点A(tanα，0)，B(tanβ，0)在x轴正半轴上，点A在点B的左边，α、β 是以线段AB为 斜边、顶点C在x轴上方的Rt?ABC的两个锐角(
225 (1)若二次函数y,,x,kx，(2，2k,k)的图象经过A、B两点，求它的解析式; 2
(2)点C在(1)中求出的二次函数的图象上吗,请说明理由(
解:(1)? α，β是Rt?ABC的两个锐角，
? tanα?tanβ,1(tanα,0，tanβ,0(
由题知tanα，tanβ是方程
225 x，kx,(2，2k,k),0的两个根， 2
222 ? tanx?tanβ,(2,2k,k),k,2k,2，? k,2k,2,1(
1( 解得，k,3或k,,
5 而tanα，tanβ,,k,0， 2
? k,0(? k,3应舍去，k,,1(
25 故所求二次函数的解析式为y,,x，x,1( 2
(2)不在(
过C作CD?AB于D(
25 令y,0，得,x，x,1,0， 2
1 解得x,，x,2( 122
13 ? A(，0)，B(2，0)，AB,( 22
11 ? tanα,，tanβ,2(设CD,m(则有CD,AD?tanα,AD( 22
? AD,2CD(
又CD,BD?tanβ,2BD，
1 ? BD,CD( 2
13 ? 2m，m,( 22
36 ? m,(? AD,( 55
317 ? C(，)( 510
9317 当x,时，y,? 25510
? 点C不在(1)中求出的二次函数的图象上(
y 2yxkxb,，，2(已知抛物线经过点PQ(23)(10)，，，,,( (1)求抛物线的解析式(
Ay(2)设抛物线顶点为，与轴交点为(求的值( Nsin?AONQ O xM M(3)设抛物线与x轴的另一个交点为，求四边形的面积( OANM A
N
01,,，kb,解:(1)解方程组 ,,,，，342kb,
k,,2,2？,,,yxx23得，( ,b,,3,
17NONAON(14)17sin，，，?,,,(2)顶点( 17
2yxx,,,23(3)在中，令得，， y,,3？,A(03)，x,0
令得或，( y,0？M(30)，x,,13
3(面积单位) ,，,，,SS67.5S四边形??OANONM2
23(如图9，抛物线y=ax+8ax+12a与轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，抛物线上x
另有一点在第一象限，满足? ACB为直角,且恰使?OCA??OBC. C
y(1) 求线段OC的长.
(2) 求该抛物线的函数关系式(
(3) 在轴上是否存在点P，使?BCP为等腰三角形, x
C若存在，求出所有符合条件的P点的坐标;若不存在， 请说明理由.
ABxO
图93832y,,x，x,4323解:(1);(2);(3)4个点: 33
(6,23,0)(6，23,0),(0,0),(4,0)
24(已知函数y=和y=kx+l(k?O)( x
(1)若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求a和k的值;
(2)当k取何值时，这两个函数的图象总有公共点?
2,a,2a,,,解;(1) ?两函数的图象都经过点(1，a)，?? 1,,k,1,,a,k，1,
22 (2)将y,代人y=kx+l，消去y(得kx+x一2=0( x
?k?O，?要使得两函数的图象总有公共点，只要??0即可(
??,1，8k，
1 ?1+8k?0，解得k?一 8
1 ?k?一且k?0( 8
3，宽OC=1，将?AOC沿AC5(已知如图，矩形OABC的长OA=
翻折得?APC。
(1)填空:?PCB=____度，P点坐标为( ， );
24(2)若P，A两点在抛物线y=, x+bx+c上，求b，c的值，3
并说明点C在此抛物线上;
(3)在(2)中的抛物线CP段(不包括C，P点)上，是否存在
一点M，使得四边形MCAP的面积最大,若存在，求出这个最大值及此时M点的坐标;若
不存在，请说明理由.
33(1)30,(,); 22
33 333443(2)?点P(,)，A(，0)在抛物线上，故 -? +b? +c=,-?3+b2342322
24333? +c=0, ?b=,c=1. ?抛物线的解析式为y=-x+x+1,C点坐标为(0，1). ?3
243-?0+?0+1=1， 3
? 点C在此抛物上.
2y,x，bx，c6.如图，二资助函数的图象经过点M(1，—2)、N(—1，6).
2y,x，bx，c(1)求二次函数的关系式.
(2)把Rt?ABC放在坐标系内，其中?CAB = 90?，点A、B的坐标分别为(1，0)、(4，0)，BC = 5。将?ABC沿x轴向右平移，当点C落在抛物线上时，求?ABC平移的距离.
2解:(1)?M(1，,2)，N(,1，6)在二次函数y = x+bx+c的图象上，
1，b，c,,2,b,,4,,,? 解得 ,,1,b，c,6.c,1.,,
2二次函数的关系式为y = x,4x+1. (2)Rt?ABC中，AB = 3，BC = 5，?AC = 4，
224,x,4x，1,x,4x,3,0,
4,16，12x,,2,7.解得 2
?A(1，0)，?点C落在抛物线上时，?ABC向右平移1，7个单位.
17.如图，在平面直角坐标系中，两个函数的图象交于点A。动点P从点y,x,y,,x，62
O开始沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，作PQ?x轴交直线BC于点Q，以PQ为一边向下作正方形PQMN，设它与?OAB重叠部分的面积为S.
(1)求点A的坐标.
(2)试求出点P在线段OA上运动时，S与运动时间t(秒)的关系式. (3)在(2)的条件下，S是否有最大值,若有，求出t为何值时，S有最大值，并求出最大值;若没有，请说明理由.
(4)若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，当正方形PQMN与?OAB重叠部分面积最大时，运动时间t满足的条件是____________.
y,x,,x,4,,,解:(1)由 可得 ,1,y,4.y,,x，6,,,2,
?A(4，4)。 (2)点P在y = x上，OP = t，
22(t,t).则点P坐标为 22
21t点Q的纵坐标为，并且点Q在上。 y,,x，622
21t,,x，6,x,12,2t?， 22
2(12,2t,t)即点Q坐标为。 2
32PQ,12,t。 2
32212,t,tt,32当时，。 22
0，t,32时当，
23232S,t(12,t),,t，62t. 222
当点P到达A点时，， t,42
当时， 32，t，42
322S,(12,t) 2
92 。 ,t,362t，1442
(3)有最大值，最大值应在中， 0，t,32
333222 S,,t，62t,,(t,42t，8)，12,,(t,22)，12,222
当时，S的最大值为12. t,22
(4)t,122.
l,3l8(已知一次函数y=+m(O0)与y轴交于点C，C点关于抛物线对称轴的对称点为C′点.
(1)求C点、C′点的坐标(可用含m的代数式表示)
(2)如果点Q在抛物线的对称轴上，点P在抛物线上，以点C、C′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求Q点和P点的坐标(可用含m的代数式表示) y (3)在(2)的条件下，求出平行四边形的周长.
O
x
12(抛物线y=3(x-1)+1的顶点坐标是( A )
A((1，1) B((-1，1) C((-1，-1) D((1，-1)
13(如图，?OAB是边长为23，的等边三角形，其中O是坐标原点，顶
y点B在轴正方向上，将?OAB 折叠，使点A落在边OB上，记为A′，折痕为EF.
(1)当A′E//轴时，求点A′和E的坐标; x
12(2)当A′E//轴，且抛物线经过点A′和E时，求xyxbxc,,，，6
抛物线与轴的交点的坐标; x
(3)当点A′在OB上运动，但不与点O、B重合时，能否使?A′EF成为直角三角形,若能，请求出此时点A′的坐标;若不能，请你说明理由. ，o，解:(1)由已知可得?AOE=60 , AE=AE
，由A′E//轴,得?OAE是直角三角形， x，设A的坐标为(0，b)
，3bAE=AE=,OE=2b
3223bb，,，
，3所以b=1，A、E的坐标分别是(0，1)与(，1)
，(2)因为A、E在抛物线上，所以
1,c,, ,121(3)3,,，，bc,6,
c,1,13,2yxx,,，，1所以，函数关系式为 ,366b,,6,
132,，，,xx10由得 xx,,,3,231266
,323与x轴的两个交点坐标分别是(，0)与(，0) (3)不可能使?A′EF成为直角三角形.
，o，o，o ??FAE=?FAE=60,若?A′EF成为直角三角形,只能是?AEF=90或?AFE=90
，oo，若?AEF=90,利用对称性,则?AEF=90, A、E、A三点共线，O与A重合，与已知矛盾;
，o同理若?AFE=90也不可能
所以不能使?A′EF成为直角三角形.
14.已知抛物线y=x?—4x+1.将此抛物线沿x轴方向向
左平移4个单位长度，得到一条新的抛物线.
?求平移后的抛物线解析式;
?若直线y=m与这两条抛物线有且只有四个交点,
求实数m的取值范围;
?若将已知的抛物线解析式改为y=ax?+bx+c(a,
b0，b,0)，并将此抛物线沿x轴方向向左平移 -个单位长度，试探索问题?( a
2y,x,4x，1(1)解:
2y,(x,2),3配方，得，
2y,(x，2),3向左平移4个单位，得
2y,x，4x，1?平移后得抛物线的解析式为 (2)由(1)知，两抛物线的顶点坐标为(2，3)，(,2，,3)
2,y,x,4x，1x,0,,解，得 ,,2y,1,y,x，4x，1,,
1) ?两抛物线的交点为(0，
由图象知，若直线y,m与两条抛物线有且只有四个交点时，
m,,3且m?1
2b4acb,22y,ax，bx，cya(x)(3)由配方得，,，， 2a4a
b向左平移个单位长度得到抛物线的解析式为 ,a
2b4acb,2ya(x),,， 2a4a
22bac,b4bac,b4,(,)(,)?两抛物线的顶点坐标分别为， aaaa2424
2,b4ac,by,a(x，)，,x,0,,2a4a解 得， ,,2y,cb4ac,b,,y,a(x,)，,2a4a,
c) ?两抛物线的交点为(0，
由图象知满足(2)中条件的m的取值范围是:
24acb,m,且m?c 4a
3yx,,，1y15.直线分别与x轴、轴交于B、A两点( 3
?求B、A两点的坐标;
?把?AOB以直线AB为轴翻折，点O落在平 面上的点C处，以BC为一边作等边?BCD
求D点的坐标(
3y,,x，1解:如图(1)令x=0，由 得 y=1 3
3y,,x，1x,3令y=0，由 得 3
?B点的坐标为(3，0)，A点的坐标为(0，1)
3(2)由(1)知OB=，OA=1
3OA?tan?OBA== ??OBA=30? 3OB
ABC和?ABO关于AB成轴对称 ??
3?BC=BO=，?CBA=?OBA=30? ? ?CBO=60? 过点C作CM?x轴于M，则在Rt?BCM中
33CM=BC?sin?CBO=?sin60?= 2
33333BM=BC?cos?CBO=?cos60?=?OM=OB,BM=,= 222
33?C点坐标为(，) 22
连结OC
?OB=CB，?CBO=60?
??BOC为等边三角形
过点C作CE?x轴，并截取CE=BC则?BCE=60? 连结BE则?BCE为等边三角形( CEy
33作EF?x轴于F，则EF= CM=，BF=BM= A22
3333OF=OB+BF=+= OBFMx22
333?点E坐标为(，) 22
333?D点的坐标为(0，0)或(，) 22
216(已知抛物线y=ax+bx+c经过A，B，C三点，当x?0时，其图象如图所示(
(1)求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标;
2(2)画出抛物线y=ax+bx+c当x<0时的图象;
2 (3)利用抛物线y=ax+bx+c,写出x为何值时，y>0(
(第25题)
解:(1)由图象，可知A(0,2)，B(4,0)，C(5,-3)，
得方程组 解得
?抛物线的解析式为
顶点坐标为
(2)所画图如图(
(3)由图象可知，当-10(
，0)，17(如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，B(5
M为等腰梯形OBCD底边OB上一点，OD=BC=2，
?DMC=?DOB=60?(
(1)求直线CB的解析式:
(2)求点M的坐标;
(3)?DMC绕点M顺时针旋转α(30?<α<60?)后，得到?DMC(点D，C依次与点D，C对应)，射线MD交直线DC11111(第28题) 于点E，射线MC交直线CB于点F，设DE=m，BF=n( 1
求m与n的函数关系式(
解:(1)过点C作CA?OB，垂足为A(在Rt?ABC中，?CAB=90?，?CBO=60?，
30D=BC=2，?CA=BC?sin?CBO=, BA=BC?cos?CBO=1(
3?点C的坐标为(4，)(
3设直线CB的解析式为y=kx+b，由B(5，0)，C(4，)，
(第(1)小得 解得 题)
33?直线CB的解析式为y=-x+5(
(2)??CBM+?2+?3=180?，?DMC+?1+?2=180?，?CBM=?DMC=?DOB=60?
??2+?3=?1+?2,??1=?3(
??ODM??BMC(
?OD?BC=BM?OM(
?B点为(5，0)，?OB=5( (第(2)小设OM=x，则BM=5-x( 题)?OD=BC=2，?2?2=x(5-x)(
解得x=1，x=4( 12
?M点坐标为(1，0)或(4，0)(
(3)(I)当M点坐标为(1，0)时，
如图?，OM=1，BM=4(
?DC?OB，??MDE=?DMO(
又?DMO=?MCB,??MDE=?MCB(
(第(3)小题??DME=?CMF=a,??DME??CMF.
图?)
?CF=2DE(
?CF=2+n，DE=m，
n?2+n=2m，即m=1+(00
2,y,,x，4x,3,y (3)由题意列方程组得: ,,y,,2x，6, 32 21 转化得:x-6x+9=0
O x1 -2 -1 523 4 -1 ? ,0，?方程的两根相等， -2 方程组只有一组解 -3
?此抛物线与直线有唯一的公共点
25( 已知:如图，A(0,1)是y轴上一定点，B是x轴上一动点，以AB为边，在?OAB的外部作?BAE,?OAB ，过B作BC?AB，交AE于点C.
(1)当B点的横坐标为时，求线段AC的长;
(2)当点B在x轴上运动时，设点C的纵、横坐标分
别为y、x，试求y与x的函数关系式(当点B运动
到O点时，点C也与O点重合);
(3)设过点P(0，-1)的直线l与(2)中所求函
数的图象有两个公共点M(x，y)、M(x，y)，且11122222x+x,6(x+x)=8，求直线l的解析式( 1212
23解:(1)方法一:在Rt?AOB中，可求得AB, 3
AOAB,??OAB,?BAC，?AOB,?ABC=Rt? ，??ABO??ABC ，?，由此可求得:ABAC
4AC, y 3
A ?OAB= 方法二:由题意知:tan
C OB323,,,，,1，由勾股定理可求得AB,,,,,,,,,2， xOA33H O B D
G
34在,ABC中，tan，BAC,tan，OAB,，可求得AC, 33
，过C作CH?x轴，交x轴于点H， (2)方法一:当B不与O重合时，延长CB交y轴于点D
则可证得AC,AD，BD,--4′
2x,,2,1，,y ?AO?OB，AB?BD，??ABO??BDO，则OB,AO?OD----6′，即 ,,2,,
22xx化简得:y=，当O、B、C三点重合时，y=x=0，?y与x的函数关系式为:y= 44
2222方法二:过点C作CG?x轴，交AB的延长线于点H，则AC,(1,y)+x=(1+y)，化简即可得。
ykxb,，,,2(3)设直线的解析式为y=kx+b，则由题意可得:，消去y得:x-4kx-4b=0，则有1,2yx,,4,
x，x,4k,12，由题设知: ,x，x,,4b12,
12222x+x-6(x+x)=8，即(4k)+8b-24k=8，且b=-1，则16k-24k -16=0，解之得:k=2，k=，,1212122当k=2、b=-1时， 1
122?,16k+16b=64-16>0，符合题意;当k=，b=-1时，?,16k+16b=4-16<0，不合题意,22
(舍去)，?所求的直线l的解析式为:y=2x-1
26(如图，已知抛物线与x轴交于A(m，0)、B(n，0)两点，与y轴交于点C(0， 3)，点P是抛物线的顶点，若m-n= -2，m?n =3(
1)求抛物线的表达式及P点的坐标; (
(2)求?ACP的面积S( ?ACP2解: (1)设抛物线的表达式为y=ax+bx+c，?抛物线过C(0，3)，?c=3，
又?抛物线与x轴交于A(m，0)、B(n，0)两点，
2?m、n为一元二次方程ax+bx+3=0的解，
b3?m+n=- ，mn=， aa
-n= -2，m?n =3，?解之得a=1，b=-4;m=1，n=3， 由已知m
2? 抛物线的表达式为y=x-4x+3，P点的坐标是(2，1) (2)由(1)知，抛物线的顶点P(2，-1)，过P作PD垂直于y轴于点D，所以，S =S?BCP
-S=S+ S- S， 梯形CBPD?CPD?COB梯形OBPD?CPD
?B(3，0)，C(0，3)，
111?S =S+ S- S=?3?3+?1?(3+2)-?2?4=3( ?BCP?COB梯形OBPD?CPD222
2Ayxmxn,,，，2C27(已知抛物线:(m，n为常数，且，)的顶点为，m?0n,01
BAByCyC与轴交于点;抛物线与抛物线关于轴对称，其顶点为，连接，，( CACBC21
2,,bacb4,2注:抛物线的顶点坐标为( yaxbxca,，，?0,，，，,,24aa,,
C(1)请在横线上直接写出抛物线的解析式:________________________; 2(2)当时，判定的形状，并说明理由; m,1?ABC
PC(3)抛物线上是否存在点，使得四边形为菱形,如果存在，请求出的值;mABCP1
如果不存在，请说明理由(
2yxmxn,,,，2解:(1)( (2)当时，为等腰直角三角形( m,1?ABC
理由如下:
AByy如图:点与点关于轴对称，点又在轴上， C
( ？,ACBC
ADEC过点作抛物线的对称轴交轴于，过点作于( xCCEAD,1
A当时，顶点的坐标为，( ？An11，，m,1？,CE1，，又点的坐标为， 0，nC，，
(( ？,，,,AEnn11？,AECE
？,?ACy45从而，( ?ECA,45
??BCyACy,,45由对称性知，( ？,?ACB90
为等腰直角三角形( ？?ABC
PC(3)假设抛物线上存在点，使得四边形为菱形，则( ABCPPCABBC,,1
由(2)知，，( ACBC,？,,ABBCAC从而为等边三角形( ?ABC
？,,??ACyBCy30(
PPADC？四边形为菱形，且点在上，点与点关于对称( ABCPC1
ADE与的交点也为点，因此( ?ACE,,,903060？PC
2AmmnCn，，，，0点的坐标分别为， AC，，，，，
y22( ？,，,,,AEmnnmCEm，
2AEm在中，( tan603,,,Rt?ACECEm
，？,,m3( ？,m3
PCm,,3故抛物线上存在点，使得四边形为菱形，此时( ABCP1
28(如图10(单位:m)，等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到
2AB与CD重合。设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为y. m(1)写出y与x的关系式; AD(2)当x,2，3.5时，y分别是多少, 11(3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时， 0 0 L1三角形移动了多长时间, BC2 图0 (1)y,2x
10 (2)8;24.5
(3)5秒
229、 如图，已知抛物线L: y=x-4的图像与x有交于A、C两点， 1
(1)若抛物线l与l关于x轴对称，求l的解析式; 212
(2)若点B是抛物线l上的一动点(B不与A、C重合)，以AC为对角线，A、B、C三点1
为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D，求证:点D在l上; 2(3)探索:当点B分别位于l在x轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD的面积1
是否存在最大值和最小值,若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积;若不
存在，请说明理由.
YD 1l
AC XO
2lB
图21
2解:设l的解析式为y=a(x-h)+k 2
?l与x轴的交点A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0，-4),l与l关于x轴对称， 212
?l过A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0，4) 22 ?y=ax+4
?0=4a+4 得 a=-1
2 ?l的解析式为y=-x+4 2
(2)设B(x,y) 1 1
?点B在l上 12 ?B(x,x-4) 1 1
?四边形ABCD是平行四边形，A、C关于O对称
?B、D关于O对称
2 ?D(-x,-x+4). 1 1
22 将D(-x,-x+4)的坐标代入l:y=-x+4 1 12
?左边=右边
?点D在l上. 2
(3)设平行四边形ABCD的面积为S,则
S=2*S=AC*|y|=4|y| ?ABC 11
a.当点B在x轴上方时，y,0 1
?S=4y,它是关于y的正比例函数且S随y的增大而增大， 1 11
?S既无最大值也无最小值
b.当点B在x轴下方时，-4?y,0 1
?S=-4y,它是关于y的正比例函数且S随y的增大而减小， 1 11
?当y=-4时，S由最大值16，但他没有最小值 1
此时B(0,-4)在y轴上，它的对称点D也在y轴上.9分
?AC?BD
?平行四边形ABCD是菱形
此时S=16. 最大
22m，1m，22230.已知关于x的二次函数yxmx,,，与yxmx,,,，这两个二次函数22的图象中的一条与x轴交于A, B两个不同的点(
(l)试判断哪个二次函数的图象经过A, B两点;
(2)若A点坐标为(-1, 0)，试求B点坐标;
(3)在(2)的条件下，对于经过A, B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值
的增大而减小,
2m，12xmx,，,解:(l)对于关于x的二次函数y = 2
2m，1 22 由于?,(-m )-4?l?=-m-2<0, 2
所以此函数的图象与x轴没有交点
2m，22xmx,, 对于关于x的二次函数 y =. 2
2m，122() 由于?,(-m ) -4 ?l?=-m-2<0, 2
所以此函数的图象与x轴没有交点
2m，22yxmx,,,, 对于关于x的二次函数 2
2m，222,,,,，，,,，,()41()340,mm 由于 2
所以此函数的图象与x轴有两个不同的交点.
2m，22 故图象经过A、B两点的二次函数为 yxmx,,,,2
22m，2m，22 (2 )将A(-1,0)代入，得1，,m=0. yxmx,,,22
2 整理，得m-2m = 0 .
解之，得m=0，或m = 2(
22 当m =0时，y,x-1(令y = 0，得x-1 = 0.
解这个方程，得x=-1，x=1 12
此时，B点的坐标是B (l, 0)(
22 当m=2时，y=x-2x-3.令y=0，得x-2x-3=0.
解这个方程，得x=-1，x=3 12
此时，B点的坐标是B(3，0).
2 (3) 当m =0时，二次函数为y,x-1，此函数的图象开口向上，对称轴为x=0，所以当
x<0时，函数值 y 随:的增大而减小(
22当m=2时，二次函数为y = x-2 x-3 = (x-1)-4, 此函数的图象开口向上，对称
轴为x = l，所以当x < l 时，函数值y随x的增大而减小.
11231(如图1，已知直线与抛物线交于两点( AB，yx,,yx,,，624
(1)求两点的坐标; AB，
AB(2)求线段的垂直平分线的解析式;
AB(3)如图2，取与线段等长的一根橡皮筋，端点分别固定在两处(用铅笔拉着这AB，
PABP根橡皮筋使笔尖在直线上方的抛物线上移动，动点将与构成无数个三角形，AB，
P这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形,如果存在，求出最大面积，并指出此时点的坐标;如果不存在，请简要说明理由(
yy
P BB OOxx A A 图1 图2
1,2yx,,，6,xx,,,64,,,412解:(1)解:依题意得解之得 ,,,1yy,,,3212,,,yx,,,,2
？,,AB(63)(42)，，，
ABABMy(2)作的垂直平分线交x轴，轴于两点，交于(如图1) CD，
y
OAOB,,3525 由(1)可知:
B C Ox, MA D
？,AB55
15？,,,OMABOB 22
BE 过作轴，为垂足 BEx?
OCOM5 由，得:， ,？,，OC???BEOOCMOBOE4
555,,,,ODCD,？,，，，，00 同理: ,,,,242,,,,
设的解析式为 ykxbk,，,(0)CD
5,k,20,，kb,,,,4？？ ,,55b,,,,,,b,2,,2
5？AB 的垂直平分线的解析式为:( yx,,22
PPAB(3)若存在点使的面积最大，则点在与直线平行且和抛物线只有一个交?APB
1y点的直线上，并设该直线与轴，轴交于两点(如图2)( xGH，yxm,,，2
1,yxm,,，,,2？ ,12,yx,,，6,,4
112 ？,，,,xxm6042
y 抛物线与直线只有一个交点， H2 P11,, ， ？,,，,,4(6)0m,, B24,,
G
Ox 2523,,？,？mP 1， ,,A 44,,
125图2 在直线中， GHyx:,,，24第26题
2525,,,,？GH，，，00 ,,,,24,,,,
25 ？,GH54
设到的距离为， OGHd
11？,GHdOGOH22
125512525？，,，，d 24224
5？,d52
ABGH?，
？PAB 到的距离等于到的距离( OGHd
1155125,,，，,ABd55 ？S最大面积2224
22yxbxc,,，，32.已知:是方程的两个实数根，且，抛物线mn、mn,xx,，,650
的图像经过点A()、B(). m,00，n
(1) 求这个抛物线的解析式;
(2) 设(1)中抛物线与轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和?x
2bacb4,2yaxbxc,，，(,),BCD的面积;(注:抛物线的顶点坐标为() (0)a,24aa
(3) P是线段OC上的一点，过点P作PH?轴，与抛物线交于H点，若直线BC把?PCH分x
成面积之比为2:3的两部分，请求出P点的坐标. ?ü D
2xx,，,650,xx,,5,1解:(1)解方程得 12
由，有 mn,,1,5mn,B
所以点A、B的坐标分别为A(1，0),B(0，5).
2yxbxc,,，，将A(1，0),B(0，5)的坐标分别代入.
A ?ú ,，，,10bcb,,4,,O C 解这个方程组，得 得,,c,5c,5,,
2yxx,,,，45所以，抛物线的解析式为
22yxx,,,，45y,0(2)由，令，得 ,,，,xx450
xx,,,5,1解这个方程，得 12
所以C点的坐标为(-5，0).由顶点坐标公式计算，得点D(-2，9).
过D作x轴的垂线交x轴于M.
127则 S,，，,,9(52),DMC22
1125， S,，，，,S,，，,2(95)1455,BOC梯形MDBO222
2725所以，. SSSS,，,,，,,1415,,,BCDDMCBOC梯形MDBO22
(3)设P点的坐标为() a,0
因为线段BC过B、C两点，所以BC所在的值线方程为. yx,，5那么，PH与直线BC的交点坐标为， Eaa(,5)，
22yxx,,,，45Haaa(,45),,，PH与抛物线的交点坐标为.
332由题意，得?，即 EHEP,(45)(5)(5),,，,，,，aaaa22
3解这个方程，得或(舍去) a,,a,,52
222?，即 EHEP,(45)(5)(5),,，,，,，aaaa33
2解这个方程，得或(舍去) a,,a,,53
32P点的坐标为或. (,0),(,0),23
y33(已知二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴(一次函数ykx,，1的图象与二次O
ABA函数的图象交于两点(在的左侧)，且点坐标为(平行于轴的直线x,44，AB，l，，过点( 01，,，，
(1)求一次函数与二次函数的解析式;
AB(2)判断以线段为直径的圆与直线的位置关系，并给出证明; l
2(3)把二次函数的图象向右平移个单位，再向下平移t个单位，二次函数的图象t,0，，
Fyt与x轴交于两点，一次函数图象交轴于点(当为何值时，过三点MN，FMN，，
的圆的面积最小,最小面积是多少, y
3解:(1)把A(44),，ykx,，1代入得， k,,4
3 x O？一次函数的解析式为; yx,,，14 ly二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴，
2yax,设二次函数解析式为， ？
12yax,把代入得， A(44),，a,4
12二次函数解析式为( ？yx,4
3,yx,,，1,,4 (2)由 ,12,yx,,,4
x,1,x,,4,,解得或， ,1,y,y,4,,,4
1,,？B1，， ,,4,,
,,过点分别作直线的垂线，垂足为， AB，AB，l
15,,则， AABB,，,,，,4151，44
55，254,,AABB,？直角梯形的中位线长为， 28
115,BBHAAH,,过作垂直于直线于点，则，， AH,,,4BHAB,,544
21525,,2？,，,AB5， ,,44,,
ABAB？的长等于中点到直线的距离的2倍， l
AB？以为直径的圆与直线相切( l
2yxt,,,(2)(3)平移后二次函数解析式为，
2(2)0xt,,,令y,0，得，，， xt,,2xt,，212
F过三点的圆的圆心一定在直线上，点为定点， FMN，，x,2
F？要使圆面积最小，圆半径应等于点到直线的距离， x,2此时，半径为2，面积为， 4π
E设圆心为中点为，连，则， CMN，CECM，CE,1
2在三角形中，， ME,,,213CEM
？,MN23MNxxt,,,2，而，， ？,t321
？当时，过三点的圆面积最小，最小面积为( FMN，，t,34π
浙公网安备 33021202002483