两点间距离公式的五种应用
一、求函数的值域
有些带根式的函数,在求其值域时,联想到两点间的距离公式,利用函数的几何意义可以很容易地求出函数的值域来。
例1、求函数y =的值域。
解:∵y ==
=,
∴ 函数y可以看作是动点P(x,0)到两个定点A(-1,1)、B(1,1)的距离之和,
由三角形的三边关系可知 | PA | + | PB | ≥ | AB |,当P点在线段AB上时,取得等号。
而易求得| AB | =,∴y ≥。
即所求函数的值域是{ y | y ≥}。
二、证明不等式
有些不等式的证明难以下手,但是若与两点间的距离公式联系起来,进行恰当的变形后就可以找到证明的思路。
例2、已知x1>0,x2>0,求证:。
证明:当x1>0,x2>0时,原不等式等价于
,也就是等价于
至此,我们令A(x1,1),B(-x2,-1),
则 | OA | =,| OB | =,而 | AB | =,
根据三角形三边间的关系可得 | OA | +| OB | ≥| AB |,即,
从而有得证。
三、判断三点共线
对于三点共线问题,有若干种证法,当然也可以用两点间的距离公式来进行证明。三点确定三条线段,若其中两条线段的长度之和等于第三条线段的长,则此三点必共线。
例3、求证:A(1,5)、B(0,2)、C(2,8)三点共线。
证明:由两点间的距离公式得
| AB | =,
| BC | =,
| AC | =,
∴ 有 | AB | + | AC | =| BC |,从而A、B、C三点共线。
C(a,0)
四、证明平面几何问题
有些平面几何问题借助于两点间的距离公式会很容易的得证。
例4、已知AO是△ABC中BC边上的中线。
证明:| AB |2 + | AC |2 =2(| AO |2 + | OC |2)。
分析
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:取BC边所在的直线为x轴,边BC的中点为原点,
建立如图所示的直角坐标系。
设B(-a,0),O(0,0),C(a,0),A(m,n),其中a>0.
则由两点间的距离公式得
| AB |2 + | AC |2 =( m + a )2 + n2 + ( m - a )2 + n2 = 2( m2 + n2 + a2 ),
| AO |2 + | OC |2 =m2 + n2 + a2,
∴ 证得| AB |2 + | AC |2 =2(| AO |2 + | OC |2)。
五、求曲线的轨迹方程
在求曲线方程的时候,好多的题目都涉及到两点间的距离公式,及公式的变形、化简。
例6、已知动点P到定点A(0,-1)的距离与到定直线y = -9的距离的比为,求动点P的轨迹方程。
解:设P(x,y),则由题意得,化简整理得9x2 + 8y2 – 72 = 0.
∴动点P的轨迹方程是9x2 + 8y2 – 72 = 0.