放缩法技巧全总结(非常精辟

放缩法技巧全总结(非常精辟 2010高考数学备考之放缩技巧 证明数列型不等式～因其思维跨度大、构造性强～需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性～能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力～因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构～深入剖析其特征～抓住其规律进行恰当地放缩,其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 nn215的值; (2)求证:. 例1.(1)求,,,224k,13k,1k,1k 2211n212n解析:(1)因为,所以 ,,,,1,,2,2(2n,1)(2n，1)2n,12n，14n,12n，12n，14k,1,1k n1111125,, (2)因为,所以 11411,,121,，,，？，,,，,,,,2,,,2,,,k352n12n133,，22,,,1k1nn2,12，1nn4,12,,n,4 121114411,,,,,奇巧积累:(1) (2) 12,,,2,,,222(n，1)n(n,1)n(n,1)n(n，1)CC44,12,12，1nnnnn,,n，n1 1n!11111rT,C,,,,,,,(r,2) (3) ，1rnrrr!(n,r)!r!r(r,1)r,1rnn 11115n (4) (这个错了) (1，),1，1，，，？，,n2，13，2n(n,1)2 1111,, (5) (6) nnnn,n，2,n2(2,1)2,12n，2 21111,,1,,,,,, (7) (8) nn,1n2(n，1,n),,2(n,n,1)2n，12n，32(2n，1),2(2n，3),2,,n 11111111,,,, (9) ,，,,,,,,,k(n，1,k)n，1,kkn，1n(n，1，k)k，1nn，1，k,,,, 1222n11 (10) (11) ,2(2n，1,2n,1),,,,(n，1)!n!(n，1)!n2n，1，2n,111n，，n,22 (11) nnnn,1222211,,,,,(n,2) n2nnnnnn,1n,1n(2,1)(2,1)(2,1)(2,1)(2,2)(2,1)(2,1)2,12,1 ,,111111,, (12) ,,,,,,,32n(n,1)(n，1)n(n,1)n(n，1)n，1,n,1nn,n,, 11n，1，n,111,, ,,,,,,,n,1n，12nn,1n，1,, nn212n，1nnnnn2,2,2,(3,1),2,3,3(2,1),2,2,1,,, (13) n3213, k，2111 (14) (15) ,,,n,n,1(n,2)k!，(k，1)!，(k，2)!(k，1)!(k，2)!n(n，1) 1 / 22 2222i，1,j，1i,ji，j (15) ,,,12222i,j(i,j)(i，1，j，1)i，1，j，1 11171例2.(1)求证: 1，，，？，,,(n,2)22262(2n,1)35(2n,1) 111111 (2)求证: ，，，？，,,24163624n4n 11,31,3,51,3,5,？,(2n,1) (3)求证: ，，，？，,2n，1,122,42,4,62,4,6,？,2n 111 (4) 求证: 2(n，1,1),1，，，？，,2(2n，1,1)23n n解析:(1)因为,所以 111111111111,,1()1(),，,,，,,,,,,,2223212321n，n,(2i,1)(2,1)(2，1)22,12，1nnnn(2,1)n,,i,1111111111 (2) ，，，？，,，，？，,，,(1)(11)222nnn416364442 1,3,5,？,(2n,1)1 (3)先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案 1,,n，2,n2,4,6,？,2n2n，1n，2 12 (4)首先,所以容易经过裂项得到 ,2(n，1,n),nn，1，n 111 2(n，1,1),1，，，？，23n 再证而由均值不等式知道这是显然成立的，所以1222,2(2n，1,2n,1),,n2n，1，2n,111n，，n,22111 1，，，？，,2(2n，1,1)23n 61115n例3.求证: 1,，，，？，,2(1)(21)493n，n，n 解析:一方面:因为,所以 11411,,,,,2,,,221nn2,12，1nn4,12,,n,4 n1111125 ,,121,，,，？，,,，,,,,2k352n12n133,，,1,,k 1111111n 另一方面: 1，，，？，,1，，，？，,1,,249n2，33，4n(n，1)n，1n，1 6n111n6n 当时,,当时,, n,3n,1,1，，，？，,2(n，1)(2n，1)49nn，1(n，1)(2n，1) 6n111当时,,所以综上有 n,2,1，，，？，2(n，1)(2n，1)49n 61115n 1,，，，？，,2(1)(21)493n，n，n n(n,2k,1,k,Z),x,1例7.已知,,求证: x,1,nn,1(n,2k,k,Z), 2 / 22 111，，？，,2(n，1,1)(n,N*) 444x,xx,xxxnn，2345221 111112证明: ,因为 ,,,,,224444xx(2n1)(2n1)2n2n,，,4n14n,2n2n，1 122 ,所以 ,,,2(n，1,n)2n,n，n，14xx2nn，n，12n2n，1 111 所以 ，，？，,2(n，1,1)(n,N*)444x,xx,xxxnn，2345221 二、函数放缩 lnx,x,1 (可用求导证明)这个式子重中之重。 nln2ln3ln4ln35n，6n*，，，？，,3,(n,N) 例8.求证:. n23436 nln2ln3ln4ln3111lnx1 解析:先构造函数有,从而 n，，，？，,3,1,(，，？，)lnx,x,1,,1,nn23423xx33 11111111111111,,,,,,，，，,，，，，，，，，，，，，？？？因为 ,,,,,,nnnn2323456789322，13,,,,,, nn,1,1,,53399335n,,,,,,,，，，，，？，，,,,,, nn,1,,66918276233,,,,,,, nln2ln3ln4ln35n5n，6nn所以 ，，，，,3,1,,3,？n234663 ,,,2ln2ln3lnn2n,n,1,,2,，，？，,(n,2) 例9.求证:(1) ,,,2(n，1)23n 2,2lnn11lnnlnnlnx,1,,1, 解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以,f(x),22,2n(n，1)nnnnx 得到答案 ,,lnn,n,1(,,2) 函数构造形式: , lnx,x,1 11111，，？，,ln(n，1),1，，？，例10.求证: 23n，12n 3 / 22 n，1n2n，1nln(n，1),ln,,？,,ln，ln，？，ln2 解析:提示:nn,11nn,1 1 lnx,x,lnx,1,函数构造形式: xy当然本题的证明还可以运用积分放缩 1 f(x),如图,取函数, xDEn11CnF,i,,lnx|,lnn,ln(n,i)首先:,从而, ,ni,BAnxOx,nin-in1 ,lnn,ln(n,1)取有,, i,1n n11111S,,ln3,ln2所以有,,…,,,相加后可,ln2,lnn,ln(n,1),ln(n，1),lnnABCF,x32nn，1,ni 111，，？，,ln(n，1)以得到: 23n，1 nn111nS,,i,,lnx|,lnn,ln(n,i)ABDE另一方面,从而有 ,,ni,xn,ix,ni,ni 1取有,, i,1,lnn,ln(n,1)n,1 1111111，，？，,ln(n，1),1，，？，所以有,所以综上有 ln(n，1),1，，？，23n，12n2n 111111(1，)(1，),？,(1，),e例11.求证:和. (1，)(1，),？,(1，),e2n2!3!n!9813 解析:构造函数后即可证明 2n,3(1，1，2),(1，2，3),？,[1，n(n，1)],e例12.求证: 3 解析:,叠加之后就可以得到答案 ln[n(n，1)，1],2,n(n，1)，1 31，ln(1，x)3 函数构造形式:(加强命题) ln(x，1),2,(x,0),,(x,0)x，1xx，1 ln2ln3ln4lnnn(n,1) 例13.证明: ，，，？，,(n,N*,n,1)345n，14 解析:构造函数,求导,可以得到: f(x),ln(x,1),(x,1)，1(x,1) ''12,x' ,令有,令有, f(x),0f(x),01,x,2x,2f(x),,1,x,1x,1 222 所以,所以,令有, x,n，1lnn,n,1f(x),f(2),0ln(x,1),x,2 4 / 22 lnnn,1ln2ln3ln4lnnn(n,1),,所以 所以，，，？，,(n,N*,n,1)n，12345n，14 211ae,aaa,,，，1,(1). 例14. 已知证明. n11nn，2nnn，2 1111a,(1，)a，,(1，，)a 解析: , n，1nnnnn(n，1)n(n，1)22 11lna,ln(1，，)，lna然后两边取自然对数,可以得到 n，1nnn(n，1)2 ln(1，x),x然后运用和裂项可以得到答案) 1111a,(1，，)a, 放缩思路:lna,ln(1，，)，lna,1n，n2nn，1n2nn，n2n，n2 1111lna,，，。于是， lnalna,,，n2nn，1n2nnn2，nn2， 1n,11,()nn,1,1111112 aaaa(ln,ln),(，),ln,ln,1,，,2,,,2.,,iin，11in21nnii，22ii,1,11,22即 lna,lna,2,a,e.nn1 ln(1)，,xx注:题目所给条件()为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用;当x,0 n2,n(n,1)(n,2)然，本题还可用结论来放缩: 111,，，,a(1)a a，1,(1，)(a，1),n，1nn，1nn(n,1)n(n,1)n(n,1) 11 ln(1)ln(1)ln(1).a，,a，,，,n，1nn(n,1)n(n,1) n1n1,,11， aaaa,[ln(，1),ln(，1)],,ln(，1),ln(，1),1,,1,,i1in2，iin(,1)i2i2,, 2ln(a，1),1，ln3,a,3e,1,e.即 nn x,f'(x),f(x) 例15.(2008年厦门市质检) 已知函数是在上处处可导的函数,若在f(x)(0,，,) 上恒成立. x,0 f(x) (I)求证:函数上是增函数; g(x),在(0,，,)x x,0,x,0时,证明:f(x)，f(x),f(x，x) (II)当; 121212 ln(1，x),x在x,,1且x,0 (III)已知不等式时恒成立， 1111n2222*ln2，ln3，ln4，？，ln(n，1),(n,N). 求证: 22222(n，1)(n，2)234(n，1) 5 / 22 f(x)f'(x)x,f(x)g(x),在(0,，,),所以函数上是增函数 解析:(I)g'(x),,02xx f(x)g(x),在(0,，,) (II)因为上是增函数,所以 x f(x)f(x，x)x1121,,f(x),,f(x，x) 112xx，xx，x11212 f(x)f(x，x)x2122 ,,f(x),,f(x，x)212xx，xx，x21212 f(x)，f(x),f(x，x) 两式相加后可以得到 1212 f(x，x，？，x)f(x)x12n11,,f(x),,f(x，x，？，x) (3) 112nxx，x，？，xx，x，？，x112n12n f(x，x，？，x)f(x)x12n22…… ,,f(x),,f(x，x，？，x)212nxx，x，？，xx，x，？，x212n12nf(x)f(x，x，？，x)xn12nn ,,f(x),,f(x，x，？，x)n12nxx，x，？，xx，x，？，xn12n12n相加后可以得到: f(x)，f(x)，？，f(x),f(x，x，？，x) 12n12n xlnx，xlnx，xlnx，？，xlnx,(x，x，？，x)ln(x，x，？，x) 所以 112233nn12n12n 1,,11112222令,有 x,,,,ln2，ln3，ln4，？，ln(n，1),n22222,,(1，n)234(n，1),,,,,,1111111 ,,,,？ln？，，，，,，，，2222222,,,,234(n1)23(n1)，，,,,, ,,,,111111,,,,,，，？，,ln，，？， 222,,,,2，13，2(n，1)n23(n，1),,,, 111n,,,,,,,,,,,,, n，12n，22(n，1)(n，2),,,, 所以 1111n2222*ln2，ln3，ln4，？，ln(n，1),(n,N). 22222(n，1)(n，2)234(n，1) 6 / 22 22nnln(，1)ln(，1)ln411,, (方法二),,,ln4,,,2nnnnnnn(，1)(，2)(，1)(，2)，1，2(，1),, 111111nln4,,2222 所以 ln2，ln3，ln4，？，ln(n，1),ln4,,,,22222n，22(n，2)234(n，1),, 1111n2222*1 又,所以 ln2，ln3，ln4，？，ln(n，1),(n,N).ln4,1,22222(n，1)(n，2)234(n，1)n，1 f(x),xlnx. 例16.(2008年福州市质检)已知函数若 a,0,b,0,证明:f(a)，(a，b)ln2,f(a，b),f(b). gxfxfkxk()()(),(0),，,, 解析:设函数 ？f(x),xlnx, ？g(x),xlnx，(k,x)ln(k,x), ？0,x,k. x,？g(x),lnx，1,ln(k,x),1,ln,k,x x2x,kk,令g(x),0,则有,1,,0,,x,k.k,xk,x2 k k(0,]g(x)在[,k ?函数)上单调递增，在上单调递减. 22 kkg() ?的最小值为，即总有 g(x),g().g(x)22 kkkk 而 g(),f()，f(k,),kln,k(lnk,ln2),f(k),kln2,2222 ？g(x),f(k),kln2, f(x)，f(k,x),f(k),kln2. 即 令则k,a，b. x,a,k,x,b, ？f(a)，f(b),f(a，b),(a，b)ln2. ？f(a)，(a，b)ln2,f(a，b),f(b). 三、分式放缩 bb，mbb，m 姐妹不等式:和 ,(b,a,0,m,0),(a,b,0,m,0)aa，maa，m 记忆口诀”小者小,大者大” 解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之. 111例19. 姐妹不等式:和 (1，1)(1，)(1，)？(1，),2n，1352n,1 7 / 22 11111也可以 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示成为 (1,)(1,)(1,)？(1，),2462n2n，1 1,3,5,？,(2n,1)1和 2,4,6？,2n,,2n，12,4,6,？,2n1,3,5,？,(2n,1)2n，1 bb，m解析: 利用假分数的一个性质可得 ,(b,a,0,m,0)aa，m 2462n3572n，11352n,1 ,,？,,,？,,,？,(2n，1)1352n,12462n2462n 2462n2111(,,？),2n，1即 ,(1，1)(1，)(1，)？(1，),2n，1.1352n,1352n,1 1113 例20.证明: (1，1)(1，)(1，)？(1，),3n，1.473n,2 : 运用两次次分式放缩: 解析 2583n,13693n (加1) ,,,？,,.,,？,,1473n,22583n,1 2583n,147103n，1 (加2) ,,,？,,.,,？,,1473n,23693n ,可以得到: 相乘 22583n,147103n，11473n,2,, ,,,？,,.,,？,,,,,,？,,(3n，1),,1473n,22583n,12583n,1,, 1113(1，1)(1，)(1，)？(1，),3n，1. 所以有 473n,2 四、分类放缩 111n 1，，，？，, 例21.求证: n23221, 11111111111，，，？，,1，，(，)，(，，，)，？， 解析: n3333232442,12222 1111n1n()(1)，，？，,,，,, nnnnn2222222 2 例23.(2007年泉州市高三质检) 已知函数，若的定义域为[,1，0]，值域f(x),x，bx，c(b,1,c,R)f(x) f(n)*b,(n,N)n{b}也为[,1，0].若数列满足，记数列的前项和为，问是否存在正常数nT3{b}nnnn T,AnA，使得对于任意正整数都有,并证明你的结论。 n 2fnnn，()212b,,,f(x),x，2xn 解析:首先求出,? 33nnn 1111111111111Tbbbb,，，，？，,，，，？，1?,?,,… ，，，,4，,n123n，,2，,n235678823442 8 / 22 k 11111T,，1k,1kn2，，？，,，,,故当时,, n,2k,1k,1kk22122222，， 因此，对任何常数A，设是不小于A的最小正整数， m 2m,22m,2n,2T,，1,m,A则当时,必有. n2 故不存在常数A使对所有的正整数恒成立. n,2T,An x,0,, ,Dy,0,, 例24.(2008年中学教学参考)设不等式组表示的平面区域为,设内整数坐标点的nDn,y,,nx，3n, 111S？,，，，个数为.设, annaaan，1n，22n n，1111711，，，，,？当时,求证:. n,2aaaa36n1232 n，1111711 ，，，，,？a,3nn 解析:容易得到,所以,要证只要证aaaa36n1232 n，111711S,，，，？，,1n,因为n223212 1111111111 S,，1，(，，)(，，，，)？，(，，？，n n,1n,1n223456782，12，22 n，137711,，，T，T，，T,，n,,？1(1)12n,1,所以原命题得证. 222221212 七、分类讨论 nSS,2a，(,1),n,1.{a}n 例30.已知数列的前项和满足证明:对任意的整数 nnnn 1117，，，,？m,4，有 aaa845m 2n,2n,1,,a,2，(,1). 解析:容易得到, n3 n(,1) 由于通项中含有，很难直接放缩，考虑分项讨论: 9 / 22 n,2n,11131132，2且为奇数时 当n，,(，),,n,3n,2n,12n,3n,1n,2aa222，12,12，2,2,1nn，1 n,2n,132，2311,,,,(，) (减项放缩)，于是 2n,3n,2n,122222 11111111，，，，，()？() ?当且为偶数时 mm,4，，？，,aaaaaaaa456m,1m45m 131111311137,，(，，？，),，,,(1,),，,. 34m,2m,4222242882222 1111111？，，，，?当且为奇数时(添项放缩)由?知mm,4，，？，,aaaaaaa45mm，145m 11117 ，，，，,.？ 由??得证。 aaaa845mm，1 八、线性规划型放缩 21x，fx(), 例31. 设函数.若对一切，，求的最大值。 ,,，,3()3afxbab,xR,2x，2 2211(2)(1),，,xx(())((1)1)0fxf，,, 解析:由知 即 (())((1)1)fxf，,,2222(2)x，2 1,,,fx()1 2 11由此再由的单调性可以知道的最小值为，最大值为 fx()fx(),2 1,,,,，,33ab,,,，,3()3afxb因此对一切，的充要条件是， xR,2, ,,,，,33ab, ab，,,3, ,ab，,3,,1 即a，满足约束条件， b,,，,,ab32, ,1,，,ab3,,2 由线性规划得，的最大值为5( ab, 九、均值不等式放缩 2(1)(1)nn，n，S,1,2，2,3，？，n(n，1). 例32.设求证 .,S,nn22 a,k(k，1),k,1,2,？,n. 解析: 此数列的通项为 k 10 / 22 nn1k，k，11？k,S,(k，),,，， n？k,k(k，1),,k，222,1,1kk 2nn，nn，nn，(1)(1)(1),S,，,.即 n2222 a，b注:?应注意把握放缩的“度”:上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成ab,2 2nn，n，n，(1)(3)(1)S,k，,,(1)则得，就放过“度”了～ ,nk(k，1),k，122k1, 根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 ? 22a，？，aa，？，an1n1nn ,a？a,,1n11nn，？，aa1n 其中，等的各式及其变式 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 均可供选用。 n,2,3 1 f(x),1 例33.已知函数，若，且在[0，1]上的最小值为，求证:4f(x)bxf(1),1，a,225 11 f(1)，f(2)，？，f(n),n，,.n，122x4111解析: f(x),,1,,1,(x,0),f(1)，？，f(n),(1,)xxx2，21，41，42,2 1111111，(1,)，？，(1,),n,(1，，？，),n，,. 2nn,1n，14222，22，222 nnn2nn，1,(a，b),a,b,2,2例34.已知a,b为正数，且，试证:对每一个，. 11n,N，,1ab 11ab11解析: 由得，又，故，而ab,a，b,4(a，b)(，),2，，,4ab,a，b，,1abbaab n0n1n,1rn,rrnn(a，b),Ca，Cab，？，Cab，？，Cb， nnnn 1n,1rn,rrn,1n,1nnnf(n),(a，b),a,bCab，？，Cab，？，Cab令，则f(n)=，因为nnn in,iC,C，倒序相加得nn 1n,1n,1rn,rrrn,rn,1n,1n,1C(ab，ab)，？，C(ab，ab)，？，C(ab，ab)2f(n)=， nnn nn,1n,1n,rrrn,rn,1n,1nnn，12ab，ab,？,ab，ab,？,ab，ab,2ab,2,4,2而， 则 1rn,1rn,rn,rrnrn,rn,rrn(C，？，C，？，C)(ab，ab),(2,2)(ab，ab),(2,2),2f(n)=nnn n，1nnnn2nn，1n,(a，b),a,b,2,222,(2,2),，所以，即对每一个，. n,Nf(n) 1n, 123n2C，C，C，？，C,n,2(n,1,n,N) 例35.求证 nnnn 11 / 22 解析: 不等式左 123nn2n,1n2n,1C，C，C，？，C,2,1,1，2，2，？，2=,n,1,2,2,？,2nnnn 1n, 2n,2， 原结论成立. n ，1n2x,xf(1),f(2),f(3),？,f(n),(e，1) 例36.已知,求证: f(x),e，e 解 xx1211ee1xxx，xx，x121212f(x),f(x),(e，),(e，),e，，，,e，1析: 12xxxxxx122112eeeee,e n ，1n2f(1),f(2),f(3),？,f(n),(e，1)经过倒序相乘,就可以得到 十、二项放缩 nn01nn01 ,, 2,(1，1),C，C，？，C2,C，C,n，1nnnnn 2n2n，n，n012 2,n(n,1)(n,2)2,C，C，C,nnn2 211例44. 已知证明 ae,aaa,,，，1,(1).n11nn，2nnn，2 111 解析: ,，，,a(1)aa，1,(1，)(a，1),n，1nn，1n,,n(n1)n(n1)n(n,1) n1n1,,11 ， 11a，,a，,，,ln(1)ln(1)ln(1).,[ln(a，1),ln(a，1)],,ln(a，1),ln(a，1),1,,1n，1n,,i1in2，nn,nn,(1)(1)iin(,1)i2i2,, 2即 ln(a，1),1，ln3,a,3e,1,e.nn 例45.设，求证:数列单调递增且 a,4.1{a}nnna,(1，)nn n，1n，1n 解析: 引入一个结论:若则(证略) b,a,0b,a,(n，1)b(b,a) n，1n整理上式得() ,a,b[(n，1)a,nb]. 1111以代入()式得 n，1,n(1，),a,1，,b,1，(1，).nn，1nn，1 {a}即单调递增。 n 111以代入()式得 n2n,11,(1，),,(1，),4.a,1,b,1，nn2n222 {a}1此式对一切正整数n都成立，即对一切偶数有，又因为数列单调递增，所以对一切正整nn(1，),4n 1数有。 nn(1，),4n 1n 注:?上述不等式可加强为简证如下: 2,(1，),3.n 1111n12n 利用二项展开式进行部分放缩: a,，,，C,，C,，？，C(1)1.nnnn2nnnnn 11 只取前两项有对通项作如下放缩: a,1，C,,2.nnn 11nn,1n,k，1111k ,,,,,,,.C？nkk,1k!nnnk!1,2？2n2 12 / 22 n,111111,(1/2) 故有a,1，1，，，？，,2，,,3.n2n,1221,1/222 {a}?上述数列的极限存在，为无理数;同时是下述试题的背景: en nmiiiii,m,n(1，m),(1，n).已知是正整数，且(1)证明;(2)证明(01年全国卷理1,i,m,n.nA,mAmn科第20题) 1n 简析 对第(2)问:用代替得数列是递减数列;借鉴此结论可有如下简捷证法:数列n1/n{b}:b,(1，n)nn111nmnmn递减，且故即。 1,i,m,n,{(1，n)}(1，m),(1，n)(1，m),(1，n), 当然，本题每小题的证明方法都有10多种,如使用上述例5所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚 至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决～详见文[1]。 nn1,n. 例46.已知a+b=1,a>0,b>0,求证: a，b,2 111解析: 因为a+b=1,a>0,b>0,可认为成等差数列，设， a,,ba,,d,b,，d222 nn从而 11,,,,nn1,na，b,,d，，d,2,,,,22,,,, 28n 例47.设，求证. n,1,n,N(),3(n，1)(n，2) 2n解析: 观察的结构，注意到31，展开得 nn()(),(1，)3221111(1)(1)(2)6nnn,n，n，，123n， (1)11？，,，C,，C,，C,，,，，,nnn232228822 1(n，1)(n，2)即，得证. n(1，),28 ln3,ln21ln2 例48.求证:. ,ln(1，),n2nn 解析:参见上面的方法,希望读者自己尝试!) **例42.(2008年北京海淀5月练习) 已知函数，满足: yfxxy,,,(),,NN *?对任意，都有; abab,,,,Naf(a)，bf(b),af(b)，bf(a) *?对任意都有. n,Nffnn[()]3, *(I)试证明:为上的单调增函数; Nf(x) (II)求; f(1)，f(6)，f(28) n1111n*(III)令，试证明:. afn,,(3),N?，，，,n424naaa，12n 解析:本题的亮点很多,是一道考查能力的好题. (1)运用抽象函数的性质判断单调性: 因为,所以可以得到, af(a)，bf(b),af(b)，bf(a)(a,b)f(a),(a,b)f(b),0 * 也就是,不妨设,所以,可以得到,也就是说为上的单调增函Nf(x)a,b(a,b)(f(a),f(b)),0f(a),f(b) 数. (2)此问的难度较大,要完全解决出来需要一定的能力! 首先我们发现条件不是很足,,尝试探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么结论,一发现就有思路 了! 由(1)可知,令,则可以得到 (a,b)(f(a),f(b)),0b,1,a,f(1) ,又,所以由不等式可以得到,又 (f(x),1)(f(f(1)),f(1)),0f(f(1)),31,f(1),3 ,所以可以得到 ? f(1),N*f(1),2 接下来要运用迭代的思想: 因为,所以,, ? f(1),2f(2),f[f(1)],3f(3),f[f(2)],6f(6),f[f(3)],9 13 / 22 ,,, f(9),f[f(6)],18f(18),f[f(9)],27f(27),f[f(18)],54f(54),f[f(27)],81 在此比较有技巧的方法就是: ,所以可以判断 ? 81,54,27,54,27f(28),55 当然,在这里可能不容易一下子发现这个结论,所以还可以列项的方法,把所有项数尽可能地列出来,然后 就可以得到结论. 所以,综合???有= 55，9，2,66f(1)，f(6)，f(28) (3)在解决的通项公式时也会遇到困难. {a}n nn，1n，1nnnn* ,所以数列的方程为,从而f[f(3)],3,f(3),f{f[f(3)]},3f(3),,a,3aa,2,3afn,,(3),Nn，1nnn 11111, ，，？，,,(1)naaa4312n 111nn0011 一方面,另一方面 3,(1，2),C,2，C,2,2n，1(1,),nnn434 111112nn 所以,所以,综上有 (1,),(1,),,,n4342n，142n，14n，2 n1111. ?，，，,424naaa，12n 例49. 已知函数f，x，的定义域为[0,1]，且满足下列条件: ? 对于任意[0,1]，总有，且; x,fx,3，，f14,，， ? 若则有 fxxfxfx，,，,()3.，，，，xxxx,,，,0,0,1,12121212 (?)求f，0，的值; (?)求证:f，x，?4; (?)当时，试证明:. 11fxx()33,，xn,,,,,(,](1,2,3,)nn,133 解析: (?)解:令， xx,,012 fx,3由?对于任意[0,1]，总有， ? f(0)3,x,，， 又由?得即 ff(0)2(0)3,,,f(0)3;, ? f(0)3., (?)解:任取xx,[0,1],,且设xx,, 1212 则 fxfxxxfxfxx()[()]()()3,,，,,，,,2121121 因为，所以，即 xx,,0fxx()30,,,,fxx()3,,212121 ?. fxfx()(),12 ?当[0,1]时，. x,fxf()(1)4,, 11(?)证明:先用数学归纳法证明: fnN()3(*),，,nn,,1133 11(1) 当n=1时，，不等式成立; ff()(1)4133,,,，,，0033 11(2) 假设当n=k时， ()3(*)fkN,，,kk,,1133 1111111由 ffff()[()]()()3,，，,，，,kkkkkkk,13333333 14 / 22 111 ,，，,fff()()()6kkk333 111得 3()()69.ff,，,，kkk,,11333 即当n=k+1时，不等式成立 11由(1)、(2)可知，不等式对一切正整数都成立. f()3,，nn,,1133 11111于是，当时，， xn,,,,,(,](1,2,3,)33333()xf，,，，,，,nn,1nnn,,1133333 而[0,1]，单调递增 x,fx，， 111? 所以， ff()(),fxfx()()33.,,，nn,1n,1333 例50. 已知: aaaa，，，,,1,0(i,1,2？n)12ni 2222 求证: aaaa1nn,112，，，，,，，，，aaaaaaaa2nnn,1223112222aaaa解析:构造对偶式:令 n,1n12A,，，，，？a，aa，aa，aa，a1223n,1nn12222aaaa 3n 21B,，，，，？a，aa，aa，aa，a1223n,1nn122222222a,aa,aa,aa,a23n,1nn112则 A,B,，，，，？a，aa，aa，aa，a1223n,1nn1 , (a,a)，(a,a)，？，(a,a)，(a,a),0,？A,B1223n,1nn122a,a1又 ( ？iji,j,1,2？n),(a，a)ija，a2ij22222222,,,,aaaaaaaa11 23n,1nn112？,，,，，，，A(AB)()？，，，，22aaaaaaaa1223n,1nn111 ()()()(),,,a，a，a，a，？，a，a，a，a,1223n,1nn142十一、积分放缩 利用定积分的保号性比大小 b保号性是指，定义在上的可积函数，则. fx,,0，，，，ab,fxdx,,0,,，，，，,a e, 例51.求证:. ,,e ,lnln,e,,lnlnlnlnexx,1ln,xe,，，,, 解析: ，?， ,,,e,,dx,,,d,,2,,,,eeex,exx,，，,,e ,1ln,x1ln,x时，，， xe,,,，，,0dx,022,exx e,lnln,e?，. ,,e,e, 利用定积分估计和式的上下界 定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积，现在用它来估计小矩形的面积和. 111例52. 求证:，. nnN,,1,1211，，，，,，,n，，，，23n 1 解析: 考虑函数在区间上的定积分. in,1,2,3,,，，ii,1，,,fx,，，x i，1111如图，显然-? ,,,1dx,iiix 15 / 22 nnn，1，1i111i求和， 对,dx,dx,,,,1iixx,,11ii n，1. ，，,，,211n,2x，，，，1 11117 例53. 已知.求证:. nNn,,,4，，，，,nnnn，，，123210 1 解析:考虑函数在区间上的定积分. in,1,2,3,,ii,1，，，，fx,，，,,,1，xnn，， i1?n-? 1,dx,1i11,,,，xni，1nin1，n in11n1117n?. n,dx,,，dxxln1，，，，,,ln2,,1i11,,,，，00,,1，xni，，x101,1,i,1inini,11，n 2 例54. (2003年全国高考江苏卷)设，如图，已知直线及曲线:，上的点的横坐标QCy,xCa,0l:y,ax1 Pya().从上的点作直线平行于轴，交直线于点，再从点作直线平行于轴，交曲为xClP0,a,aQn,1n，11n，1，，1n 线于点.的横坐标构成数列. CQaQnn,1,2,,,,，，n，1nn ,,aaa(?)试求与的关系，并求的通项公式; nn，1n 1n (?)当时，证明; 11,a,a,1(a,a)a,,kk，1k，2232k,1 n1 (?)当时，证明. a,1aaa,,(),，，12kkk,1k3 n,1a21解析:(过程略). ,()aana 2111证明(II):由知，?，?. a,1aa,，nn1aa,,,a,1234162 1?当时，， k,1aa,,k，2316 nn111?. aaaaaaa,,,,,,()()(),,，，，，12111kkkkkn,,11kk161632 2证明(?):由知. a,1aa,，kk1 2?恰表示阴影部分面积， ()()aaaaaa,,,kkkkkk，，，，1211 ak显然 ? 22()aaaxdx,,，，11kkk,a，1k nna?n. 1112a32k2,xdx,,a()()aaaaaa,,,,xdx,1,,，，，，1211kkkkkk0,,a，1k33,,11,k1kk 奇巧积累: 将定积分构建的不等式略加改造即得“初等”证明，如: i，111?; ,，,21ii,,dx，，,iix 16 / 22 1iii,1,,,,; ?1n,，,，ln1ln1,dx,,,,,1i,ni，nn,,,,，x1n sin,i1?; sinsin,,,ii,1,,,dx,,1ii,2,2sin,i,11,x1sin,,i,1 a1k?. 2233aaaxdxaa,,,,()，，，，，111kkkkk,a，1k3 十二、部分放缩(尾式放缩) 1114 例55.求证: ，，？，,n,1313217，，，321,， 1111111111 解析: ，，，,，，，,，，，？？？n,1n,12n,13，13，2，147283,2，13,2，13,23,2 1 111474844,，,,,,1283848471,2 111例56. 设求证: a,2.，？，,a,2.na,1，，naaa3n2 111111 解析: ，？，,1，，，？，.a,1，，naa222ann323221111 又(只将其中一个变成，进行部分放缩)，， kk,1k,k,k,k(k,1),k,2？,,,2k(k1)k1k,,k 111111111于是 ,2,,2.,1，，，？，,1，(1,)，(,)，？，(,)an222223n,1n23nn 2 例57.设数列满足，当时证明对所有 有;n,1,(i)a,n，2,,aa,3，，a,a,na，1n,Nn1nn，nn，1 1111 (ii)？，，，,1a1a1a2，，，12n 解析: 用数学归纳法:当时显然成立，假设当时成立即，则当时 (i)n,kn,k，1a,k，2n,1k ，成立。 a,a(a,k)，1,a(k，2,k)，1,(k，2),2，1,k，3k，1kkk 利用上述部分放缩的结论来放缩通项，可得a,2a，1(ii)k，1k 11k,1k,1k，1 a，1,2(a，1),a？a，1,,2(，1),2,4,2,,.k，1kk1k，1a，12k1n1,() nn11112,,,,.,,，1i1a1，422,1,1iii1,2 注:上述证明(i)用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩:;证a,(k，2)(k，2,k)，1,k，3k，1明就直接使用了部分放缩的结论 (ii)a,2a，1k，1k 十三、三角不等式的放缩 y 例58.求证:. |sinx|,|x|(x,R)P 解析:(i)当时, x,0|sinx|,|x|A , (ii)当时,构造单位圆,如图所示: 0,x,2xOBT 因为三角形AOB的面积小于扇形OAB的面积 所以可以得到 sinx,x,|sinx|,|x| , 当时 |sinx|,|x|x,2 所以当时有 x,0sinx,x|sinx|,|x| 17 / 22 时, ,由(ii)可知: (iii)当x,0,x,0|sinx|,|x| 所以综上有 |sinx|,|x|(x,R) 十四、使用加强命题法证明不等式 (i)同侧加强 对所证不等式的同一方向(可以是左侧,也可以是右侧)进行加强.如要证明,只要证明f(x),A ,其中通过寻找分析,归纳完成. Bf(x),A,B(B,0) n1例59.求证:对一切,都有. n(n,N*),3,kkk,1 ,,1111111解析: ,,,,,,,,,,32kk(k,1)k(k，1)(k,1)kk(k，1)k，1,k,1kk(k,1),, ,,111111k，1，k,1,, ,,,,,,,,,,,,2(k,1)kk(k，1)k，1,k,1kk,1k，1,,,, 1112k11,, ,,,,,,,2kk,1k，1k,1k，1,, n111111111211从而 ,1，,，,，,，？，,,1，,,,3,2kkkkkk132435,1，1，1,1k 当然本题还可以使用其他方法,如: ,, 1111111k，k,111,,,,,,,,,,,,,,,,,21kkkk,1k,k,k,1k(k,1)k,k,1kk,1k,,k,, 11,,,2,,,,k,1k,, nn111 所以. ,1，,1，2(1,),3,,kkkkk,1,2kk (ii)异侧加强(数学归纳法) (iii)双向加强 有些不等式,往往是某个一般性命题的特殊情况,这时,不妨”返璞归真”,通过双向加强还原其本来面目,从而 顺利解决原不等式.其基本原理为: 欲证明,只要证明:. A,f(x),BA，C,f(x),B,C(C,0,A,B) 1 例60.已知数列满足:,求证: {a}2n,1,a,3n,2(n,2).a1,aa,,，nnnn1，1an 222,,1 解析: ,从而,所以有 22a,a,2nn,,,1a,a，,a，2nn,1k,1,,an,1,, 22222222 ,所以 a,(a,a)，(a,a)，？，(a,a)，a,2(n,1)，1,2n,1a,2n,1nnn,n,n,n112211 222,,1 又,所以,所以有 22a,a,3nn,1,,a,a，,a，3nn,1k,1,,an,1,, 22222222 所以 a,(a,a)，(a,a)，？，(a,a)，a,3(n,1)，1,3n,2a,3n,2nnn,n,n,n112211 所以综上有 2n,1,a,3n,2(n,2).n 1n引申:已知数列满足:,求证: . {a}1a1,aa,,，nnn1，1,2n,1,aak,1nk 解析:由上可知,又,所以 a,2n,11122n,1，2n,3n2n,1,,,,2n,1,2n,32a2n,12n,1，2n,3n 18 / 22 n1 从而,1，3,1，5,3，？，2n,1,2n,3,2n,1(n,2),a,1kk n11 又当时,,所以综上有. n,1,1,2n,1,aa,1k1k 22, 同题引申: (2008年浙江高考试题)已知数列,,,. a,0a,0a，a,1,a(n,N),,a1nnnnn，1，1 ,记,.求证:当时. 111S,a，a，？，an,Nn12nT,，，？，n1，a(1，a)(1，a)(1，a)(1，a)？(1，a)11212n (1); (2); ?(3). T,3a,aS,n,2nnn，1n 22 解析:(1),猜想,下面用数学归纳法证明: a,1a,a,1,ann，1nn，1 (i)当时,,结论成立; n,1a,11 22 (ii)假设当时,,则时, n,k(k,1)a,1n,k，1(k,1)a，a,1，akk，k，k11 2 从而,所以 0,a,1a，a,2,a,1k，1k，1k，1n，1 22 所以综上有,故 0,a,1a,a,0,a,ann，1nn，1n 22222222 (2)因为则,,…, ,相加后可以得到: a,a,1,aa,a,1,aa,a,1,aa,a,1,a212n，1nn，1323n，1nn，1 222,所以 a,a,n,(a，a，？，a),S,n,an，n，n，n，1123111 2,所以 S,n,1,a,n,2S,n,2nnn 22aa21nn，1 (3)因为,从而,有,所以有 a，a,1，a,2aa，,,1n，n，nn11n，1a1a2a，n，1nn，1 aaaa1131n，nn， ,从而 ,,？,1n,(1a)(1a)(1a)2a2a2a2a，？，，31122nn，nn, 1a1an，1n，1,所以 ,,,n,1n,1(1)(1)(1)(1)(1)212，，，，，，aaa？aaaa123nn，122 1a1ann,所以 ,,,n21n,2(1)(1)(1)(1)212，，，，，aaa？aaa123n22 aaa1111123n4 T？？,1，，，，，,1，，，，，,，1，1,3n2n,22n,2aa1，2221，2225，122 所以综上有. T,3n 3a 例61.(2008年陕西省高考试题)已知数列的首项,,( n3n,12，，{}ana,a,n，1121a，5n 112,, (1)证明:对任意的,,; x,0n,12，，ax?,,n,,2n，，xx1(1)3,, 2n (2)证明:. aaa，，，,n121n， n32112,, 解析:(1)依题,容易得到,要证,,, x,0n,12，，a,,1,ax?,,nnnn,,2n2，33，，xx1(1)3,, 2112221,,即证 1,,,,x,1，1,,,,,n2nn2231，x(1，x)31，x3(1，x)(1，x),, 19 / 22 nn122，322，32,设所以即证明 即证2t,,，,1,0(t),,,t，2t，,1,0(0,t,1),n2nnnxx1，1，x3(1，)333 n2，32从而,即,这是显然成立的. ,(1),0,，2，,1,0nn33 所以综上有对任意的,, 112,,x,0n,12，，ax?,,n,,2n，，xx1(1)3,, (法二) 112,,112,,,,x,,，,,x11,,2n,,2n，，xx1(1)3，，xx1(1)3,,,, 2 ,原不等式成立( ？21，，11111?a,,n,,,,,，aa,,,，x(1)nn,,2,,21，xa(1，x)1ax，，，xxa1(1),,nnn，， (2)由(1)知，对任意的，有 x,0 112112112,,,,,, aaaxxx，，，,,，,,，，,,?12n,,,,,,2222n1(1)31(1)31(1)3，，，，，，xxxxxx,,,,,, n1222,,( ,,，，，,nx,,22n1(1)333，，xx,, 21,,取， ？1,,,n12221133,,,,,,x,，，，,,,1,,,,nn21nn3333,,,,,,n,1,,3,, 则( 22nnnaaa，，，,,?12n111n，1,,n，,1，,11n,,n3n3,, 原不等式成立( ？ 十四、经典题目方法探究 探究1.(2008年福建省高考)已知函数.若在区间上的最小值为,令f(x),ln(1，x),xf(x)[0,n](n,N*)bn aa,aa,a,a,？,a11313521n,.求证:. a,ln(1，n),b，，？，,2a，1,1nnnaa,aa,a,a,？,a2242462n 1，3，5，？，(2n,1)1 证明:首先:可以得到.先证明 a,n,nn2，4，6，？，2n2n，1 21，3，5，？，(2n,1)1，33，5(2n,1)(2n，1)11，， (方法一) ,，，？，，,222,,2，4，6，？，2n24(2n)2n，12n，1，， 1，3，5，？，(2n,1)1 所以 ,2，4，6，？，2n2n，1 11，1233，142n,12n,1，12n (方法二)因为,相乘得: ,,,,,,？,,,22，1344，152n2n，12n，1 21，3，5，？，(2n,1)11，3，5，？，(2n,1)1，，,从而. ,,,,2，4，6，？，2n2n，12，4，6，？，2n2n，1，， 21，3，5，？，(2n,1)2，4，6，？，2n (方法三)设A=,B=,因为A1, 求 a的取值范围. fx()e,1,x 2ax，2,a 解析:函数f (x)的定义域为(-?, 1)?(1, +?), 导数为. ,ax,f(x),e2(1,x) (?) 当0< a?2时, f (x) 在区间 (-?, 1) 为增函数, 故对于任意x?(0, 1) 恒有 f (x) > f (0) =1, 因而这时a 满足要求. 1a,2a,2(?) 当a>2时, f (x) 在区间 (-,)为减函数, 故在区间(0, ) 内任取一点, 比如取, a,2a,2x,02aaaa 就有 x?(0, 1) 且 f (x) < f (0) =1, 因而这时a不满足要求. 00 (?) 当a?0时, 对于任意x?(0, 1) 恒有 1，x,ax1，x ?, 这时a满足要求. fx()e,,11,x1,x 综上可知, 所求 a的取值范围为 a?2. 22 / 22