扭转的强度
扭转的强度、刚度条件
[知识回顾]
1、薄壁圆筒扭转变形:
1)变形前:
a、在圆筒
表
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面画上一些等间距的纵向线和圆周线(横向线);
b、在圆筒二端施加外力偶Me，使其发生扭转变形。
2)变形后:
a、圆周线(横向线)形状、间距和大小不变，只是绕轴线转过一定角度(圆周线上各点的位置变了); b、各纵向线都倾斜了同一角度γ且间距不变;
c、小矩形abcd变成平行四边形a′b′c′d′,二边发生微小错动;
2、结论:
1)由各圆周线间距变可知:纵向无正应力，即横截面上无σ;
2)由各圆周线形状和大小不变可知: 环向无正应力，即含轴线的纵向截面上无σ ; 3)由各圆周线绕轴线转过一定角度可知:有切于截面的力，即横截面上有τ，且必垂直半径; 4)各纵向线都倾斜了同一角度可知 :τ在圆周线上各处相等，又因壁很薄，可认为沿径向均匀分布。 2、剪应力互等定理
在二个相互平行的截面上，剪应力必成对存在且数值相等，二者垂直这二个面的交线，方向为共同指向或共同背离这一交线，这一关系称为剪应力互等定理。
薄壁圆筒扭转时各点处于纯剪切状态
[导入新课]
实心圆轴扭转时外表面的变形和薄壁圆筒扭转观察得到的现象是相同的，因不是薄壁，其截面上的应力不再是均匀分布，这次课研究其扭转时横截面上的应力和变形，建立强度和刚度条件。
[新课教学]
材 料 力 学 教 案 力 学 教 研 室 于月民
扭转的强度、刚度条件
一、圆轴扭转时的应力
1、变形几何方面
等直圆杆横截面应力 2、物理关系方面
3、静力学方面
(一)变形几何关系
1、等直圆杆扭转实验观察:
1)变形前:
a、在圆筒表面画上一些等间距的纵向线和圆周线(横向线);
b、在圆筒二端施加外力偶Me，使其发生扭转变形。
2)变形后:
a、圆周线(横向线)形状、间距和大小不变，只是绕轴线转过一定角度
(圆周线上各点的位置变了);
b、各纵向线都倾斜了同一小角度γ且间距不变;
c、小矩形变成平行四边形,二边发生微小错动;
2、平面假设:
变形前为平面的横截面，变形后仍为平面，其形状、大小不变，半径仍保持直线， 且相邻二截面间距不变。
3、取dx微段研究:
变形前 变形后
右横截面相对左横截面旋转了一个角度dυ，OB转到 O B′，外表面纵向线AB 倾斜了一个小角度, ，转到A B′。
,BBd,,,R ,ABdx
是外表面A点的剪应变(切应变)，发生在垂直半径OB的平面内。 ,
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材 料 力 学 教 案 力 学 教 研 室 于月民 4、距轴线为ρ的纵向线ab的变形:
变形前 变形后
变形前 变形后
由平面假设知:b在微段变形后仍在半径上，即b′
,,bbd ,,,,,abdx ,d—— 扭转角沿长度方向变化率称为单位扭转角，在同一截面上为常数。
dx
结论:
1)横截面上任意点的剪应变,与该点到圆心的距离,成正比，在圆心处为零， ,
在圆表面处最大。
2) ,发生在垂直半径OB 的平面内。 ,
(二)物理关系
剪切胡克定律: d,,,G,,GG,,,,,,,,,,, dx
结论:
1)横截面上任意点的剪应力τ与该点到圆心的距离,成正比，在圆心处为零， ,
在周表面处最大。
2)τ与半径垂直。 ,
应力分布图:
(三)静力学关系
,,dd22T,,dA,,,,,,G,dA,G,,dAA,AA dxdx
d,2 T GI,I,,,dA则 令 ppAdx ,dT,,T ,,,,dxGIIpp 抗扭截面
在截面边缘上: 系数T,RTIp,,,,令 maxmax,W则 ,模量, tIWptR
适用条件:仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。
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1、圆截面:
2,I,,dApA D2 2,,,, ,,2,,d,0 4,D4 ,,0.1D32
2、圆环截面:
2,I,,dApA
D, 2442,,,, ,,2,,d,(D,d)d, 322 4,D444 ,(1,,),0.1D(1,,) 32
应力分布:
(四)扭转强度计算
应力最大的截
面称为危险截
面
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材 料 力 学 教 案 力 学 教 研 室 于月民 例1:
已知:M=10kNm 、 M=7kNm 、 M=3kNm [,]=60M Pa 123
试校核转动轴的强度,
解:1、扭矩图
T,10kNmT,3kNm 12
2、强度校核
T1,,,30.9MPa1max Wt1 T2 ,,,70.7MPa2maxWt2
全轴上:
,,,,,,70.7MPa,,max2max
此轴不满足强度要求。
二、圆轴扭转时的变形
(一)扭转时的变形 ,dT , dxGIp
lTGI抗扭刚p,,,,d, dx,0相距l的两横截面间的相对扭转角, : 度:反映了截GIp 面抵抗扭转变Tl , (若T 值不变) 形的能力 GIp
,dT,dT1801、单位扭转角φ′ : , (rad/m),,,,, , ,, (:/m) dxGI dxGI,pp
TT1802、刚度条件: ,,,, ,, ,, (rad/m) ,,,, , ,,,, (:/m) maxmaxGI GI,pp
[φ′ ]称为许用单位扭转角。
(二)扭转刚度计算
变形最大的截
面称为危险截
面
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三、知识巩固
例2
已知: 某传动轴
设计
领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计
要求转速n = 500 r / min，输入功率P = 500 马力,输出功率分别 1
P= 200马力及 P = 300马力。G=80GPa ，[, ]=70M Pa，[φ′ ]=1º/m 。 2 3
试确定:1、AB 段直径 d和 BC 段直径 d , 12
2、若全轴选同一直径，应为多少,
3、主动轮与从动轮如何安排合理,
解:1、扭矩图
P,7024Me n
强度条件:
T W,t [,]
16M16，7024e33,d,,,80mm16 ,,,,3.14，70，10
16M16，4210 e33,d,,,67.4mm26,,,, 3.14，70，10
刚度条件:
4 ,dMeI,,p ,,,32G,
32M32，7024，180 e44,,？d,,,84.6mm129 ,,,,,G3.14，80，10，1阶梯轴要分段 计算 32M32，4210，180e44,,d,,,74.4mm229 ,,,,,G3.14，80，10，1
,,,,d,85mm d,75mm12
2、全轴选同一直径时 d,85mm
3、轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应该换位。
换位后,轴的扭矩如图所示，此时，轴的最大直径才为 75mm。
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例3
已知:单元体上有剪应力τ和τ′，画出其它各面上的剪应力,
例4
试画出三种截面上剪应力沿半径分布规律,
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浙公网安备 33021202002483