地震波场模拟中的褶积微分算子法

地震波场模拟中的褶积微分算子法 1 2 1 戴志阳,孙建国,查显杰 ( )1 . 中国科技大学 地球与空间科学学院 ,安徽 合肥 230026 ; 2 . 吉林大学 地球探测科学与技术学院 ,吉林 长春 130026 摘要 :褶积微分算子是将偏导数算子的带限傅氏谱进行反傅氏变换得到的 ,具有对称或反对称和衰减 速度快的特点 。根据频谱分析理论 ,选用序列在结束时能光滑趋于零的截断窗口将褶积算子截断 ,结合考 虑微分算子守恒定律 ,将褶积算子中心值进行修正 ,得到适合于波场模拟的最优权系数 。给出用褶积微分 算子模拟声波波场的实现途径与实例 。理论分析与模型试算证明了褶积微分算子法的正确性与有效性 。 关键词 :波场模拟 ;褶积微分算子 ;傅氏变换 ;最优权系数 () 文章编号 :1671 5888 200504 0520 05 中图分类号 : P631 . 4 文献标识码 : A Seismic Wave Fiel d Model ing with Convol ut ional Dif f erent iator Algorithm 1 2 1DA I Zhi2ya ng, Su n J ia n2guo, Zha Xia n2jie ( 1 . Col le ge o f Ea rt h an d S p ace S ciences , U ni ve rsi t y o f S cience an d T ec hnol o g y o f Chi na , He f ei 230026 , Chi na ; 2 . Col le ge o f Geo E x 2 )p l orat i on S cience an d T ec h nol o g y , J i l i n U ni ve rsi t y , Ch an gc h u n 130026 , Chi na ( ) Abstract : Co nvol utio nal diff ere ntiato r CDi s o bt ai ned by i nve r se Fo urie r t ra n sfo r m of ba nd2li mit ed Fo urie r sp ect ra of p a r tial derivative op erato r . CD i s symmet ric o r a nti symmet ric a nd deca ys rapi dl y. Ac2 co r di ng to sp ect ral a naly si s t heo r y , t he a ut ho r s u se a wi ndo w f unctio n w ho se seque nce s t ap e r smoo t hl y to wa r d zero at t he e nd of t he seque nce s to t r uncat e t he CD a nd mo dif y t he ce nt ral t e r m of t he op e rato r by t he law of co n se r vatio n of e ne r gy fo r t he diff ere ntiato r . Th u s t he op ti mal wei ghti ng co efficie nt s of CD suit a ble fo r wave fiel d mo deli ng a re o bt ai ned . Fi nall y , t he realizi ng app roach a nd e xa mp le s fo r aco u stic wa ve fiel d mo deli ng u si ng CD a re give n . The t heo retical a nal ysi s a nd n umerical re sult s sho w t he accura2 cy a nd vali dit y of t he CD . Key words : wa ve fiel d mo deli ng ; co nvol utio n diff ere ntiato r ; Fo urier t ra n sfo r m ; op ti mal weighti ng coefficie nt s 地震波场的正演模拟是研究复杂地质构造中波 ,褶积微分算子法具有计 理论分析与计算结果 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明 传播的最重要工 具之 一 。为 获 取正 确且 实用 的 结 算快速 、精度较高并能适应较复杂地质模型的优点 , 可以推广到以偏微分方程为基础的复杂介质中波场 果 ,需采用精度高和计算速度快的数值方法 ,常常采 [ 1 ] 模拟和偏移中去 。 用混合算法。在这方面 ,兼有伪谱法的高精度和 有限差分的计算速度快的褶积微分算子法是十分适 褶积微分算子的原理1 合的 。本文主要讨论褶积算子的设计实现 ,推导适 波动理论中的许多算法是微分算法 ,经常需要 合于波场模拟的 最优 权 系数 , 最 后给 出 应用 实例 。 收稿日期 :2004 10 09 () ()基金项目 :国家自然科学基金项目 49874029;教育部高等学校博士学科点专项基金项目 97018705 () 作者简介 :戴志阳 1976 ,女 ,湖南涟源人 ,讲师 , 博士研究生 ,主要从事地震学与地球物理正反演研究 , Tel : 0551 - 3600165 , E2mail : daizy104 @163 . co m () 通讯联系人 :孙建国 1956 ,男 , 湖北汉川 人 , 教授 , 博士生导师 , 博士 , 从事地下波动 理论与成像技术等研究 , Tel : 0431 - 8502537 , E2mail : sun_jg @jl u. edu. cn 。 ( )用数 值 方 法 解 决 。考 虑 一 阶 微 分 算 子 dx= 快速的优点 。 1 [ 2 ,3 ] ( )/ 5 x 在傅氏域中的变换为 ^d k ,并考虑到它 5为使褶积算子适宜于计算机实现 1 x = - ik ,选取x () 能迅速衰减到零 图 1 、图 2,可以选择滤波窗 ,将其 有限带宽形式 ,有 - ik , k | ? k , | x x xn 截断成为有限长度的滤波器 。截断窗口的类型与截 )( ( )1 ^dk = 1 x 0 , | k |> k 。x xn 断长度决定滤波器的频谱特征 ,也就决定了差分算 () 式中 k xn 为尼奎斯特最高频率 。将 1式进行反傅氏 变换 ,得到关于 x 的一阶空间导数褶积微分算子 d x ( ) x为 - k 1 xn( ) ( )co s k x , x ?0 , si n k x xn xn + 2 π π xx( ) dx=1 0 , x = 0 。 ( )2 Δ(Δ让 x = nx x 是指沿 x 轴的采样间隔 , n 是采样点 ) πΔ数, 有 k =/ x ,则离散化后 ,褶积微分算子变为xn 图 1 一阶褶积微分算子 n 1 ( ) Fig. 1 A f irst2derivative convolutional operator - 1, n ?0 , 2 Δ nx( Δ) ( )dnx 3 1 = 0 , n = 0 。 2 2 ( ) 同理 ,二阶微分 dx = 5/ 5 x在傅氏域中的变换2 2 [ 3 , 4 ] ( ) 为 ^dk = - k,选取相似的有限带宽形式 : 2 x x 2 - k, x | k | ? k , x xn ( ) ( )^dk 4 2 x = 0 , k 。 | xn k |> x 并进行反傅氏变换 ,得到二阶褶积算子为 1 2 2 ( )- { [ kx n- ] si n k xn x + 2 π xx 2 k x n( )( ) co s k x } ?0 , x , d2 xxn = x 图 2 二阶褶积微分算子 3 Fig. 2 A second2derivative convolutional operator k xn= 0 。 - , x π 3 ( )5 子的频谱响应 。理论上 ,应用矩形窗 ,微分算子的频 ,将其离散化 ,得到 同理 谱在最小平方意义下有最小的误差 ,但是它的边瓣 2 n+1 常可引起高频干扰 , 负的边瓣常引 起“漏能”现 象 。 ) ( 1,n ?0 -, 2 3nnx 为消去吉布斯现象 ,宜选用主瓣比较集中 ,边瓣与边 ( Δ( )) dnx =6 2 π - , n = 0 。 瓣波动较小的滤波器 ,如汉宁窗 、汉明窗 、高斯窗等 。 3Δ3x 以通用汉宁窗为例说明最优权系数是如何求取 2 褶积算子的最优设计与性质 的 。通用的加权汉宁窗形式为 π 2 βn/ 2 α ( α) ( ) w n ], = [ 2- 1 + 2 1 - co s() () 从 3式和 6式中可以看出 ,褶积微分算子 d1 ( )2 m + 2x () 具有两个重要性质 图 1:第一 ,算子系数保持反对 | n | = 0 , 1 , 2 , ?, m 。 7 ( ) x 称 ,从而可以利用加减替代传统褶积计算的乘积 ;第 α( α x 式中 m 为采样点数单边截断长度 。常数 0 . 5 ? 二 ,因子 1/ n 使得算子 d 衰减迅速 ,从而可以利用 1 ) β?1与的不同取值能得 出一 系列 不 同精 度的 窗 较短褶积算子计算空间褶积项 。算子 d也显示出 2 αβ( ) α口 , 如若= 1 或= 0 , w n就是矩形窗 ; 若= 0 . 54 且 β( ) = 2 , w n就是汉明窗 。选择使用窗口截断过的 褶( ) 两个性质 图 2: 算子系数保持对称 ; 衰减迅速 , 并 积微分算子表示为 且衰减速度比 d1 还快 。 d1 和 d2 的这两个性质使 2 ( Δ( ) )( Δ) ( ) dx3 φ = dnx w n( )( ) d2 nx 。 1 `2 9 = 5u x , z , t/ 5 x5 z 记 作 = 11 ( ) ( )为使群速度误差尽量最小 ,差分算子应满足能量守 dz3 u x , z , t ,注意用 一 阶 褶 积 算 子 解 混 合 导 1 ( ) ( ) 数时需按顺序解 。其中 , dx, dz为对 x 和对 z ( ) 1 1 恒定律 即符合差分算子零平 均 值的 需要。因 为 ( ) 的一 阶褶 积算 子 , dx 为对 x 的 二阶 褶 积 算 子 。 2 `d算子反对称 , 自然地满足能量守恒定律 , 所以无 1 这样 ,关于空间的一阶导数 ,二阶导数与二阶混合偏 ( ) 需修正中心值 , 即对于不同长度的 `d, 均有 `d0=1 1 导数运算就可变为褶积运算 。 以声波模拟为例说( ) 0 。而对于 `d, 则需设定中心点值 即 n = 0 时的值2 明褶积运算是如何实现空间 [ 5 ] 为所有其它对称值和的负数, 从而改进算子的精 差分的 ,同样的方法可以应用于以偏微分方程为基 度 , 使波的传播发散减小 , 方案更加稳定 。经过滤波 础的波场模拟与偏移中去 。 窗截断与中心值改进后不同长度的褶积算子即为适 对于二维声波波动方程 : 2 2 用于波场模拟的最优化系数 。表 1 和表 2 显示了不 ( )( )5P x , z , t 5P x , z , t 2 ) ( = v x , z[ + 225 t 5 x ( Δ) 考虑空间采样间隔影响 即 x = 1 时的 最优 权 系 2 ( )5P x , z , t ( )( )] + f x , z , t 10 , 数 。从表中可以看到 ,算子长度不同 ,所得的最优权 25 z 系数就不同 。随着算子长度的增加 ,算子的精度越 ( ) ( ) ( 其中 : P x , z , t为声波场 ; v x , z为介质速度 ; f x , 高 ,所消耗的时间与空间也会相应增加 。 ) 褶积算子求空间导数z , t为力源项 。对于空间导数 ,应用改进的二阶褶 3 积算子 ,并利用其对称性 ; 对于时间导数 ,简单应用 ( ) ( )= 5 u x , z , t/ 5 x 记 作 φ将一阶 导 数 x , z , t1 () 二阶差分 ,将 10式离散得到二维非均匀介质声波 φ( ) ( ) ( )x , z , tx3 u x , z , t d= 1 1 , 对 于 二 阶 导 数 2 2波场模拟的离散公式为 ( ) ( φ)φ( )= 5u x , z , t/ 5 x x , z , t= , 记 作 2 x , z , t2 ( ) ( )( ) φ d2 x3 u x , z , t,对 于 二 阶 混 合 导 数 11 x , z , t 2 ( ΔΔ)一阶褶积算子的最优权系数 x`dnx 表 1 1 2 Δ( Δ) Ta ble 1 The optimum CD coeff icients x`dnxf or various length f ilters 1 α β n = 0 1 2 3 4 5 6 m x 2 0 . 5 6 0 - 0 . 621 9 0 . 062 5 3 0 . 5 6 0 - 0 . 740 0 0 . 140 2 - 0 . 013 7 4 0 . 5 4 0 - 0 . 870 5 0 . 281 3 - 0 . 083 3 0 . 015 6 5 0 . 5 4 0 - 0 . 903 4 0 . 329 5 - 0 . 124 5 0 . 037 8 - 0 . 007 1 - 0 . 072 8 6 0 . 54 2 0 - 0 . 965 0 0 . 432 6 - 0 . 238 7 0 . 135 0 0 . 035 8 100 0 . 5 0 0 - 1 . 000 0 0 . 500 0 - 0 . 333 3 0 . 250 0 - 0 . 200 0 0 . 166 7 3 ( ΔΔ)表 2 二阶褶积算子的最优权系数 x`dnx 2 3 Δ( Δ) Ta ble 2 The optimum CD coeff icients x`dnxf or various length f ilters2 m α β n = 0 1 2 3 4 5 6 x 2 0 . 5 6 - 2 . 362 4 1 . 243 7 - 0 . 062 5 3 0 . 5 6 - 2 . 698 0 1 . 480 0 - 0 . 140 2 0 . 009 2 4 0 . 5 4 - 3 . 015 0 1 . 741 0 - 0 . 281 2 0 . 055 6 - 0 . 007 8 5 0 . 5 4 - 3 . 088 7 1 . 806 8 - 0 . 329 5 0 . 083 0 - 0 . 018 9 0 . 002 8 6 0 . 54 2 - 3 . 238 4 1 . 944 5 - 0 . 446 2 0 . 171 1 - 0 . 077 5 0 . 036 8 - 0 . 017 2 100 0 . 5 0 - 3 . 325 0 2 . 000 0 - 0 . 500 0 0 . 222 2 - 0 . 125 0 0 . 080 0 - 0 . 055 6 ( ) ( ( ) ) P n , m , k + 1= 2 P n , m , k- P n , m , k - 1+ 2 2 ( ) ΔΔ( Δ) Δ( Δ) vn , mt { [x d 0x + z d 0z ] ?``2 2 mx ( Δ( Δ( ) ) ) P n , m , k+ x `dix [ P n - i , m , k+2 ? i = 1 mz ( Δ) ( Δ) ( ) djz [ P n , m -`P n + i , m , k] + zj , k+ 2 ? j = 1 ( )( ) ( ) P n , m + j , k] + f n , m , k} 。 11 其中 : n , m 和 k 分别是沿离散 x 轴 , z 轴 , t 轴的采样 ΔΔΔ点数 ;x ,z 和t 分别是沿 x 轴 , z 轴 , t 轴的采样 间图 4 三层介质模型中声波波场 记录 混凝土 养护记录下载土方回填监理旁站记录免费下载集备记录下载集备记录下载集备记录下载 隔 ; m x , m z 是沿 x 轴 , z 轴采样数的半算子长度 。 空Fig. 4 Wave f ield record in three layer model 间使用高精度算子 ,而时间仅使用二阶差分的方 案 可能仍会产生数值频散 ,除非采用非常小的时间 步 长或其它求时间导数的方法 ,例如 ,交错网格法 , 高 ( ) 阶有限差分法 ,快速展开法 R EM,正交多项式 展开法等 ,这里不作更多讨论 。 4 数值实例 利用褶积微分算子最优权系数与声波波场模拟 离散公式编制程序 ,进行了一系列的计算 。图 3 为 三层介质模型 ,图 4 、图 5 分别为图 3 模型所计算得 图 5 三层介质模型中声波波场快照 到的共炮点声波波场记录和 t = 0 . 3 s 时的波场快 Fig. 5 Wave f ield sna pshot in three layer model 照 。采用 9 点褶积算子 ,震源为 40 Hz 的 Ric ke r 子 Δ波 ,且位于模型表面中心下 10 m 处 ,空间步长为 x ΔΔ= z = 10 m ,时间步长为 t = 0 . 001 s 。将图 3 中 第 一 个 分 界 面 改 成 垂 直 断 层 , 断 层 两 盘 高 差 为 50 m ,其余参数不变 , 正演计算所得的波 场记 录 和 波场快照分别如图 6 、图 7 所示 。从图 4,7 中可以 看到正演结果的精度较高 ,尽管最短波长的采样点 图 6 断层模型中波场记录 数不足 4 个 。 Fig. 6 Wave f ield record in fault model 图 7 断层模型中波场快照图 图 3 三层介质模型 Fig. 7 Wave f ield sna pshot in fault model Fig. 3 Three layer medium model () 1995 ,34 3:14 22 . 5 结论 T EN G J i2wen , Z HA N G Zho ng2jie , YA N G Ding2hui , et al . Digit al emulatio n of t rico mpo nent sei smic data in 本文以声波模拟为例 ,详细讨论了褶积微分算 a ni so t ropic media t hro ugh co nvol utio n diff erential op2 子的设计与实现和适于波场模拟的最优权系数的导 erato r [ J ] . Geop hysical Pro specting fo r Pet roleum , 出 。褶积算子具有反对称性或对称性 、衰减速度快 () 1995 , 34 3:14 22 . 的特点 。它的设计是数字滤波理论的一个实例 ,用 张中杰 ,滕吉文 ,杨顶辉 . 声波与弹性波场数值模拟中 [ 3 ] ( ) 的褶积微分 算 子 法 [ J ] . 地 震 学 报 , 1996 , 18 1 : 63 于波场模拟时具有原理简单 、易于实现 、能适应较为 69 . 复杂地质模型的优点 。计算表明 ,该方法的正演结 Z HA N G Zho ng2jie , T EN G J i2wen , YA N G Ding2hui . 果正确 ,精度较高 。褶积算子法的实施方案可以自 The co nvol utio nal diff erentiato r met ho d fo r numerical 然拓展到双相各向异性介质中 的复 杂波 场模 拟 中 mo deling of aco ustic a nd ela stic wave2field [ J ] . Acta () Sei smolo gical Sinica , 1996 ,18 1: 63 69 . 去 ,且已经进行了初步的尝试 。 参考文献( Ref erence) : [ 4 ] Zho u B , Greenhalgh S. Sei smic scalar wave equatio n mo deling by a co nvol utio nal diff erentiato r [ J ] . Bulletin [ 1 ] 王山山 ,邓玉琼 . 弹性波正演模拟的混合算法 [ J ] . 石油 of t he Sei smolo gical Societ y of A merica , 1992 , 82 : () 地球物理勘探 , 1997 ,32 6:804 808 . 289 303 . WA N G Sha n2shan , D EN G Yu2qio ng. Hybrid algo2 [ 5 ] 2 Hol ber g O . Co mp utatio nal a spect s of t he choice of oprit hm fo r fo rwa r d mo deling of ela stic wave s[J ] . O GP , erato r and sa mpling interval fo r numerical diff erentia2 () 1997 , 32 6:804 808 . tio n in la r ge2scale simulatio n of wave p heno mena [ J ] . [ 2 ] 滕吉文 , 张中杰 , 杨顶辉 ,等 . 各向异性介质中褶积微 Geop hysical Pro specting , 1987 , 35 : 629 655 . 分算子法三分量地震资料的数字仿真 [ J ] . 石油物探 , 我校在全国新一轮油气资源项目立项中获重大进展 我校地球科学学院张兴洲教授 、金巍教授负责申报的《大庆探区外围中 、新生代断陷盆地群演化与油 () 气远景》以下称《油气远景》项目和地球科学学院刘招君 、单玄龙教授负责申报的《全国非常规油气资源 () 评价》以下称《资源评价》项目经多轮论证获得成功 。其中 《, 油气远景》项目批准国拨经费 2200 万元 , 《资源评价》项目批准国拨经费 500 万元 。目前 ,两个项目已全面启动 ,2004 年度项目进展情况得到全国 油气资源评估专家组的肯定 。 针对我国油气资源现状和国民经济发展对油气资源的迫切需求 ,2004 年 ,由国土资源部 、国家发改委 和财政部组织实施了全国新一轮油气资源评价和战略选区 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 。《油气远景》项目是全国油气资源战略选 区批准立项的 7 个项目之一 ,也是惟一一个由一所大学全面负责实施的项目 。项目下设 6 个课题 ,24 个 专题 ,集中了我校地质 、地球物理 、地球化学 、遥感 、盆地 、油气 、数字化等多学科研究力量 ,40 多名教师和 30 多名研究生参加了研究工作 。项目规模之大 、参与人数之多 、涉及学科之广在我校是前所未有的 。《资 源评价》项目由吉林大学牵头 ,组织国内有关高校 、科研院所及油气公司等 10 余家单位参加 。 两个项目的申报成功和实施对于促进我校地学相关学科的交叉 、综合型人才的培养将起到积极的推 动作用 。同时 ,项目的实施也将进一步加强我校与各大油气公司 ,特别是与大庆油田的合作与交流 ,使我 校的基础研究成果与大庆油田的勘探实践成果紧密结合 ,优势互补 ,形成产学研结合的良好态势 ,共同为 我国油气资源的可持续发展做出贡献 。