平面向量的内积20107425459

平面向量的内积20107425459 ?1,4 平面向量的內積 (甲)坐標化的向量內積 b(1)設a=(a,a)， =(b,b)，我們如何用a,a,b,b 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示a,b呢？ 12121212 設OA=(a,a)和OB=(b,b)為任意兩個向量，且兩向量的夾角為,， 1212 B y 因為OB+BA=OA，BA =OA,OB=(a,b，a,b) 1122 2222 |BA|=|OA,OB|=|OA|+|OB|,2OA,OB 根據前面的定義， , A 1222 O OA〃OB=|OA||OB|cos,=(|OA|+|OB|, |BA|) x 2 1222222 =[(a+a)+(b+b),[(a,b)+(a,b)]]=ab+ab 1212112211222 b 所以OA〃OB= ab+ab，我們用ab+ab ()表示a〃。 11221122 b結論：設a=(a,a)，=(b,b) 1212 bb(a)a〃=|a|||cos,=ab+ab。 1122,,b+abaa,b1122 b(b)若a與皆不為0，則cos,==() ,,2222a+a,b+b1212|a||b| bbb(c)若向量a與皆不為0，a, , a〃=0 , ab+ab=0 1122 2 b(d)若a=，夾角,=0，a〃a=|a||a|cos0=|a|。() (e)由(b)與(d)可知內積與求角度、長度都有關係，這也是內積重要的地方。 設,ABC的三頂點為A(3，,2)、B(,1,,4)、C(6,,3)，求內角，A的角度。 Ans：135: ????abaa 設向量與另一向量=(3,1)的夾角是120?且||=8，試求向量。 ?aAns：=(0,,8)或(,43,4) ~1,4,1~ ??uv 設=(k,1), =(2,3),求k使： ??????uvuvuv(1)和垂直 (2)和平行 (3)和的夾角為60? -32133Ans：(1)k= (2)k= (3)k=,8+ 233 ,ABC中，設A(,2,1),B(1,2),C(,4,3)，試求,ABC的垂心H。 ,5,3Ans：(，) 22 : 若|x|=1，且x與y=(3,1,3+1)之夾角為45，求x=？ 31,13Ans：()或() ,,2222 設A(1,,2)、B(0,2)、C(,3,4)為,ABC之三頂點，求sinA=？ 5Ans： 221 設OA=(3,1)，OB =(,1,2)，若OC,OB，BC//OA，且OD+OA=OC， 則OD=？ Ans：(11,6) (乙)向量內積的應用 (1)柯西不等式：(Cauchy's Inequality) bbb(a)向量形式：設a,為平面上任意二向量，則|a〃|,|a|||， b 等號成立 ,a// bb 證明：因為a〃=|a|||cos, ，,為其夾角，|cos,|,1 bbb 所以|a〃|=|a||||cos,| , |a||| b 等號成立 , |cos,|=1 , ,=0或, , a// (b)一般形式：a,a,b,b為任意四個實數， 121222222 則(a+a)(b+b),(ab+ab)，等號成立,(a,a)=t(b,b) 121211221212 222 bb 證明：可設a=(a,a)，b=(b,b)，由(a)的結果：|a|||,|a〃| 121222222 所以(a+a)(b+b),(ab+ab)。 12121122 b 等號成立 , a// , (a,a)=t(b,b)。 1212 (2)三角形的面積： b 設a，為非平行的兩向量， ~1,4,2~ 1222 bbb) 則由a與所張成的三角形面積為|a|||,(a〃 。 2 b證明：設a=OA， =OB ??ab的夾角為,， 設與向量 B 1 b 則,OAB=|a|||sin, 2 A 12 b =|a|||1,cos, 2 122222 |b|,|b|cos,|| =|a|a 2O 1222 bb) =|a|||,(a〃 2 結論： 222 bb)(a)由a與b張成的平行四邊形面積為|a|||,(a〃 。 1222(b),ABC的面積為|AB||AC|,(AB〃AC) 。 2 b(3)正射影：設a對之正射影為c ,,, 0<,< <,<, ,= ,=0或, 222 a a a b c bc b bb c與同向 c與反向 c=0 c=a bbb(a)根據上面的圖示：a對之正射影c平行，如何由a,求c呢？ bb 設c=t，因為(a,c),，(如右圖) ba〃2 bbbb 所以(a,t)〃=0 , a〃,t||=0 , t= 2 b|| ba〃 ba 即c=( ) 2a,c b|| ba〃bb? c (b)=(a|cos,)()()=(|)， c b bbb|||||| ~1,4,3~ ba〃 b 我們稱(a|cos,]為a對的投影量。 )[或| b|| bbba=(a)() 結論： ba〃 bb(a) a對之正射影c為() 2 b|| ba〃 b(b) (a|cos, 為a對的投影量(投影量可正可負) ) =| b|| , bb(c)當0<,<時，a〃>0，所以c與同向 2 , bb(d)當<,<,時，a〃<0，所以c與反向 2 , b(e)當,=時，a〃 =0，所以c=0 2 (f)當,=0或,時，c =a 22 (1)設x,y為實數，且2x+3y=13，求x+y的最小值，並求此時x、y的值。 22(2)設a,b為實數，且a+b=10，則a,3b的最大值為 ， 此時(a,b)= ；a,3b的最小值為 ，此時(a,b)= 。 Ans：(1)13，x=2，y=3 (2)最大值=10，(1,,3)；最小值=,10，(,1,3) ~1,4,4~ 三角函數的疊合： y A(4,3) ,f(,)=3sin,+4cos,，其中0,,,，試求當,=？ 2 P(cos ,sin ) 時f(,)有最大值或最小值。 x O b (1)設a=(a,a)、=(b,b)，試證明： 1212 1 b由a與張成的三角形面積為|ab,ab|。 12212 (2)設,ABC三頂點A(x,y)、B(x,y)、C(x,y)， 112233 1證明：,ABC的面積為|(x,x)(y,y),(y,y)(x,x)|。 213121312 ~1,4,5~ 設平面上三點A(1,1)、B(5,,2)、C(5,2)，試求 (1)AC在AB上的投影量。 (2)AC在AB上的正射影。 (3)C點在AB上的投影點。 131377,14Ans：(1) (2)(4,,3) (3)(,) 5252525 49 設a,b為正數，求(a+)(b+)之最小值。 ba 42932222[提示]：a=(a )，=()，b=(b )，=() baba 設u=(cos, ,sin,)，|a|=3，則求a〃u之最大值、最小值。 Ans：3，,3 設f(,)=2sin,+5cos,，其中,為任意實數，當,=,時，f(,)有最大值M， 5請求M、tan,之值。 Ans：M=29 ， 2 22 設x,y為實數且x,2y=5，求x+y之最小值為 ， 此時(x,y)= 。Ans：5，(x,y)=(1,,2) 3 設A(3,8)，B(4,9)，C(1,3)試求,ABC的面積。Ans： 2 33 ,ABC中，若|AB|=2，|AC|=3，,ABC之面積為，則AB,AC=？ 2 ~1,4,6~ Ans：3或,3 b 設a=(4,2), =(,3,1),則求 b(1)在a方向的正射影。 b(2)a與所張成的平行四邊形面積。 Ans：(,2,,1) ，10 (丙)平面向量在直線上的應用 (1)直線ax+by+c=0的法向量n=(a,b) ax+by+c=0 y ax+by=0法向量：與直線垂直的向量稱為此直線的法向量。 P考慮ax+by+c=0的平行線ax+by=0(若c=0，則為同一直線)， 兩條平行線的法向量方向相同。 Ox 設P(m,n)為直線ax+by=0上任一點， 直線的方向OP=(m,n)，因為am+bn=0，(a,b)〃(m,n)=0 所以取向量n=(a,b)，n,OP，所以可取法向量n=(a,b)。 n直線方程式ax+by+c=0的法向量n=(a,b)，所以直線的方向向量l，l,， 故可取l=(b,,a)或(,b,a)。 結論： (a)直線方程式ax+by+c=0的法向量n可取為(a,b)。 (b)直線方程式ax+by+c=0的方向向量l可取為(b,,a)或(,b,a)。 (2)兩直線的交角： y (a)設L，L為平面上之兩相交的直線，L：ax+by+c=0 121111 n2L：ax+by+c=0，設兩直線的法向量夾角為,， 2222 則兩直線的交角為,，,,,。 n1 ,,, 證明：設L，L的法向量分別為n，n 1212 則可取n=(a,b)，n =(a,b)，由右圖 111222, O x n．n12aa，bb1212 cos,= =,,, 2222 L 2|n||n|a，b,a，b121122 兩直線的交角為,，,,,。 L 1 ~1,4,7~ (b)直線的斜率與交角： 如下圖，我們可以定義直線L的斜角,如下： 從x軸正向轉到直線L所形成的角稱為直線L的斜角。特別是與x軸平行或重合的直線我們分別定義斜角為,、0。 根據斜率與斜角的定義，我們可以推知：L的斜率=tan,。 y y L L O x O x 設L，L為平面上之兩相交的直線，L：ax+by+c=0，L：ax+by+c=0 1211112222 其中L、L的斜率m,m,,1，L、L的斜角分別是,、, 12121212 L 2 y L L 11 y L 2 12 21 x O x O 根據上圖，可知,=,,,或,=,,,，假設,為L、L的銳夾角 122212 ,tan,,mtan,m1212,tan,=|tan(,,,)|=||=||。 121+mm1+tan,tan,1212 結論：設兩直線L、L的斜率為m、m，若m,m,,1，其交角,， 121212 m,m12 可由tan,=求得，令一交角為,,,。 1+mm12 設直線L：2x,3y,4=0，L：3x+y,6=0之一交角,，求sin,=？ 12 11Ans： 130 ~1,4,8~ : 求過點(1,2)作一直線與L：3x,y,1=0成30之交角，則此直線之方程式為何？ 1Ans：y,2= (x,1)，x=1 3 二直線L：x,2=0，L：x=,2y+6所夾鈍角為,，則cos,=？ 12 ,1Ans： 5 /: 設直線L通過點P(0,,1)且與另一直線L：3x+4y,12=0的交角為45， 1求直線L的方程式。 Ans：y+1= x ，y+1=,7x 7 給定直線L：2x+y,8=0，L：x+2y+6=0，求通過(0,0)且與L、L成等1212 角之直線方程式。Ans：y=,x 與直線L：3x,4y,7=0，L：12x,5y+6=0成等角，且過點(4,5)的直線方12 程式。 Ans：9x,7y,1=0或7x+9y,73=0 R P (3)點到直線的距離： Q |ax，by，c|00一定點P(x,y)到一直線L：ax+by+c=0之距離為。 00 .n 22a，b ,證明：過P點作垂線交L於Q，則PQ為P點到L的距離。 今在L上任取一點R(x,y)，則向量PR在L的法向量上 , 的正射影之長度為PQ。 現在來計算向量PR在L的法向量上的正射影之長度 PR=(x,x,y,y)，考慮L的法向量n=(a,b) 00 則PR在L的法向量上的正射影之長度 ~1,4,9~ PR〃nPR〃n =|()n|=||,|n| 22 |n||n| |PR〃n| )+b(y,y)||a(x,x00 = =22a+b |n| |ax，by，c|00 = 22a，b 例如：平面上一點P(2,3)到直線4x,3y+6=0的距離。 |8,9+6|5 d= = =1 2254+(,3) 平面上二平行線L：ax+by+c=0，L：ax+by+c=0， 1122 |c,c|12試證明此二直線的距離為。 22a，b 求過點(0,2)與二定點A(4,6)、B(8,3)等距之直線方程式為何？ ,35Ans：y=x+2或y= x+2 412 ~1,4,10~ 設L：4x,3y,65=0，L：3x+4y,5=0，L：7x,24y+55=0，而L與L交於C12312點，L與L交於A點，L與L交於B點，求 2331 (1)，B內角平分線。 (2),ABC的內心坐標。 (3),ABC的內切圓半徑。 Ans：(1)9x,13y,90=0 (2) (10,0) (3)5 [解法]： (1)設P(x,y)為，B平分線上的任意點 |4x,3y,65||7x,24y+55|, d(P,L)=d(P,N) , = , 5|4x,3y,65|=|7x,24y+55| 22224+(,3)7+(,24) ,9x,13y,90=0或13x+9y,375=0(由上圖中，，B內角平分線的斜率為正數) ,，B內角平分線為9x,13y,90=0。 (2)按照(1)的方法去找，A的內角平分線 |3x+4y,5||7x,24y+55| = ,，A的內角平分線為2x+11y,20=0 22223+47+(,24) 內心I為，A、，B內角平分線的交點(10,0) |40,65|(3) ,ABC的內切圓半徑=I點到直線L的距離==5。 224+(,3) y B N A O I x M L C 22 設4x,3y+6=0，則求(x,2)+(y,3) 之最小值為何？ Ans：1 x,,2，5t, 求點P(2,,3)至直線L：，t為實數知距離為何？ ,y,2,3t, 13Ans： 34 一動點P(x,y)至直線L：3x+4y,2=0的距離為至直線L：4x+3y,5=0的12距離之2倍，求P(x,y)的軌跡方程式。 Ans：11x+10y,12=0 1 求兩平行線3x,4y+2=0與,6x+8y,5=0間之距離。 Ans： 10 ~1,4,11~ 求與直線x,y+1=0平行，且距離為2的直線方程式。 Ans：x,y,1=0或x,y+3=0 兩直線3x+4y,7=0及4x+3y+2=0所交的鈍角平分線方程式。 Ans：x,y+9=0 直線L過點A(1,1)，且與點B(,5,4)之距離為３，求L的方程式。 Ans：y=1或4x+3y,7=0 在坐標平面上，A(150,200)、B(146,203)、C(,4,3)、O(0,0)，則下列敘述何者為真？ (A)四邊形ABCO是一個平行四邊形。 (B)四邊形ABCO是一個長方形。 (C)四邊形ABCO的兩對角線互相垂直。 ,(D)四邊形ABCO的對角線AC長度大於251。 (E)四邊形ABCO的面積為1250。 (90學科) 等腰梯形ABCD，AD//BC，AB =(12,,1)，AD =(,2,5)，求內積BC,CD=？ 坐標平面上A(2,,1)、B(3,2)，若OC,OB，且BC//OA，則C之坐標為何？ 設三點P(8,9)、Q(,2,4)、R(1,8)，則QP在QR上的正射影為何？P點在直線QR 的正射影點為何？ ???????ababb|的3倍，而b在a方向的 設、均非零向量，若在方向的投影量為| 1???投影量為|a|的倍，則a與b之夾角為何？ 6 設A(a,1)、B(2,b)與C(3,4)為坐標平面上三點，而O為原點。若向量OA與OB在 向量OC上的正射影相同，則a與b的滿足的關係式為何？ 已知二定點A(4,0)，B(0,,3)與一動點P(cos, ,sin, )，0,, ,2, ， 則內積AP,BP之最大值為之最大值為 ，最小值為 。 41 試求+ 之最小值。 22cos,sin, ?u 直線L過點(2,,3)且與向量=(1,4)夾30:角，則L之斜率為何？ ~1,4,12~ , 直線L過(1,2)且與4x+y,8=0之夾角為，則L的方程式為何？ 4 設直線L：y=mx平分直線L：y=mx與L：y=mx所成的角， 1122 試證明(m,m)(1+mm)+(m,m)(1+mm)=0 1222 一直線L通過點(9,,6)且與點(4,1)相距52 ，則L之方程式為何？ P是一個動點，0,, ,, ，點P(cos, ,sin, )至直線3x+y+1=0之最大距離為何？最小距離為何？ 一平行四邊形ABCD，其中三頂點A(3,1)、B(,2,2)、C(0,,1)，一直線L通過P(,2,,3)且平分平行四邊形ABCD的面積，則L的方程式為何？ 若|AB|=4，|AC|=2，|AD|=3且AB+2AC,2AD=0，則AB在AC上的正射影之 長度為 。 設d，d分別為表原點O至L：x sec, +y csc, =a，L：x cos, ,y sin, =a cos2, 1212222的距離，試證：4d+d=a。 12 設直線L過原點(0,0)且與兩直線L：2x+y,8=0，L：x+2y+6=0形成一個等腰12 三角形，求直線L的方程式。 據說，有一位海盜將他的寶藏埋在某小島的一個地方。有一天海盜帶著他的兒 子到寶藏附近的一顆樹P處，他指著另一顆大樹Q及附近另一個大石頭R，對 ,,兒子說，以,PQR的兩邊PR與QR為邊，向外各作一個矩形PRAB與QRCD， ,,,,,使得RA=2RP，RC=2RQ，我的寶藏就埋在BD的中點的地底下。數十年後， 海盜與兒子都去世了，不過藏寶圖依然存在，海盜的孫子來到小島，不過大石 頭R已經不見了，請問還可以找到寶藏嗎？如何找？ (1) (A)(B)(E) (2) ,87 ,721(3) (,) 24 (4) (6,8)、(4,12) ?????45: [提示：a對b方向的投影量為|a|cos, ，其中,為a與b之夾角](5) (6) 3a,4b=2 ~1,4,13~ (7) 6，,4 41222(8) 9[提示：[,+sin,),(2+1)] +](cos22cos,sin, ,16,173(9) 13 (10) 3x+5y,13=0或5x,3y+1=0 (11) [提示：設L與L的銳夾角,，L與L的銳夾角,，cos,=cos,，再化簡即可得] 112212 7,43(12) y+6=(x,9) 5 3(13) ，0 2 (14) 6x,7y,9=0 1(15) 2 (16) 略 112(17) y=,x，y=x，y=x 211 1m，m，22[提示：設直線L的斜率為m，若直線L與L、L的交角相等，則 ||,||1211,2m1,m2 11m，23,m=,1。 若直線L與L的交角與L、L的夾角相等 ,,m=， 若||,11221,2m4 1m，232直線L與L的交角與L、L的夾角相等,,m=] ||,21211141,m2 C [提示：如圖，PRAB、QRCD都是矩形 ,,,,,A且RA=2RP，RC=2RQ，M為BD的中點， DM我們將相關的點坐標化，令Q(0,0),P(a,0),R(x,y)， B, QR =(x,y), PR =(x,a,y) QD =(,2y,2x), PB =(2y,2a,2x)，因此 QB = QP + PB =(a+2y,2a,2x) R a,，即B(a+2y,2a,2x)，D(,2y,2x)，所以BD中點M(,a)， 2 PQ換句話說，M的位置不受R的位置影響， ~1,4,14~ 5,,1且QM=a且，PQM=tan2，即寶藏的位置在 2 5,,1距Q點a的距離與QP夾角tan2(約63.5:)方向的地方。 豆丁致力于构建全球领2 先的文档发布与销售平台，面向世界范围提供便捷、安全、专业、有效的文档营销服务。包括中国、日 本、韩国、北美、欧洲等在内的豆丁全球分站，将面向全球各地的文档拥有者和代理商提供服务，帮助 他们把文档发行到世界的每一个角落。豆丁正在全球各地建立便捷、安全、高效的支付与兑换渠道，为 每一位用户提供优质的文档交易和账务服务。 (18) ~1,4,15~