[最新]反三角函数求导公式的证实

[最新]反三角函数求导公式的证实[最新]反三角函数求导公式的证实反三角函数求导公式的证明 ?2.3 反函数的导数，复合函数的求导法则一、反函数的导数 Ix,,(y)y,f(x)x,,(y)y设是直接函数，是它的反函数，假定在内单调、可 I,{x|x,,(y),y,I},,(y),0y,f(x)xy导，而且，则反函数在间内也是单调、可导的，而且 1,f(x),,,(y) (1) (,x,0,x，,x,I),,xI,xxxx证明: ，给以增量 Iy,f(x)x由在上的单调性可知 ,y,f(x，,x),f(x),0 ,y1,,x,...

[最新]反三角函数求导公式的证实反三角函数求导公式的证明 ?2.3 反函数的导数，复合函数的求导法则一、反函数的导数 Ix,,(y)y,f(x)x,,(y)y设是直接函数，是它的反函数，假定在内单调、可 I,{x|x,,(y),y,I},,(y),0y,f(x)xy导，而且，则反函数在间内也是单调、可导的，而且 1,f(x),,,(y) (1) (,x,0,x，,x,I),,xI,xxxx证明: ，给以增量 Iy,f(x)x由在上的单调性可知 ,y,f(x，,x),f(x),0 ,y1,,x,x Ix,,(y),yy于是因直接函数在上单调、可导，故它是连续的， Iy,f(x),y,0,x,0x且反函数在上也是连续的，当时，必有 ,y11lim,lim,,x,0,y,0,x1,,x,(y),f(x),,,y,(y)即: 【例1】试证明下列基本导数公式 1().(arcsin)1x,,2,1x 1().()2arctgx,,2，1xx 1 ().(log)3a,, xaln x,sinyy,arcsinx证1、设为直接函数，是它的反函数 ,,I,(,,)yxy,,cos0,x,siny22函数在上单调、可导，且 I,(,1,1)x因此，在上，有 1,(arcsinx),cosy ,,y,(,,)22cosy,1,siny,1,xcosy,022注意到，当时，， 1,(arcsinx),21,x因此， ,,I,(,,)yxtgy,22证2 设， yarctgx,I,,,，,(,)x则， 1,x,,02Ix,tgycosyy 在上单调、可导且 1112,(arctgx),,cosy,,22,(tgy)1，tgy1，x故 111x,(loga),,,yy,(a)alnaxlna证3 类似地，我们可以证明下列导数公式: 1(arccos)x,,,21,x 1()arcctgx,,,21，x 1 (ln)x,, x 二、复合函数的求导法则 u,,(x)xu,,(x)y,f(u)000如果在点可导，而在点可导，则复合函数 xy,f[,(x)]0在点可导，且导数为 dy,,f(u),(x),,00dxx,x0 ,y,limf(u),0,u,0,x证明:因，由极限与无穷小的关系，有 ,,y,f(u),u，,,,u(当,u,0时,,,0)0 ,x,0用去除上式两边得: ,y,u,u,,fu,，,(),0,x,x,x xu,,(x)0由在的可导性有: lim,,lim,,0,x,0,u,0,x,0,,u,0， ,y,u,u,,fu,，,limlim[(),]0,x,,x,00,x,x,x ,u,u,,fu,，,()limlim,lim0,x,0,x,0,x,0,x,x ,,f(u),(x),,00 dy,,f(u),(x),,00dxx,x0即上述复合函数的求导法则可作更一般的叙述: II,,xIux,,()yfu,()xux若在开区间可导，在开区间可导，且时，对应 y,f[,(x)]uI,Iux的，则复合函数在内可导，且 dydydu,,dxdudx (2) 复合函数求导法则是一个非常重要的法则，特给出如下注记: 弄懂了锁链规则的实质之后，不难给出复合更多层函数的求导公式。 dy y,f{,[,(x)]}dx【例2】，求 uv,,()vx,,()yfu,()引入中间变量，设，，于是 yuvx,,,变量关系是，由锁链规则有: dydydudv,,, dxdudvdx (2)、用锁链规则求导的关键引入中间变量，将复合函数分解成基本初等函数。还应注意:求导完成后，应将引入的中间变量代换成原自变量。 dy yx,sin2dx【例3】求的导数。 yu,sinux,2ux,2解:设，则，，由锁链规则有: dydydu,,,(sin)()(cos)cosuxux,2222,,,,, dxdudx xdyytg,ln dx2【例4】设，求。 111dydydudv,,,,,,2dxdudvdxcos2uv由锁链规则有 (基本初等函数求111,,,1xx22,costgsinx22导) ( 消中间变量) 由上例，不难发现复合函数求导窍门中间变量在求导过程中，只是起过渡作用，熟练之后，可不必引入，仅需“心中有链”。然后，对函数所有中间变量求导，直至求到自变量为止，最后诸导数相乘。请看下面的演示过程: 111dyxxx,,,(ln)()(),tg,,tg,,,xxx2222dxcostgtg 222 11111(x),,,,,,,xxxx2sinx22tgcostgcos2,, 2222 ,,,1,(x),,,x,【例5】证明幂函数的导数公式，(为实数)。 ,lnx,,yxe,,证明:设 1,lnx,lnx,,1,,y,e,,(lnx),e,,,,,,x x

                    本文档为【[最新]反三角函数求导公式的证实】，请使用软件OFFICE或WPS软件打开。作品中的文字与图均可以修改和编辑，
                    图片更改请在作品中右键图片并更换，文字修改请直接点击文字进行修改，也可以新增和删除文档中的内容。 
 该文档来自用户分享，如有侵权行为请发邮件ishare@vip.sina.com联系网站客服，我们会及时删除。

                    [版权声明] 本站所有资料为用户分享产生，若发现您的权利被侵害，请联系客服邮件isharekefu@iask.cn，我们尽快处理。

                    本作品所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权，请谨慎使用。

                    网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽..)目的在于配合国家政策宣传，仅限个人学习分享使用，禁止用于任何广告和商用目的。
                

下载需要：免费已有0 人下载

立即下载

[最新]反三角函数求导公式的证实

你可能还喜欢