初二奥数竞赛17

专 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 17  等腰三角形的判定 阅读与思考 在学习了等腰三角形性质与判定后，我们可以对等腰三角形的判定、证明线段相等的方法作出归纳总结． 1．等腰三角形的判定： ⑴从定义入手，证明一个三角形的两条边相等； ⑵从角入手，证明一个三角形的两个角相等． 2．证明线段相等的方法： ⑴当所证的两条线段位于两个三角形，通过全等三角形证明； ⑵当所证的两条线段位于同一个三角形，通过等角对等边证明； ⑶寻找某条线段，证明所证的两条线段都与它相等． 善于发现、构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，是解几何题的一个常用技巧．常见的构造方法有：平分线+平行线、平分线+垂线、中线+垂线．如图所示： 例题与求解 【例1】如图，在△ABC中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF∥AD，则CF的长为____________． （全国初中数学竞赛 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 ） 解题思路：角平分线+平行线易构造等腰三角形，解题的关键是利用条件“中点M”． 【例2】如图，在△ABC中，∠B=2∠C，则AC与2AB之间的关系是（    ） A．AC＞2AB        B．AC＝2AB        C．AC≤2AB        D．AC＜2AB (山东省竞赛试题) 解题思路：如何条件∠B=2∠C，如何得到2AB，这是解本题的关键． 【例3】两个全等的含300，600角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连结BD，取BD中点M，连结ME，MC，试判断△EMC的形状，并说明理由． （山东省中考试题） 解题思路：从△ADE≌△BAC出发，先确定△ADB的形状，为判断△EMC的形状奠定基础． 【例4】如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF． （天津市竞赛试题） 解题思路：只需证明∠FAE=∠AEF，利用中线倍长，构造全等三角形、等腰三角形． 【例5】如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=200，在边AB上取点D，使AD=BC，求∠BDC度数． （“祖冲之杯”竞赛试题） 解题思路：由条件知底角为300，这些角并不是特殊角，但它们的差却为600，600使我们联想到等边三角形，由此找到切入口． 如图1，以BC为边在△ABC内作等边△BCO；如图②，以AC为边作等边△ACE． 能力训练 A级 1．已知△ABC为等腰三角形，由顶点A所引BC边的高线恰等于BC边长的一半，则 ∠BAC=__________． 2．如图，在Rt△ABC中，∠C=900，∠ABC=660，△ABC以点C为中点旋转到△A′B′C的位置，顶点B在斜边A′B′上，A′C与AB相交于D，则∠BDC=_________． 3．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，DE⊥BC于E，EF⊥AC于F，FD⊥AB于D，则AD=_______． （天津市竞赛试题） 4．如图，一个六边形的六个内角都是1200，其连续四边的长依次是1 ，9 ，9 ，5 ，那么这个六边形的周长是____________ ． （“祖冲之杯”邀请赛试题） 5．如图，△ABC中，AB=AC，∠B=360，D、E是BC上两点，使∠ADE=∠AED=2∠BAD，则图中等腰三角形共有（    ） A．3个                        B．4个        C．5个                        D．6个 6．若△ABC的三边长是 ， ， ，且满足 ， ， ，则△ABC（      ） A．钝角三角形        B．直角三角形    C．等腰直角三角形        D．等边三角形 （“希望杯”邀请赛试题） 7．等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（        ） A．300        B．300或1500      C．1200或1500        D．300或1200或1500 （“希望杯”邀请赛试题） 8．如图，已知Rt△ABC中，∠C=900，∠A=300，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（      ） A．2个              B．4个          C．6个            D．8个 （江苏省竞赛试题） 第5题图            第8题图              第9题图 9．如图在等腰Rt△ABC中，∠ACB=900，D为BC中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF交AD于G． ⑴ 求证：AD⊥CF； ⑵ 连结AF，度判断△ACF的形状，并说明理由． 10．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求证：AB+BD=CD． （天津市竞赛试题） 11．如图，已知△ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D，使得△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：△CMN是等边三角形． （江苏省竞赛试题） 12．如图1，Rt△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F． ⑴ 求证：CE=CF； ⑵ 将图1中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E的位置，使点E′落在BC边上，其他条件不变，如图2所示，试猜想：BE′与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论． （山西省中考试题） B级 1．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，则∠B：∠C的值=__________． 2．如图，△ABC的两边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，若∠BAC+∠DAE=1500，则∠BAC的度数是____________． 3．在等边△ABC所在平面内求一点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有_________个． 4．如图，在△ABC中，∠ABC=600，∠ACB=450，AD、CF都是高，相交于P，角平分线BE分别交AD、CF于Q、S，则图中的等腰三角形的个数是（        ） A．2            B．3          C．4        D．5 5．如图，在五边形ABCDE中，∠A=∠B=1200，EA=AB=BC= DC= DE，则∠D=（      ） A．300            B．450            C．600                  D．67.50 （“希望杯”竞赛试题） 6．如图，∠MAN=160，A1点在AM上，在AN上取一点A2，使A2A1=AA1，再在AM上取一点A3，使A3A2=A2A1，如此一直作下去，到不能再作为止，那么作出的最后一点是（      ） A．A5          B．A6          C．A7              D．A8 7．若P为△ABC所在平面内一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=1200，则点P叫作△ABC的费尔马点，如图1． ⑴若点P为锐角△ABC的费尔马点，且∠ABC=600，PA=3，PC=4，则PB的值为_____． ⑵如图2，在锐角△ABC外侧作等边△ACB′，连结BB′．求证：BB′过△ABC的费尔马点P，且BB′=PA+PB+PC． （湖州市中考试题） 8．如图，△ABC中，∠BAC=600，∠ACB=400，P、Q分别在BC、AC上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP． （全国初中数学联赛试题） 9．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，过M作ME∥AD交BA延长线于E，交AC于F，求证：BE=CF= (AB+AC)． （重庆市竞赛试题） 10．在等边△ABC的边BC上任取一点D，作∠DAE=600，DE交∠C的外角平分线于E，那么△ADE是什么三角形？证明你的结论． （《学习报》公开赛试题） 11．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线 ： 与 轴、 轴的正半轴分别相交于点A、B，过点C(－4，－4)作平行于 轴的直线交AB于点D，CD=10． ⑴求直线 的解析式； ⑵求证：△ABC是等腰直角三角形； ⑶将直线 沿 轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与 ， 轴分别相交于点A′、B′，在直线CD上存在点P，使得△A′B′P是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． （宁波市江东区模拟题） 12．如图1，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A(4，4)． ⑴ 求B点坐标； ⑵ 如图2，若C为 轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=900，连接OD，求∠AOD度数； ⑶ 如图3，过点A作 轴于E，F为 轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH，过A作 轴垂线交EH于点M，连接FM，等式 =1是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．