几类齐次和非齐次线性微分方程亚纯解的增长性（可编辑）

几类齐次和非齐次线性微分方程亚纯解的增长性（可编辑） 几类齐次和非齐次线性微分方程亚纯解的增长性 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知,除了文中特别加以标注和致谢的地 方外,论文中不包官其他人已经发表或撰写过的研究成果,也不包含 为获得或其他教育机构的学位或证 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 而使用过的 材料 关于××同志的政审材料调查表环保先进个人材料国家普通话测试材料农民专业合作社注销四查四问剖析材料 。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示谢意。 签字魄矽侈年多月夕日 学位论文作者签名删 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解江西师范大学研究生院有关保留、使用 学位论文的规定,有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘,允许论文被查阅和借阅。本人授权江西师范大学研究生院 可以将学位论文的全部或部分 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 编入有关数据库进行检索,可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后适用本授权书 导师签名: 签字日期:如裤易月日摘 要 本文利用值分布理论和复线性微分方程的基本知识,在线性微分 方程的系数分别是复平面上的亚纯 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 或单位圆内的解析函数的条件下,研究了 方程解的一些性质.全文共分四章. 第一章,简要介绍了复振荡理论的发展情况,并介绍了复平面上和单位圆内 的亚纯函数和解析函数的一些基本概念和记号. 第二章,研究了几类亚纯函数系数高阶齐次和非齐次线性微分方程亚纯解的 增长性.在一定条件下,得到了方程解的迭代级的相关结果.同时,还得到了解的 零点和解取小函数值点的迭代收敛指数的估计. 第三章,研究了一类特殊亚纯函数系数高阶齐次线性微分方程亚纯解的增长 性,在系数的级相同的情况下,得到了方程无穷级解的超级的精确估计.同时,还 研究了相应非齐次方程亚纯解的超级和零点二阶收敛指数. 第四章,研究了单位圆内一类二阶和高阶齐次线性微分方程解的增长性,在系 数为解析函数时,得到了方程解的级和超级的精确估计. 关键词:线性微分方程;亚纯解;级;超级;迭代级;收敛指数 , . . . , . . ? , ,., . , .: , ., ? . . 伍 ,. : ; ; ; ; 目 录 中文摘要.??.. 英文摘要??.. 目 录 第一章前言与基本概念 .前言??........ .基本概念? 第二章复平面上几类高阶线性微分方程亚纯解的迭代级 ?.引言与结果 ?.引理?.定理..?..和推论..?..的证明第三章复平面上一类高阶线性微 分方程亚纯解的级和超级 ? 引言与结果??.. ?.引理?.定理..?..的证明??. 第四章单位圆内一类齐次线性微分方程解的级和超级 引言与结果??.. ?.引理??...........?..?...........?.??.. ?.定理.,?..的证明??. 参考文献??. 致 谢??. 在读期间公开发表论文著及科研情况?. 第一章 前言与基本概念 ?.前言 世纪末,在对前人关于值分布结果进行整理的同时,改进了, ,等人的结果,开始形成了整函数的值分布理论.但是,人们 发现处理整函数的方法不能很好地应用到亚纯函数理论中.直到世纪年 代,.创立了亚纯函数值分布理论,而整函数理论的经典结果可视为 其特殊情形.此后,亚纯函数值分布理论和?理论见文 ?,,?】使亚纯函数理论得到极大发展,成为了近代亚纯函数理论的基 础.与此同时,复微分方程理论也迅速发展.然而,作为复微分方程重要理论 之一 的复振荡理论却一直不曾引入关注.直到世纪年代初,.和.从 研究二阶线性微分方程解的振荡性质开始,得到了线性微分方程的整函数解 与系 数之间的一些结论,为复线性微分方程振荡理论做了创始性工作见文?】.自 此,复振荡理论才逐渐地成为人们研究的热门课题. 继.和.之后,.,.?】等国外学者也为 复微分方程理论的发展做了许多初始性的工作.与此同时,我国数学学者杨乐引、 仪洪勋、杨重骏【、高仕安、陈宗煊等,也在复微分方程理论的发展过 程中做了许多首创性的工作.随着复振荡理论的快速发展,国内外还涌现出一大 批优秀青年数学工作者.例如,.?,.一引,..引, 曹廷彬、涂金】等,他们也做出了杰出的工作,丰富和完善了复振荡理 论. 复线性微分方程理论开始于对二阶线性微分方程的研究,然后向高阶线性方 程发展.随后主要沿着以下几个方向深入发展:方程系数从在复平面上到单位圆 内;从研究方程解的级、超级到迭代级再到?.】级;方程系数由一般形式到特殊 形式.在本文中,我们在上述几方面展开研究,讨论了几类齐次和非齐次线性微分 方程解的增长性:在第二章中,我们研究了几类高阶线性微分方程亚纯解的迭代 级;在第三章中,我们研究了一类特殊系数高阶线性微分方程解的超级;最后在第 四章中,我们在单位圆内研究了一类二阶和高阶齐次线性微分方程解的级和 超级. ?基本概念 在本节中,我们介绍本领域内一些与本文相关的基本定义和记号.在本文中, 我们使用值分布理论的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 记号见文,,?胪此外,我们 规定:对于充分大的?.?,有 ??,: ??:特别地有 ; :一 一 江西师范大学届硕士学位论文 且记。:. 特别地,我入以下定义.其中,均为正整数且定义..一..中的亚纯 函数是指在复平面上亚纯的函数. 定义..,,亚纯函数,。的级,下级,零点收敛指数和不同零点收敛 指数分别定义为 仃甄?掣,时一?笋, :甄:?掣,,:甄?掣. 定义..亚纯函数的超级,超下级,零点二阶收敛指数和不同零 点二阶收敛指数分别定义为 州:甄%掣,俐一%掣, ?肛甄:学,:甄学. 定义..,亚纯函数的次迭代级定义为 州甄甏笋. 注..如果为整函数,那么的次迭代级亦可定义为 甄警甄警. 特别地,如果,的级定义为见文【 州;面警甄?掣 如果,的超级定义为见文】 州?。?笋面警 定义..亚纯函数的次迭代下级定义为 一?笋. 几类齐次和非齐次线性微分方程亚纯解的增长性 注..如果,为整函数,那么的次迭代下级亦可定义为 州一警舰警. 定义..,司如果,为亚纯函数且满足唧厂盯?,那么,名 的次迭代型定义为 %,甄掣. 定义..】亚纯函数.厂之的级的增长指标,定义为 当为有理函数; ?, 当,为超越函数且存在某,使得。。; 蚶,任 当.厂满足对所有的,有%.厂。。. 定义..【’】亚纯函数的。一值点和不同口一值点的迭代收敛指数 定义为 加甄%?甄?笋; ,:。.。。瓦,.五。。磊. 如果凸,亚纯函数.厂的零点迭代收敛指数和不同零点迭代收敛指数分别定 义为 ,甄警甄?笋, ,甄警:甄?笋 如果.。。,亚纯函数,。的极点迭代收敛指数和不同极点迭代收敛指数分别 定义为 ?扣甄?笋甄?笋. 尹甄警顿警. 定义..亚纯函数,。的一值点的收敛指数的增长指标厂口定 义为 , 当, ; .厂,口 :~,.口?, 存在某个?有,,. , 【 对所有的有.厂. 江西师范大学届硕士学位论文 面我们给出单位圆内皿纯函数,的级、超级及收敛指数的足义. 定义..在单位圆内,亚纯函数,的级和超级分别定义为 町,戛篙半,础,戛絮掣. 对单位圆内的解析函数,,我们还定义 删蓦絮掣,酬肛耳噻掣, 其中,是,。在上的最大模. 定义..】在单位圆内,亚纯函数,的零点二阶收敛指数和不同零 点二阶收敛指数分别定义为 肛蓦笔:以肛耳笔竽. 我们还需要如下关于集合测度和密度的定义. 定义.. 集合 ,。。的线测度和集合 【:。。的对数测度 分别定义为如和厶下.集合的上密度和下密度分别定义为 ~耻面掣,一掣 定义..】设集合 ,。则的测度定义为止啬第二章 复平面上几类高阶线性微分方程亚纯解的迭 代级 ?.引言与结果 在本章中,我们主要研究具有限迭代级亚纯系数的高阶齐次线性微分方程 ./。’一。,?一...,, .. .. ,‘’一三,?’...,, 和非齐次线性微分方程 .,‘’一。,‘??, .. ?,’一名,‘一’...名,名, .. 的亚纯解的一些性质. 众所周知,当山,?,?一都为整函数且?时,方程..的 所有解均为整函数.进一步地,当名,?,一,中某些是超越整函数时,则 方程..至少存在一个无穷级解见文.但是,当为非常数亚纯函 数时,方程..也可能有亚纯解.例如,方程可万夏?瓦面,”一可兰蠹辅,” ,导有亚纯解,.因此,自然要问:,?,在什么条件 下能保证方程..的每个解具有无穷级另外,对方程..一方程..大 量存在的无穷级解,我们只用级来描述方程解的增长性快慢是不够的,而利 用超 级的定义则能对这类增长性较快的解作进一步估计.但是,仍有许多解的超 级为无 穷,对这些解我们用超级估计其增长性仍不够精确.因此,.,. 等国外学者利用迭代级的定义对方程..和方程..解的增长性进行了研 究,得到了一些结果见文【, 】等.同时,许多国内学者在这方面也作了进一 步研究见文【,,,,】等.特别地,.,.分别在文 】和文】中得到了以下结果. 定理..【设,?. 为整函数,且满足?一 ,?:昆一,则方程..的所有解都满足 和?: :?,一. 定理..【】设,?,一。为整函数,且满足.若 或%歹.?.忌一,那么..的所有非平凡解都有, 和 定理..【设.?,一为整函数,且满足,% 若:,?:忌一和岛 江西师范大学 届硕士学位论文 ,?,忌一?%山.那么..的每个非零解都满足, 和%%. 定理..设,?,凡一,,为整函数,且满足 ,?,七一,.如果。。,且如或 %如%,?,七一.则微分方程..的所有解满足 ,,%厂,,厂%,至多有一个例外解. 当方程系数为亚纯函数时,陈玉等在文中得到了以下结果. 定理.. 】设,,?,一是亚纯函数,且满足 ?。。,?,七一和甄丝麓笋盯.如果,?是方程 ..的亚纯解且满足?,,那么盯,?,,盯。. 定理.. 】设,名,?,一,?是有穷级亚纯函数, 且满足盯盯月,?,忌一,如果方程..的所有解,? 为亚纯解,且?卢.厂,盯厂。。,那么页.厂厂。。; ,,盯,?.又若耍匿丝鼍凳?盟.则, 。,盯.厂盯,至多除去一个例外. 首先,我们考虑将定理..和定理..推广到迭代级情形,所得结果亦是 对定理.....的推广. 定理..设,:?,?是亚纯函数,满足胍%如, ,?,一%凡?,。且击或~击唧.如果 ,?是方程..的亚纯解且满足?,、那么%,唧凡. 定理..设,,,?,一,,?是亚纯函数,满足 ??,唧如,,?一:砖一盯?,.盯 %,且击或击唧‘.如果方程..的任一解,?为 亚纯解,且满足坳,,那么,,,,唧,,唧,至多 除去一个例外解. 定理..设,?,?,一?是亚纯函数,存在某个超越亚纯函 数?,.?,七一满足。。,唧“?且 五或~击.如果方程,.的任一解.厂为亚纯解,且满足 ?那么%,?%九,且至少有一解满足唧.厂%山. 定理..设,,?,一,满足定理..中的条件,? 是亚纯函数且满足盯唧 。。.假设方程..的任一解 .的一个解,,,止.?, .厂均为亚纯函数,且满足卢,,是方程 是方程..的基础解系.则存在一个厶?,?,南,不妨设为.使得所 几类齐次和非齐次线性微分方程亚纯解的增长性 有解空间;?回内的解满足,入,, 至多有一个例外. 注...若将定理..和定理..中的条件“卢山和~ 脚”改为“和~;脚,”,定理..和定理..的结 论仍然成立. 定理..设?,以,?,一,名为亚纯函数,且满足甄簧搿 ,%,,?,七一?盯和 %:,?%一砀月.若,?为方程..的亚纯解 且满足~仰,,则,,. 当方程..的系数满足下述条件时,.在文中得到了如下结论. 定理..【设日是一个复数集且满足万苫磊?:?,,, ?,一为整函数且满足当?且??时, 和 ?,,?:一,其中肛,?&均为常数.则方程 ..的每个非零解,具有无穷级且盯.厂?肛. 定理..设日是一个复数集且满足:?日,,名: ?,?一。为整函数且满足:,?,一?盯?, 当?且时,?&和 肛, ,?,惫一,其中肛.?卢均为常数.则方程..的每个非零解,具 有无穷级且盯. 其次,我们将在定理..和定理..的基础上进一步研究,把方程系数由 整函数推广到具有限迭代级的亚纯函数情形,并研究方程..一方程..的 解的迭代级.得到了以下结论. 定理..设是一个复数集且满足?:名?日,.二. ?:一:为有限迭代级亚纯函数且满足当。?且。?时,? .,“和?,,?~,一,其中肛,? 。均为常数.若方程..有亚纯解,则每个非零亚纯解,满足%,?肛.进 。卢,其中 一步地:如果当名?.,,,?,七一 卢是一个常数.若,?是方程..的亚纯解且满足脚.厂,则 ,.%,肛. 定理..设?是一个复数集且满足??名?,,, ?,为有限迭代级亚纯函数且满足 即山 ..?南; 对任给的 和常数?,当。?且。。时,。? 江西师范大学届硕士学位论文 ?和如?”,?,七.若方程..有亚纯 解,则每个非零亚纯解,满足?口.进一步地,若.厂?是方程..的 亚纯解且满足~脚,,则,,唧,,盯. 由上述定理..容易得到下面的推论.. 推论..设,,?,:满足定理..中的假设条件, ?是亚纯函数且满足或仃.若,悟是方程 ..的亚纯解且满足~卢厂,则一.,一 舛,一一盯. 定理.设日是一个复数集且满足?:?,?是 亚纯函数且满足?。?】.:。?或盯?。。 山,。彳,?,凡一,名为有限迭代级亚纯函数且满足 ,,,?,一 。“?。。,卢是常数; 当?且。。时,??和?肛, ,?,尼一,其中“,“&?均为常数.若方程..的任一解 .厂?为亚纯解且满足~“,,则:%,,至多有一个 例外解如三满足或% 名?是 定理..设是一个复数集且满足??三?日 亚纯函数满足%盯??.,,?,为有限迭代级 亚纯函数且满足 ,,:?.南; 时,? 对任给的 和常数&?,当?且 ,乜。和名?,”,,?,忌.若方程..的任一 解,悼为亚纯解且满足蜥,,则,入?,盯,,盯. 至多有一个例外解. 由上述定理..容易得到下面的推论.. 推论..设凡,,?,.日满足定理..中的假设条件, 三?是亚纯函数满足或%夕盯且一%。‘’ %一夕。一’??.若,?是方程..的亚纯解且满 足,,.厂,.厂%,『。,则,一夕 ,页,一/一%,一盯. 几类齐次和非齐次线性微分方程亚纯解的增长性 ?.引理 引理..【】设与是,。。中的非减函数.如果? .,或当《 ,时,?,其中 ,?是一对数测 度为有限的集合.则对任给常数,存在,当时,有?. 引理.. 设是超越亚纯函数:忌,,?, 。是不同整 数对的有限集合,满足‰五?:?,.是一给定的实常数,则存在 对数测度为有限的集合,.。。,存在仅依赖于和的常数,使得对 所有满足岳,】 的及对所有的,?,有 黼?掣。???’ 引理..【设是正整数,,稿是亚纯函数,其中名和。是 整函数且满足?,肛?%唧,。。,或 且肛.假设为吲上满足。,的点,%表 示整函数的中心指标,那么存在一个对数测度有限的集合马,。。,当 易时,有 簪【, 错掣九吣忉 引理..】设亚纯函数满足,?且盯:则存在 整函数:和使得 ,?瓦匹厂和%,唧不,,唧.唧。’ 进一步地,对任给的 ,有 一,一,,托?,。 即,托《 其中岛是一个具有限线性测度的值集合. 引理..】设整函数满足..,?:且 盯,口肛:贝 ’ %.:盯.?。~:“. ? 雨 其中%为的中心指标. 江西师范大学届硕士学位论文 引理..【】设微分方程.厂‘’%一名.厂?’?,被忌个 线性无关的亚纯解,,:?,所满足,那么,。,?,是亚纯函 数,且对于,.?,七一,有,,,,,?,南. 引理..【】设,名,?,%一名,?是亚纯函数,,是 方程..的亚纯解且满足 :,?,一?, 或.%?:%,?,后一%厂仃, 贝五,.厂~,,唧。,盯. 引理..设,,?,,?是亚纯函数,是方程 ..的亚纯解且满足 .,?,忍。。, 或,即,?,七%,盯, 贝~?,~,,盯. 证明:用与引理..相同的证明方法,容易证得引理..的结论成立. 引理..设亚纯函数满足%.厂盯且?.则对任给的 ,存在一个无穷对数测度集合 ,?,使得对所有的?,有 昂肛一。。警. 证明由定义..可知,存在一个趋于无穷的点列扎器满足‰ ,且,魄生秽.对任给的 ,存在充分大的正整数使得 当凡和 .。时,有 。二 , 卜~’ 即, 鬻掣?坠号莽幽. ‰,。二 ?, 令局甚。。%,击‰】,则当?,由. 式可得 :菡等掣规警刊, 其中?巽。。艘告”警?墨。,。。.引理证毕. ?.定理..?..和推论..?..的证明 定理..的证明假设,?是方程..的亚纯解,则由方程 . 可得 . 幽五等五竿.刊心等. 几类齐次和非齐次线性微分方程亚纯解的增长性 由..式及对数导数引理可知,至多除去一个线性测度为有限的集合,对所 有的《,有 七一 .. ,??,,川. 因为击或~击唧。,所以甄一。。,?唧。.于是,利用 ..式及引理..可得 一 。.。。警?甄警,甄警,”一,是一, 即?,,%,:?尼.又由题设条件,; ,?,七一%山,可知?%.厂. 下证唧,,?%凡.由定理,可表示成,籍,其中 ,为整函数,满足,脚?唧唧,,%脚.厂. 由引理..,取点满足及,,均表示整函数的中心 指标.那么存在一个对数测度有限的集合易,?,当岳岛,】 时,有 .. 错半班?,” 将方程..改写为 .. 一生。生??名?. 将. 式代入..式可得 ?圳, 一掣 ,州,,七半? 州 ?,掣。凡名. 由引理.,对任给的,存在一个有限线性测度的集合历:当?隹 且充分大时,有 .. ?。。’?托,?,七一. 由..式和..式可知,当满足譬:易邑且 ,,??时,有 .. %【?。 唧‘山’‘ 由..式及引理..和引理..可得%厂口夕? .又 由 的任意性可知%,茎唧‰.从而定理..证毕. 江西师范大学届硕士学位论文 定理..的证明 先证%?唧.由定理,.厂可表 示成.厂幽,其中名:为整函数,满足脚.厂脚?唧 .%~;脚,.由引理..,取点满足及 ,夕,%表示整函数的中心指标,那么存在一个对数测度有限的集合 局,。。当?《,马时,..式成立.将方程..改写为 一等七孚?川心手讹五一半. 将. 式代入..式得 ,州, 一半。州,五掣枉 ?五掣讹五一半.舢 由引理..知,对任给的:,存在一个有限线性测度的集合昆,当,《 局,,且?。时,..式成立,并且有 盟:阻巡刭:咀剑型竺丛型竺竺丛竺 。 厂? 夕。 , 。.“,一 因唧?,脚夕,故可选取 满足 划皇与业,从而有 . 鬻陋. 由..式,..式及..式可知,当隹【,局岛,且 ,,?。。时,..式成立.又由..式及引理..和引理 ..易知%?. 下证,厂,,.显然。厂?卅?,?,.厂.又因?, 故可将方程..改写为 ’ ~? .. , 三南他 。 五竿.州出 / 由..式易知 帕,扣坼,抄吣,扣勖洲, .. 肌,扣毗抄?,扣薹刖办 几类齐次和非齐次线性微分方程亚纯解的增长性 由..式及对数导数引理知,至多除去一个线性测度有限的集合,对所有 《,有 .. 嘶,扣,扣薹嘶,矧嘶纠卜 由..式和..式可知 .. ,?南丙 .,,?如,,. \ / 式,并由题设条件和引 当充分大时,将,,’?;丁,代入. 理..可知,,?咋,,.从而/唧,, . 假设,?,是方程..的解且满足%,%, ,则一厶?%,唧,.而一止是方程 ..对应齐次方程的解,由定理..的证明的第一部分可知仃时,,一丘? 即至多除去一个例外解,其它任一亚纯解,?均满足 ,于是矛盾. 厂%.定理..证毕. 定理..的证明由于方程..的所有解为亚纯函数,设,厶,?, 为方程..的基础解系,由引理..有 ,?,,礼,??砖. 因为击或~击,所以甄。。。,.故存在一个 对数测度为无穷的集合既,?,使得?有现。。, %月.令。:’?昆,,? ,厶礼.?一.尼,贝 岛。岛.由于岛的对数测度为无穷,所以必存在某个对数测度为无穷的集合 岛。礼?,?.七,不妨设为。,在?。上满足,。唧 和.?、,.由此可得盯,%,. 将方程,.改写为 一茜,‘‘’,‘’ .厂?一’。厂, 从而可得 , .. ,?,?, ? 其中为实常数.由假设,:』.?.七一,?,及 ..式可得脚厂?凡.又因为~?,.所以入 脚,. 江西师范大学届硕士学位论文 由定理,可表示成,端,其中,为整函数,满足 脚脚,?%%,,~脚,.由引理..,取为 ?上的点:且满足肘,,%表示整函数的中心指标,那么 存在一个对数测度有限的集合 ,?,当暮,】 时,.. 式成立. 由引理..,对任给的 ,存在一个有限线性测度的集合,当隹 局且充分大时,有 ?即‘,?,惫一 .. 由..式,..式及..式可知,当《【,】岛玛且 孑:,斗。。时,有 ‖ ‘ 。‘. .. 由..式及引理..和引理..,易知%,? . 又根据 的任意性,可得唧冬%也.从而至少存在一个亚纯解,,使 %厶.定理..证毕. 定理..的证明 由定理..知%乃?唧钆,?,南,且存 在一个厶,不妨设为,满足%%山.用文】的证明方法,可以证明 解空间,?内的解满足.厂%,厂,至多有一个例 外.定理..证毕. 定理..的证明设,。?是方程..的亚纯解.先证%,,? %.将方程..改写为..式,由对数导数引理和..式可知,至多 除去一个线性测度为有限的集合,对所有聋有..式成立.因此. 七 ,??,, .,. .. 令盯,,%.,?.七一, 昂如%%山,,?,七一.若唧.则对任 给的 ?,.一,?,有 .. 丁,?托.. 若唧:%凡,则对上述的,有 .. ,?... 由引理..,存在一个无穷对数测度的集合且,使得对所有?.有 , . 一一 。. 几类齐次和非齐次线性微分方程亚纯解的增长性 由甄捌,对上述 ,当?。。时,有 .. ,?丁,. 将..一..式代入..式可知,对所有的?\且?,有 一一 一.一 。尼丁 庇町托,,, 即 .. 一一 ?丁一?.,. 由..式可得盯?唧,. 下面证明%?.将方程..改为..式.由定 理,,可表示成嬲,其中,为整函数,满足蜥夕?.厂 唧,唧入,脚,.由引理..,取点满足及 ,,%表示整函数的中心指标,则存在一个对数测度为有 限的集合 ,。。.当譬易,时,有..式成立.由引 理..,对任给的 ,存在一个有限线性测度的集合岛,当?圣, 充分大时,有..式成立.将..式,..式代入..式,当满足 车,恳肠及,,??时,可得..式成立.由 ..式及引理..和引理..可得%%?.又由 的任意性可知唧,‘厂唧.从而%.定理..证毕. 定理..的证明假设,?是方程..的亚纯解.由方程.. 可得 七?引小?五孚卜?吲..., 由引理..,存在一个有限线性测度的集合 【,。。.使得对满足所有? 仨的:,有 错鲫陬删?川,?.矾.. 其中是一个常数,且文中每次出现的不必相同.由定理..中的假设条件 可知,存在一个集合日满足五磊:?,当?且??时,有 .. ?。和?,,?,七一. 将..式和..式代入..式,可知当。?且满足七隹, ??时.有 . .. ?,,? 江西师范大学届硕士学位论文 因此,存在一个上密度大于零的集合 ,,当?且?。。时,有 .. 一,?,,. 由..式可得,?肛. 进一步地,由定理..的假设条件,对充分大的七,有 .. 缸,歹,,?,七一?, 其中卢是常数.由定理,.厂名可表示成,名粥,其中, 为整函数,满足脚,冬唧印,:或咚 ~脚,.由引理..,取点名满足?及,,%表 示整函数的中心指标,则存在一个对数测度有限的集合 .。。,当 ?《,】易时,有 .. 帮掣’,圳九一?五. 由方程..可得 .. 例洲?五孚?州列盼眦川 将..式和..式代入..式可得 .. %? ,.卢卢, 其中名满足?萑【,】 ,?。且,.由引理..,引理 ..和..式可得盯唧冬肛.从而若.厂?是方程,.的 亚纯解且满足,?脚,,则,,%,肛.定理..证毕. 定理..的证明假设,?是方程..的亚纯解且满足、? 地,.使用与定理..中相同的讨论方法,我们容易得到盯,,芝一.根据 的任意性可知盯舛?盯. 另一方面,由定理..的假设条件和引理..,对任给的,存在一个 线性测度为有限的集合肠,对所有满足?隹玛的名,有 ?。,,?一.七一和?一... 由方程..可得 例?南?五孚卜叫五什?,【..., 由定理,,可表示成.厂石躲.其中,。为整函数,满足 坳,?唧:或%~?肛,,.由引 丛类齐次和非齐次线性微分方程亚纯解的增长性 理..,取点满足七,厂及肘,,%表示整函数夕的中心指 标,则存在一个对数测度有限的集合岛,?,当?车,】易时,有 ..式成立.将..式和..式代入..式可得 .. % , 其中满足岳,易易:?。且,.由引理.., 引理..和..式可得盯,.厂?盯 .根据的任意性可知 %厂?口.从而,盯升,盯.定理..证毕. 定理..的证明假设厂?是方程..的亚纯解且满足 坳,.下面分两种情形进行证明. 情形:我们先假设?。&?,名?。。.由方程..可得 竽阻五例..批五 删俐..., 由定理,.厂可表示成‘厂脒其中,为整函数,满足 脚.厂坳%唧.厂.或%~~;.由引 理..,取点名满足及三夕,蜘表示整函数夕二的中心指 标,则存在一个对数测度有限的集合岛:。。,当?车【:】易时,有 ..式成立.由引理..,对任给的,存在一个对数测度为有限的集合 伤,使得对所有满足?岳易,?。。和,的,有 器赞嫦?翌岩等华?。倒. 由定理..的假设条件可知,当充分大时,有..式成立.将..式 ..式和..式代入..式,当。满足《【,易肠,?。。 和,,有 % 足 ,卢. .. 从而,由引理..,引理..和..式可得盯,?肛. 假设,是方程..的亚纯解且满足/或盯卅,而肛.如果还 存在另外一个亚纯解,满足或盯,如肛.然而,因一,是对 应齐次方程..的解,故由定理.,的第一部分结论可知%,??肛, 这与%一,肛矛盾.从而可得厂和盯厂,至多有一个 例外解如满足/和盯舛如. 情形:下面假设%?.由引理..,对任给的 ,存在一个线性测 度为有限的集合,使得当满足七岳岛.?。。.有 .. %‘’ 小 江西师范大学届硕士学位论文 用与证明情形相同的方法可得和盯,,,,至多有一个例外解 ,满足,和%.定理..证毕. 定理..的证明假设?是方程..的亚纯解且满足, 坳,.由方程,.可得 伴谢例?渊阶粼南斛皿瑚, 由定理,‘厂可表示成貉:其中石,为整函数,满足 蜥,如?,或唧~~??,.由引 理..,取点满足及,,%表示整函数的中心指 标,则存在一个对数测度有限的集合易,。。当?譬,】易时,有 .,式成立.由引理..和定理..的假设条件,对任给的 ,存在 线性测度为有限的集合岛,取点名满足车局和名,,当充 分大时,可得到..式和 。 ? 而『 而 瓦两而两商砑黼 矿姚?.. ‘ 卜?叫 一 一。脚一:“。 ?忑型笔涮赫? 将..式,..式和..式代入..式,取点满足七《 ,易岛,?和『,,有 %?南 。。拈 . .. 从而,由引理.,,引理..和..式可得啊.厂?盯. 使用与证明定理..相同的方法,容易证得%,盯,至多有一个例外 解.因为%?盯和唧山,.;,?:七仃:所以由引理..可得 ,,%口,至多有一个例外解.定理..证毕. 推论..的证明 令?.由或盯盯和定理 ..可得唧%,和一,九.厂一将代入方 程..可得 纠?允‘?’一名夕’%一?一’... 设‘’?。‘一之.若三, 则由定理..的第一部分结论可得?盯,这与%矛盾,故 ?.又由%盯%?厂和引理..可得天.厂一和 ??%?盯. 推论..的证明用与证明推论.,类似的方法,容易证得推论..的 结果.第三章 复平面上一类高阶线性微分方程亚纯解的级和超级 ?.引言与结果 众所周知,当系数二,均为有限级整函数时,二阶齐次线性微分方程 ,”: .. 的每个解都是整函数且大多数解具有无穷级见文【.那么当系数满足什么 条件时,方程..的每个解都具有无穷级当。时,.和 .对方程..进行了研究,得到了下列结果. 定理..【设是一个非常数多项式,是非零常数.则方程,” 。的每个非平凡解的级为无穷. 定理..设是一个超越整函数且级盯?.则方程 ?’七 ., 的每个非零解的级为无穷. 从定理..的结果我们自然会想到,当时:需满足什么条件 可使得方程..的每个解具有无穷级对此,.. .,. 和陈宗煊、彭峰等在研究中得到了以下结果, 定理..设多项式。扩?:名扩?,。? 满足。? 。或。、整函数和?满足 盯几?,.则方程厂”’厂’,的每个解具有无穷级且 ?. 定理..【设整函数山。?.满足盯山,,是复常数 且?口.则方程,”“的每个非零解 ,的级为无穷. 定理..【设整函数,。?,,满足,盯功 .,是复常数且?, ? 或.则方程 ”三”,。.厂 的每个非零解,的级为无穷. 江西师范大学届硕士学位论文 定理..设,是非零复数且?,是多项式或凡。, 其中是非零多项式.则方程.厂”“.厂’的每个非零解/具有 无穷级且仃,. 定理..【设整函数三?,满足,,。是复常数 且?,?不妨设?.如果 ?或,则方程 ,”’。。, 的每一个非零解具有无穷级且。,. 定理..【设整函数?,:岛?,?.一 ,。,?.:一满足,盯,。,,?一,尼一 是复常数且满足 ,‰,?,;是实常数 且??如,其中』?移,/?弘,, ,.?,七一,,是复常 数且?,?不妨设?.如果 ?或击,其中 :?,:?如,贝?方程 ,。?一,?’三, 町屹, 的每个非零解/具有无穷级且盯,. 在本章中,我们首先将定理..中方程的整函数系数推广至亚纯函数系数, 并且用高次多项式名,,分别取代一次多项式,:,得到了以 下结果. 定理..设亚纯函数如?.,马?.?.七一 ,。.、?,詹一满足,,盯马.?一.尼一 ,。.,?..,七一.令“?..: ” ?:局”?均为非常数多项式且。?,。?不妨设。?‰, ,?,忌一为复常数且满足。。?厶和。 ,,?.七一.若 是实常数且。??:其中,?,,?移,, 。?不或。丁笔,其中:?,。:?,厂? 是方程 ,...甬’, ,‘ .. 、 。’。, 的亚纯解且满足所有极点重数一致有界,则具有无穷级且. 由上述定理..,容易证得下面两个推论. 几类齐次和非齐次线性微分方程亚纯解的增长性 推论..设亚纯函数?‘『,,?,?一,? ,。,,?,七一满足,,盯玩,?,南一 ,。,,?一,忌一.令“?一,“ ?, 。“?均为非常数多项式且。?,。?不妨设。?‰, ,?,一为复常数且满足。。,?,克一.若 。?或。,,?是方程..的亚纯解且满足所有极点重数一 致有界,则具有无穷级且口.厂. 推论..设亚纯函数?,,且?,。,,?, 七一满足,,盯 ,?..,南一,盯。,,一?,惫一 礼令”?,。扩?,尼之。严?均为非 常数多项式且。?,‰?不妨设。?。,。,?,一是实 常数且轨?.若。?或。,其中。:,?,七一, ,?是方程.。的亚纯解且满足所有极点重数一致有界,则具有无 穷级且. 在研究了齐次线性微分方程后,我们自然想到非齐次线性微分方程的亚纯解 是否也具有类似的性质对此,我们得到了以下定理. 定理..设亚纯函数码?,.局?,?,七一 ,。,.?,七一和非常数多项式三,之,,?:一 。? 均满足定理..中的假设条件.?是有限级亚纯函数.如果 或。七.其中:?和:?如,且方程 .厂’一一 ’,‘一’...。。’,’ .. 。。’。’ 的所有解均为亚纯解.若/‘。?是方程..的亚纯解且满足所有极点重数 一致有界,则满足页。‘厂。,眈厂,至多有一个有限级的例外解.进 一步地,若方程..存在有限级例外解如,则盯,?,,页,. 以下两个例子表明定理..中的有限级例外解可能存在. 例..考虑非齐次线性微分方程.厂’?,‘?’?.厂酽‘ 攀‖一两一:『’雩竽卅‖.其中,?,%一是亚纯函数.则 是方程的解且盯南. 例.. 考虑非齐次线性微分方程,’厂”?.,”一 。.厂一一?一户,‘;一.则,。是 方程的解且盯如.盯,如江西师范大学届硕士学位论文 ?.引理 ..【 弓 设.厂为超越亚纯函数且盯?.惫,, ?,‰,是不同整数对的有限集,满足‰五?,,?,,又设 是任给的常数,则 存在线性测度为零的集合厩,不,使得若妒?,不\,则存在常数 岛凰妒,使得对满足 妒及?凰的所有及对所有尼:?, 都有 嬲九烈“七; 存在对数测度为有限的集合晶,?,使得对满足?岳?,的所有 及对所有后,?,都有 锚九旷州?删; 存在线性测度为有限的集合岛,?,使得对满足隹的所有及对 所有恐,?,都有 篇九州,. 引理..设&卢“?,卢是实数且满足川例? 是次数为几?的非常数多项式,?是级为盯凡的亚纯函数.令 尸“,坩,,一卢.则对任给的 ,存在 零测度集凰【,,使得对每个曰?,不\ 皿,存在伯,使得当 ,时,有 若.,则一芒,口”棚.“; 若占尸 ,则只“坩一 巧尸,口”, 其中日口?,:巧日是有限集. 引理..【】设凡是正整数,。。扩?.是非常数 多项式,其中哆『,,?,是复常数且。?.令馆。一 。哟,如?三,等,占 。佗臼,则存在一线性测度为零的集合 凰蠡,紊,使得若?,则存在一条射线 ,?一磊:蠡\凰 风,使得,,占岛,或,,占,,其中目? 一轰,舞:弓,臼是一个线测度为零的有限集. 注..【在引理..中,若用?云:五”、、\‘风替代?一磊.蠡\ 王如风,则引理..的结论仍然成立. 几类齐次和非齐次线性微分方程亚纯解的增长性 引理..设是一个亚纯函数且满足卢。。,则对任给 的,存在对数测度有限的集合 ,。。.使得对所有满足?隹 ,岛:。。的点,有一托?名?卢托. 引理..【设七?,,,?,?一是亚纯函数.盯, ,?:七一.若是方程.厂’,?,的超越亚纯解且满 足所有极点重数一致有界.则,满足仃,?盯. 引理..设,‖一,% ?是有限级亚纯函数.若,是方程 厂‘一厂‘一..., 的无穷级亚纯解,则.厂满足页,。。 ?.定理.....的证明 定理..的证明设.厂?是方程..的亚纯解. 第一步,先证盯,。。.反设盯,。。.令:. ,,盯,?.七一,仃。,?一,尼一卢.贝由弓理 ..,对任给的龉斟哥,学:币:可,,存在一个对数测度为有限 的集合 ,。。,使得对所有满足隹,】岛?。。点名,有 【 。,, ?,?,七一, 。?.?忌一. .. 由引理..,对上述,存在一个线性测度为零的集合氏卜三,等:使得若 和 ?一号,警\尾,则存在常数风‰口,使得对所有满足 三?的点,有 . 错九加。叫川,?. 设?.。口。胡.‰汨,,?【三,警.我们容易得到 :。 幻乜。 凡目?, “。 不 ?如. 下面分两种情形进行证明. 情形:。?不.即?不.首先,假设?.由引理..,对上述 也凰其中,飓,?如引理 .存在一条射线。?一云,磊\ 届硕士学位论文 婆亘竖堕盔堂 ..中定义且其线性测度之和为零,使得臼,‘,日或占只口 .. 当,,目时,由引理..可知,对充分大的, 。尸‘’?一 占尸 “和。’?一占,.. 故由..式可得 ‘。’’?。’?’ ?一一尸;“,. .. 由方程..可得 悱五剁叫?例如卅阢七竿 .. .。。,『 ,。见。’』?。。 . 对?,,有 ? ,“?. .. 对?如,有 『‘。’?卢”一一。?, .. 其中卢:凡一和?一磊,蠡\ 飓风.将,.式,.. 式,..式,..式和..式代入..式可得 一一,“卜印? ’‘一?。‘ 。’。一 ?/‘。一’。 ,“... 其中%是某常数.由..式和杀高可得 .. 一。孚剐”?%口 ‖. 从而由巧’.和 业,,容易得知..式是一个矛盾. 当.曰,,口时,由引理..可知,对充分大的. ‘。’?一?占尸,口“和?一,... 因此,可以得到 。。’’?。。’『一尸 几类齐次和非齐次线性微分方程亚纯解的增长性 ?一一,“. .. 对?,有 墙’?一 白只“?. .. 对?厶,有..式成立.将..式,..式,..式,..式和 ..式代入..式,可以得到 一一 ,“?一’? .’? .. ?‘州姚. 故由,和孚,?可知..式是一个矛盾. 使得 其次,假设.由引理..,对上述,存在一条射线 和尸,.因为。?%。?。和, ?一磊,磊\? 所以。。.从而占,。 。.由引理..,对充分大的,可得..式,..式及 ’?“和。’?一,“... 因此, ’’?名’?’ ? 占“, .. 其中一 ,口一 ,一.由矧.易知 一 :一,口,从而.将..式,,.式,.. 式,..式和..式代入..式可得 :”?舰?“ 其中且矗是某常数.因此, 一 “ 。一旬. .. 由,,和 孚,;.易知..式是一个矛盾. 情形:血。盘即不.首先假设?,则?不.由引理..,对上 述的:,存在一条射线 ,使得?一甄,蠡\,凰和,. 因为,所以尸.。一。 .由引理.., 对充分的,可得..式,..式及 以?一尸,“和/。。’?一.曰“... 从而可得 。。’?。。’?江西师范大学届硕士学位论文 ?一一 ,”. .. 用与情形相同的方法,容易得到一个矛盾. 其次,假设不.由引理..及其注..,对上述的 ,存在一条射线 使得?蠡,嘉\局,则,,口。 :,一 .因为?,。?。和,所以。几, 只巧,目.由引理..,对充分的,可得..式,..式和.. ,所以对?,有 式.因为。?,。:?如和 扁。’冬跏”?“. .. 将..式,..式,..式,..式和..式代入..式可得 ,” ”,“, 其中是某常数.因此, “?。‘卢, .. 其中’一占一 .因为 ,。南和?,所以 一,一一一。? 一。。。几日兰。孔. 由和旦?:可知..式是一个矛盾. 综上所述,。。, 第二步,再证,.由引理..和口风。。,盯 岛蜀【,:?:七一?扎,可知盯厂?.再由引理.,,存在一个对数测 度为有限的集合 ,。和常数,使得对所有满足岳【,】岛 的点,有 ,,.、【 ,?,七. .. 与箐?丁:删卅 、, 下面分两种情形进行证明. 情形: 。?,即?不.首先,假设口?.在第一步证明中,我 满足 们已经证得,存在一条射线使得?一矗,刍\岛 .:,或者,:,护. 当尸,.,时,对充分大的,有..式成立.将.. 式,..式,..式,..式和..式代入..式,对所有的点 魁风,有 徊满足七隹,】易玛.?一瓦,云\ 一一 尸,“茎一一一’ 几类齐次和非齐次线性微分方程亚纯解的增长性?卢托’】丁,,‘.卢 ? ”【丁,删?,.. 其中%是某常数.由..式和 杀南,可得.. 一。三二占尸,目“? ,,‘. 二 因为只,和 学,】.,由引理..和..式,易得 盯,?礼.故口.厂. 当占’,,口时,对充分大的,有..式成立.将 ..式,..式,..式,..式和..式代入..式,对所有 ,有 的点名调满足譬,】易易,?一磊.蠡\?/ .. 一一巧,”? 。丁,,】‘, 其中是某常数.因为,和 孚,,由引理..和 ..式,易得仃,?.故. 其次,假设。口.在第一步证明中,我们已经证得,存在一条射线 飓地满足,尸,,则对充分大的 使得?一参,蠡\ ,有..式成立.将..式,..式,..式,..式和.. ,? 式代入..式,对所有的点徊满足《【:易 一蠡.蠡\且巩风,有 “冬尬撕只“丁,,抖,.. 其中是某常数.由..式可得 .. 一,目”? 【,,】. 因为,秽. 掣.?和,由引理..和..式,可得 ?.故/. 情形:。南,即不首先,假设?在第一步证明中,我们 已经证得,存在一条射线使得?一蠡,蠡\岛凰风满足 ..,臼,则对充分大的,有..式成立.用与第二步情形 相同的证明方法,可以得到盯。,扎. 其次,假设。.在第一步证明中,我们已经证得,存在一条射线名 使得?蠡.氅\岛凰风满足,.,则对充分大的, 有..式成立.将..式,..式,..式,..式和..:? 式代入..式,对所有的点’徊满足芒,】 .有 磊.募\昂凰 且,.“?如‘::“【丁,,】. 江西师范大学届硕士学位论文 其中且如是某常数.因此, ”,? 丁,,, .. 其中一 只一.因为和掣,引理..和 ..式,可得盯,?.故仃,.定理..证毕. 定理..的证明 假设,是方程..的一个有限级亚纯解.若方程 ..还存在另一个有限级亚纯解?,,则盯一,?且一,是 方程..对应的齐次方程..的亚纯解.然而,由定理..,可得盯一 向?,这与?。。.相矛盾,因此方程..的所有亚纯解满足 盯,?,至多有一个有限级例外解.厂. 设,是方程..的一个无穷级亚纯解.则由引理..,可得页.,。厂 仃,?.接下来我们将证明方程..的每个无穷级亚纯解满足又,: ,.事实上,由方程..易知.厂的零点仅可能发生在口。,?,七一, ,?一,七一和如,的极点或的零点处.如果,有一个 重零点名,则必定在点处为凡一后重零点.因此,由?可 得 嵋?,抄,扣量?.%蓦肌肼歪州力 另一方面,将方程..改写为 手去等邶?五五 ,孚 ...。’’. .. 因此, 凫一 七一 一 ,??,寺?,,。?,?,而?,土广?,,’,’ 故由对数导数引理,存在一个线测度为有限的集合局,使得对《,有 丁,,?七丙,,?丁,。?丁,?丁, .丁,尸‘’,’ 乃,厂 ???????些丕荭达塑韭五达垡壁堂坌直猩垩纯堡塑塑量壁 : 其中是正常数.令:,,盯:,?,后一】.口一 歹? 二:‘.几?因此,对任给的和充分大的,有 ;丁,,,?‘’,丁,岛 “,,?,,。?‘:, 。 墨箩’?。。二.’‘:,一:,。?肌,?,七一,丁】山? ,.从而,对充分大的茌,有 . :,?矾胛芦一皇型凳‘?和..式,可得,?足,.显然,,?,?盯,.从 而可得,,. 下面设如是方程..的有限级解,则如 .将矗代入..式,可得 去;等?五懒“咖鼯出掣 ‘‘尸‘。’’. 因此, 去?嘶,刍三吣,吾嘶,岛善嘶?妻嘶,孚 ?叩四?哪 易知,的零点仅可能发生在。:,?,七一,岛:,?.惫一】和 ?的极点处或的零点处.如果,有一个七重的零点约, 则点细必是的一惫重零点.因此,由?可得 嘶,挑吼扣,扣互,圳占 善呻,?. 所以由对数导数引理和。。.易得 。曼丁,岛 丁:,丁,去?七?:去丁? 苫丁著丁删肌?. 因此可知盯,?钆.盯,名定理.评肇第四章 单位圆内一类齐次线性微分方程 解的级和超级 ?.引言与结果 单位圆内的复方程问题一直是本领域的一个难点.虽然有许多国内外数学 学者从事该问题的研究,但由于许多在复平面上行之有效的工具在单位圆中 失效, 所以该问题的研究进展缓慢.近年来,.,陈宗煊,李叶舟,曹廷彬,肖 丽鹏等对该问题进行了研究,并取得了一些开创性成果见文,,,,, .特别地,.在文】中得到了以下结果. 定理..【】设和为单位圆内的解析函数.若盯 或是不可允许的而是可允许的,则方程,”,的所 有非零解厂名具有无穷级. 近来,在文【中,.利用方程系数在单位圆周上一点附近的性质, 研究了方程解的增长性,得到了以下结果. 定理..【设?和名为单位圆内的解析函数,是实 常数,,和是复常数且满足?,? ,.若名,均在 点名。处解析,则方程 .厂匹耐 厂名百?甲, .. 的每个非零解的级为无穷. 定理..设?和为单位圆内的解析函数,是实常 数,,和劲是复常数且满足?,,若,名 均在点名。处解析,则方程..的每个非零解的级为无穷. 在文【中,.还考虑了高阶线性微分方程 厂‘‘%~三.厂 ’...。厂南: .. 得到了以下结果. 定理..【设?,石,?,为单位圆?内的解析函数且 满足马在点处解析或名山商,其中在点处解析且 满足或 ?.是实常数,和是复 常数且满足?:.则方程.