【doc】固结度平方根法计算公式的理论证明

【doc】固结度平方根法计算公式的理论证明 固结度平方根法计算公式的理论证明 第29卷第4期 2008年4月 岩土力学 RockandSoilMechanics ,,01.29 Apr NO.4 2oo8 文章犏号I1ooO一7598一(2oo8)O4—916一O3 固结度平方根法计算公式的理论证明 包太,一,税月,刘宝琛2,朱爱军 (1.贵州大学土木建筑工程学院,贵阳550003;2中南大学土木建筑学院,长沙410075.) 摘要:自从太沙基在实验基础上提出固结度与时间因数计算的平方根法公式以来,其在工程中发挥了重大的作用,但其理 论上的证明一直未见报导.以误差函数为基础,对平方根法计算公式进行了理论上的论证,得到了平方根法计算公式的原型, 并与前人级数公式的计算结果进行了对比,两者吻合良好. 关键词:固结系数;平方根法;误差函数;原型;时问因数 中图分类号?TU431文献标识码:A Theoreticalprovingofdegreeofconsolidationformula ofsquarerootmethod BaoTai一,ShuiYue,LIUBao.chen,ZhuAi-jun (1.CollegeofCivilEngineeringandArchitecture,GuizhouUniversity,Guiyang550003,Chi na; 2.SchoolofCivilandArchitecturalEngineering.CentralS0u 【hUniversity,Changsha410075.China) Abstract:Theformulaofsquarerootoftimemethodsplayimportanteffectinengineeringsinc eTerzaghigavetherelationformula betweendegreeofconsolidationandtimefactor.Howeverthetheoreticalprovingisn'treport edinthejournalssincethen.The theoreticalprovingofsquarerootoftimemethodsisgiven;andcomputedresultshowsthatthe conclusionisfitwellwithseries formula. Keywords:degreeofconsolidation;squarerootoftimemethods;errorfunction;prototype;ti mefactor 1前言 自Terzaghi的一维固结理论提出以来,一直是 岩土工程中应用范围最广的理论之一,但是由于固 结理论方程的复杂性,对于其固结度的解,人们进 行了简化求解.通过对固结度范围的分解,当固结 度小于等于52.6%时,其固结度与时间因数的关系 曲线接近于抛物线形状,可采用抛物线方程进行模 拟,从而得到了固结度的平方根法计算公式…,如 图1中AB段所示: = (1) 其中毒eXp(一手) 式中:兀为时间因数;为固结度,当固结度大于 52.6%,采用一项级数法. 平方根法公式可以精确地得到固结度与时间 因数之间的曲线关系,该公式简单明了,并且可以 手算求得计算结果,但近几十年来对于该公式的理 论证明还一直未见有报导.该公式一直被认为是一 个经验公式,因此,该公式的理论证明,将会给予 平方根法计算公式一个较强的补充,使其在理论上 更加完善. \ 姆 困 时间因索7' 图1时间因数与固结度关系图 Fig.1Timefactor-consolidationcurve 04—14 收稿日期:2006— 基金项目:贵州省优秀科技教育人才省长专项基金.黔科教办[2007]03号;中南大学 博士后研究经费资助项目. 作者简介:包太,男,1972年生,博士后,副教授,主要从事岩土工程方面的研究.E— mail:baotai@21cn.coin 第4期包太等:固结度平方根法计算公式的理论证明917 2平方根法计算公式的理论推导 根据太沙基的固结理论方程,引: 0u :c b2u(3) v 式中cv为固结系数,Cv:,其中为体积压 lrL 缩系数,mv=a/(1一已),a为压缩系数,e为孔隙 比,K为渗透系数,为水容重;U为孔隙水压力. 固结方程的计算公式(3)的边界条件及初始条 件分别为 u(z,)It=0U0(0<Z<(4) u(z,)l:0=0(t>0)(5) I:o(t>o)(6) 式中:H为压缩层厚度;其它符号与前相同.根据 拉氏变换原理,p=』oe-~tudt,则对式(3),(4), (5),(6)进行拉氏变换,有 -- U0~Cv(7) l=0(8) p(0,)=0(9) p(H,)=0(10) 公式(7)的通解为 p(z.):.u--~-o+CzesjT~T+cle—z?瓦 式中c,,为参数S的一个函数. 又由于其满足公式(8)的条件,则有 把式(14)和(15)代入式(11),则有: p(z.S,=..cosh(H—z)?——一———————————————————====== 一 sscoshHx/s/c 假设=,则有 (16) cosh(H——z)q coshnq e—H(e一+e一H一i=i再 [e一明+e一H一]?(一1)e一= 0 ?(一1)咖+e咖)(17) 根据误差函数的定义及拉氏逆变换性质: ( 0 出8 ,,7c erfc()=1一erf(x)(19) e一,=e(丽a St ))(20) Z,/ 则有 S _(2一咖e[ 2Ct ])(21) / S _(2—2球[ 2Ct ])(22) /.. 同时又因为误差函数的性质: erfc(0)=1(23) 把公式(21),(22),(23)和公式(16)联立, 则可以解得孔隙水压力的误差函数表达式: ?( z,f):.一.(一1)n. )C一CH瓜=Q12) 同时,公式(11)也满足公式(9),(10)的 条件,则有 u~ +C2+C1=0(13) 式(12)和式(13)联立,则可以解得: G:一一(14) Se一?.v+en?.v = Se-H,/eH4s|cLs|c, 式中t为固结时间.根据固结度定义: (f):(25) 0 式中:u(t)为任意时刻t时的固结度;为固结过 程中压缩层的平均孔隙水压力. 对于整个压缩层来说,其平均孔隙水压力为 一 = j.H(z,t)dzUUtH0(26)=——I(Z,ZOJ 把式(26)代入式(25)中求积,并化简,则 有] uo)=?(一1){A+B)(27) 918岩土力学2008笠 式(27)即为固结度的误差函数的表达式,其 中: 2船c考川埘c+ e 鲁一 e 一 兀兀zo c咖矿c一 e 一 +e 一 兀兀二了 当公式(27)只取一项时,则公式变为 一+e咖c击1一e兀,/,,兀 公式(30)即为太沙基平方根法计算公式的原 型公式. 3公式的验证 根据文献[2],固结度与时间因数一般均采用级 数计算公式: -1一exp(rv)}(31)nU…f… m=(2*n+1)~z/2,n=0,1,2,…I 式中符号与前相同. 为了验证本文所得到的固结度计算公式(27) 的正确性,特对本文所得公式与固结度的级数计算 公式和平方根法公式计算结果进行了对比分析,其 结果如表1所示: 表1不同计算方法的固结度对比分析(精度:10) Table1Thecomparisonofdifferentcalculatingmethods 从表1可以看出,在平方根法计算公式的适用 范围内,本文所得到的公式(27)与平方根法计算 公式相差很小,因此,如果把公式(30)中右侧后 两项(erfc({)一e一)作为误差项,则平方 ?2?兀 根法公式计算结果与本文所得平主根法计算公式原 型公式(式30)的对比分析如表2所示,从中可以 看出,本文所得到的公式(30)即为太沙基平方根 法计算公式的原型公式. 表2固结度计算对比(精度:10) Table2Comparisonofdegreesofcons~idafionwjtb differentformalas 4结论 本文采用误差函数,在理论上对太沙基平方 根法计算公式进行了论证,得到了如下结论: (1)本文采用误差函数,通过拉氏变换,在 理论上求出了固结度平方根法计算公式的原型,并 进行了验证,结果吻合良好. (2)本文所得到的以误差函数求解固结度的 计算公式,在时间因数较小时,可在较少的级数项 时就达到指定的精度,具有较高的效率. 参考文献 [1]K.太沙基,理论土力学[M].徐志英译.北京:地质出版 社,1960. [2]钱家欢,殷宗泽.土工原理与计算[第二版][M].北京: 水利电力出版社,1994. [3]BRAJAM.DAS.PrinciplesofFoundationEngineering (thirdedition)[M].Is.1.]:Pwspublishingcompany,1995 [4]RUELVCHURCHILL.ModemOperationalMath— ematicsinEngineering[M].Is.1.]:Mcgaw—hillbook company,Inc,1944. [5]南京工学院数学教研组编.工程数学.积分变换第三 版)[M]北京:高等教育出版社,1997 [6]包太,刘新荣,朱凡,等.固结过程中孔隙压力计算中 的吉布斯(Gibbs)现象及其消除[J]_水文地质工程地质, 2006,33(1),23--26. BAOTai,LIUXin—rong,ZHUFan,eta1.Thegibbs phenomenonanditsresolutionduringporepressure calculatingintheconsolidationprocess[J]. Hydrogeology&EngineeringGeology.2006,33(1):23 — 26. 【7]包太.岩体渗流的理论模型及其渗流参数确定【博士学 位论文D].重庆:重庆大学,2005.