光的干涉和衍射
一、实验目的
? 学习用用模拟实验方法探究光的干涉和衍射问题.
进一步熟悉MATLAB编程. ?
二、实验内容和
要求
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1. 双缝干涉模拟实验
杨氏双缝干涉实验是利用分波前法获得相干光束的典型例子. 如图2.24所示,单色光通过两个窄缝s,s射向屏幕,相当于位置不同的两个同频率同相位光源向屏幕照射12
的叠合,由于到达屏幕各点的距离(光程)不同引起相位差,叠合的结果是在有的点加强,在有的点抵消,造成干涉现象.
Y
P r 1 r 2 S 1
S a OS 2O
D
图2.24 双缝干涉示意图
考虑两个相干光源到屏幕上任意点P的距离差为
第二章 数理探究试验 135
a22rDy,,,()12
a22rDy,,,() (2.19) 22
,,,rrr21
引起的相位差为
,r,,2π ,
设两束相干光在屏幕上P点产生的幅度相同,均为A,则夹角为φ的两个矢量A00
的合成矢量的幅度为
A=2A cos(φ/2) 0
光强B正比于振幅的平方,故P点光强为
2B=4Bcos(φ/2) (2.20) 0
运行sy211.m程序得到干涉条纹如图2.27所示.
clear all %sy211.m
lam=500e-9; %输入波长
a=2e-3; D=1;
ym=5*lam*D/a; xs=ym; %设定光屏的范围
n=101;ys=linspace(-ym,ym,n); % 把光屏的y方向分成101点
for i=1:n
r1=sqrt((ys(i)-a/2).^2+D^2);
r2=sqrt((ys(i)+a/2).^2+D^2);
phi=2*pi*(r2-r1)/lam;
B(i,:)=4*cos(phi/2).^2;
end
N=255; % 确定用的灰度等级为255级
Br=(B/4.0)*N; %使最大光强对应于最大灰度级(白色)
subplot(1,2,1)
image(xs,ys,Br); %画干涉条纹
colormap(gray(N));
subplot(1,2,2)
plot(B,ys) %画出光强变化曲线 图2.25中左图是光屏上的干涉条纹,右图是光屏上沿y轴方向光强的变化曲线. 从
图中也不难看出,干涉条纹是以点o所对应的水平线为对称,沿上下两侧交替,等距离
,4排列,相邻亮条纹中心间距为2.5×10m.
基于MATLAB的数学实验 136
-3-3x 10x 10-3-31.5-1.5 x10x10 1.5 -1.5
1-11 -1
-0.50.5-0.5 0.5
000 0
0.5-0.50.5 -0.5
1-11 -1
1.5-1.5-0.4-0.200.20.401234-1.5 1.5 -0.4 0.2 0.4 -0.2 0 1 2 3 4 0 图2.25 单色光的干涉条纹
这与理论推导和实验结果基本一致.
下面我们从理论上加以推导,由上面的式(2.19)可得
22 rrrrrry,,,,,()()2d212121
考虑到a,y很小,(r+r)=2D,所以 12
Drry,, 21a
这样就得到点P处于亮条纹中心的条件为
D,ykk,,,,2012,,,,? (2.21) a2
D1,,94,,,,,因此,亮条纹是等间距的,相邻条纹间距为500102.510m. a0.002
问题2.39:推导出点P处于暗条纹中心的条件并与模拟结果相比较~看是否一致,
考虑到纯粹的单色光不易获得,通常都有一定的光谱宽度,这种光的非单色性对光的干涉会产生何种效应,下面我们用MATLAB计算并仿真这一问题.
非单色光的波长不是常数,必须对不同波长的光分别处理再叠加起来. 我们假定光源的光谱宽度为中心波长的?10%,并且在该区域均匀分布. 近似取11根谱线,相位差的计算
表
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达式求出的将是不同谱线的11个不同相位. 计算光强时应把这11根谱线产生的光强叠加并取平均值,即
第二章 数理探究试验 137
,r,,2πk,k
,2k4cos()112BB,,011k1,
将程序sy211.m中的9,10两句换成以下4句,由此构成的程序就可仿真非单色光的干涉问题.
N1=11;dL=linspace(-0.1,0.1,N1); %设光谱相对宽度?10%,
lam1=lam*(1+dL'); %分11根谱线,波长为一个数组
Phi1=2*pi*(r2-r1)./ lam1; %从距离差计算各波长的相位差
B(i, :)=sum(4*cos(Phi1/2).^2)/N1; %叠加各波长并影响计算光强
运行修改后的程序得到的干涉条纹如图2.26所示. 可以看出,光的非单色性导致干涉现象的减弱,光谱很宽的光将不能形成干涉.
-3-3x 10x 101.5-1.5
1-1
-0.50.5
00
0.5-0.5
1-1
1.5-1.5-0.4-0.200.20.401234
图2.26 非单色光的干涉条纹
2. 单缝衍射的模拟实验
一束单色平行光通过宽度可调的狭缝,射到其后的光屏上. 当缝宽足够小时,光屏上形成一系列亮暗相间的条纹,这是由于从同一个波前上发出的子波产生干涉的结果. 当光源到衍射屏的距离和光屏到衍射屏的距离都是无穷大时,即满足远场条件时,我们称这种衍射为夫琅禾费衍射. 所以夫琅禾费衍射中入射光和衍射光都是平行光. 为了模拟单缝衍射现象,我们把单缝看成一排等间隔光源,共NP个光源分布在A,B区间内,离A点间距为yp,则屏幕上任一点S处的光强为NP个光源照射结果的合成.
,,0,如图2.27所示,子波射线与入射方向的夹角称为衍射角,时,子波射线通过透镜后,必汇聚到O点,这个亮条纹对应的光强称为主极大. NP个光源在其他方向的
基于MATLAB的数学实验 138
,,ypsin,射线到达S点的光程差,应等于它们到达平面AC的光程差,即,其中
yssin,, D
ys为S点的纵坐标,则与A点光源位相差为
2π2πyP,,,,ys D,,
Y
s
A
φ
φO
C
B
图2.27 单缝衍射的模拟实验
设单缝上NP个光源的振幅都为1,在x,y轴上的分量各为cossin,,,,合振幅的
22,,,COSaCOSa平方为:. 又光强正比于振幅的平方,所以相对于O点主极大光强也为,,,,
I22,,,,(cos)(sin) ,,I0
程序sy212.m模拟了单缝衍射现象,这里取波长λ=500nm,缝宽a=1mm,透镜焦
距D=1m,运行结果如图2.28所示.
clear all %sy212.m
lam=500e-9;a=1e-3;D=1;-3-3 x 10x 101.5-1.5ymax=3*lam*D/a; %屏幕范围(沿y向)
Ny=51; %屏幕上的点数(沿y向)1-1
ys=linspace(-ymax,ymax,Ny);
0.5-0.5NP=51;
yP=linspace(0,a,NP); %把单缝分成NP个光源00
for i=1:Ny %对屏幕上y向各点作循环
0.5-0.5SinPhi=ys(i)/D;
alpha=2*pi*yP*SinPhi/lam;1-1
1.5-1.5-0.4-0.200.20.400.20.40.60.81
图2.28 单缝衍射条纹
第二章 数理探究试验 139
SumCos=sum(cos(alpha));
SumSin=sum(sin(alpha));
B(i,:)=(SumCos^2+SumSin^2)/NP^2;
end
N=255; % 确定用的灰度等级为255级
%使最大光强对应于最大灰度级(白色)Br=B/max(B)*N;
subplot(1,2,1)
%画衍射条纹,用灰度级颜色图
image(ymax,ys,Br);
colormap(gray(N));
subplot(1,2,2)
%画屏幕上光强曲线
plot(B,ys,'*',B,ys);grid;
分析图2.28中的衍射条纹,我们可以看出所有亮暗条纹都平行于单缝,O点光强为
最大,这都和理论推导结果相一致.
问题2.40: 从理论上讲~中央亮条纹的半角宽和第一条暗条纹的衍射角都应等于λ
/a~各次极大角宽都等于中央亮条纹的半角宽~图2.28模拟的衍射条纹符合这个结论吗,
3. 光栅衍射的模拟实验
有大量等宽度、等间距的平行狭缝组成的光学系统称为衍射光栅. 单缝宽度a和刻
痕宽度b之和称为光栅常数d,d=a+b. 光栅衍射条纹是单缝衍射和缝间干涉的共同结果.
设光栅有N条狭缝,透镜焦距为D,理论分析可以得到,光屏上P点的夫琅禾费衍
射光强I/I分布为 P0
INsinsin,,22P ,()()Isin,,0
式中
y,,ads,,,sinsinsin,, ,,,,,D,,
运行程序sy213.m得到衍射条纹如图2.29所示.
clear all %sy213.m
lam=632.8e-9; N=2;
a=2e-4; D=5;d=5*a;
ym=1.89*lam*D/a;xs=ym; %设定光屏的范围
n=1001;ys=linspace(-ym,ym,n); % y方向分成1001点
for i=1:n
Sinphi=ys(i)/D;
alpha=pi*a*Sinphi/lam;
beta=pi*d*Sinphi/lam;
B(i, :)=(sin(alpha)./alpha).^2.*(sin(N*beta)./sin(beta)).^2 ;
基于MATLAB的数学实验 140
B1=B/max(B); %将最大光强设为1 end
NC=255;
Br=B/max(B)*NC;
subplot(1,2,1)
image(xs,ys,Br); %画衍射条纹
colormap(gray(NC)) 0.03subplot(1,2,2)
plot(B1,ys) %画出沿y向的相对光强变化曲线 -0.025
问题2.41:程序sy213.m中d=5a~观察图2.29衍射条纹~看有无缺级现象~为什
-0.020.02么,改变sy213.m中的波长、缝宽、光栅常数值~看衍射条纹有何变化,试加以解释.
-0.015
-0.010.01
-0.005
00
0.005
0.01-0.010.015
0.02-0.020.025
-0.03-0.4-0.200.20.400.20.40.60.81 图2.29 光栅衍射条纹