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[最新]第十章多元函数积分学ⅰ[最新]第十章多元函数积分学ⅰ 第十章 多元函数积分学? 一元函数积分学中,我们已经建立了定积分理论,本章将把这一理论推广到多元函数,建立起多元函数积分学的理论,并把这一类统一地描述为黎曼(Riemann)积分. 第一节 二重积分 一、二重积分的概念 下面我们通过计算曲顶柱体的体积和平面薄片的质量,引出二重积分的定义. 1.曲顶柱体的体积 设z=f(x,y)是定义在有界闭区域D上的非负(即f(x,y)?0)连续函数,它在直角坐柱系中的图形是空间曲面S,怎样求以曲面S为顶,以闭区域D为底,其侧面是一柱面(它的...

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[最新]第十章多元函数积分学ⅰ 第十章 多元函数积分学? 一元函数积分学中,我们已经建立了定积分理论,本章将把这一理论推广到多元函数,建立起多元函数积分学的理论,并把这一类统一地描述为黎曼(Riemann)积分. 第一节 二重积分 一、二重积分的概念 下面我们通过计算曲顶柱体的体积和平面薄片的质量,引出二重积分的定义. 1.曲顶柱体的体积 设z=f(x,y)是定义在有界闭区域D上的非负(即f(x,y)?0)连续函数,它在直角坐柱系中的图形是空间曲面S,怎样求以曲面S为顶,以闭区域D为底,其侧面是一柱面(它的准线是闭区域D的边界L,母线平行于z轴)的曲顶柱体的体积呢(图10-1), 图10-1 分析这个问题,我们看到它与求曲边梯形的面积问题是类似的.可以用与定积分类似的方法(即分割、近似代替、求和、取极限的方法)来解决它(图10-2). 图10-2 (1)分割闭区域D为n个小闭区域 Δσ,Δσ,…,Δσ, 12n 同时也用Δσi表示第i个小闭区域的面积,相应地此曲顶柱体被分为n个小曲顶柱体. (2)在每个小闭区域上任取一点 (ξ,η),(ξ,η),…,(ξ,η), 1122nn 对第i个小曲顶柱体的体积,用高为f(ξ,η)而底为Δσ的平顶柱体的体积来近似代iii替. (3)这n个平顶柱体的体积之和 n f(,),,,,V=, n,iii,1i 就是曲顶柱体体积的近似值. (4)用λ=maxd(Δσ)表示n个小闭区域Δσ的直径的最大值(一个闭区域的直径是指ii 闭区域上任意两点间距离的最大值).当λ?0(可理解为Δσ收缩为一点)时,上述和式的i极限,就是曲顶柱体的体积: n f(,),,,,V=. lim,iii,,0,1i 2.平面薄片的质量 设薄片在xOy平面占有平面闭区域D,它在点(x,y)处的面密度是ρ=ρ(x,y).设ρ (x,y)是连续的,求薄片的质量(图10,3). 图10-3 先分割闭区域D为n个小闭区域 Δσ,Δσ,…,Δσ, 12n 在每个小闭区域上任取一点 (ξ,η),(ξ,η),…,(ξ,η) 1122nn 近似地,以点(ξ,η)处的面密度ρ(ξ,η)代替小闭区域Δσ上各点处的面密度,得到iiiii第i块小薄片的质量的近似值ρ(ξ,η)Δσ,于是整个薄片质量的近似值是iii n ,,,,(,),M=, n,iii,1i 用λ=maxd(Δσ)表示n个小闭区域Δσ的直径的最大值,当D无限细分,即当λ?0时,ii M的极限就是薄片的质量M,即 n n ,,,,(,),M=. lim,iii,,0,1i 以上两个具体问题,虽然背景不同,但所求量都归结为同一形式的和的极限.抽象出来 就得到下述二重积分的定义. 定义1 设D是xOy平面上的有界闭区域,二元函数z=f(x,y)在D上有界.将D分 为n个小区域 Δσ,Δσ,…,Δσ, 12n 同时用Δσ表示该小区域的面积,记Δσ的直径为d(Δσ),并令λ=d(Δσ).maxiiii1,,in 在Δσ上任取一点(ξ,η),(i=1,2,…,n),作乘积 iii f(ξ,η)Δσ, iii 把这些乘积加起来,得和式 n f(,),,,,S= . n,iii,1i (,),,若λ?0时,S的极限存在(它不依赖于D的分法及点的取法),则称这个极限值为函nii 数z=f(x,y)在D上的二重积分,记作,即 fxy(,)d,,,D n f(,),,,,=, (10-1-1)limfxy(,)d,,iii,,D,,0,1i 其中D叫做积分区域,f(x,y)叫做被积函数,dσ叫做面积元素,f(x,y)dσ叫做被积表 n f(,),,,,达式,x与y叫做积分变量,叫做积分和. ,iii,1i 在直角坐标系中,我们常用平行于x轴和y轴的直线(y=常数和x=常数)把区域D分 割成小矩形,它的边长是Δx和Δy,从而Δσ=Δx?Δy,因此在直角坐标系中的面积元素可写 ,成d=dx?dy,二重积分也可记作 n f(,),,,,=. limfxyxy(,)dd,iii,,D,,0,1i 有了二重积分的定义,前面的体积和质量都可以用二重积分来表示.曲顶柱体的体积V是函数z=f(x,y)在区域D上的二重积分 V=; fxy(,)d,,,D 薄片的质量M是面密度ρ=ρ(x,y)在区域D上的二重积分 M=,,(,)dxy,,D 因为总可以把被积函数z=f(x,y)看作空间的一张曲面,所以当f(x,y)为正时,二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积;当f(x,y)为负时,柱体就在xOy平面下方,二重积分就是曲顶柱体体积的负值.如果f(x,y)在某部分区域上是正的,而在其余的部分区域上是负的,那么f(x,y)在D上的二重积分就等于这些部分区域上柱体体积的代数和. 如果f(x,y)在区域D上的二重积分存在(即和式的极限(10-1-1)存在),则称f(x,y)在D上可积.什么样的函数是可积的呢,与一元函数定积分的情形一样,我们只叙述有关结论,而不作 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 . 如果f(x,y)是闭区域D上连续,或分块连续的函数,则f(x,y)在D上可积. 我们总假定z=f(x,y)在闭区域D上连续,所以f(x,y)在D上的二重积分都是存在的,以后就不再一一加以说明. 二、二重积分的性质 设二元函数f(x,y),g(x,y)在闭区域D上连续,于是这些函数的二重积分存在.利用二重积分的定义,可以证明它的若干基本性质.下面列举这些性质,我们只证其中的几个,其余的请读者自己去证明. 性质1 常数因子可提到积分号外面,即: =k , kfxy(,)d,fxy(,)d,,,,,DD 其中k是常数. 性质2 函数的代数和的积分等于各函数的积分的代数和,即: =? fx,ygx,y()()d,,fxy(,)d,gxy(,)d,,,,,,,,,DDD 性质3 设闭区域D由D、D组成,且D、D除边界点外无公共点(见图10-4),则1212 f(x,y)在D上的二重积分等于在D及D上二重积分的和,即 12 fxy(,)d,fxy(,)d, =+. (10-1-2)fxy(,)d,,,,,,,DDD12 图10-4 证 将D,D任意分成许多小闭区域,这样D也被分成了许多小闭区域:12 Δσ,Δσ,…,Δσ 12n 如以Δσ表示包含在D中的小闭区域,Δσ表示包含在D中的小闭区域,则i11i22 nnn12 f(,),,,,=f(,),,,,=f(,),,,,, ,,,111222iiiiiiiii,1,,11iii 其中n+n=n.令λ=maxd(Δσ)?0,在等式两边取极限就得到(10-1-2)式.12i 这个性质表示二重积分对积分区域具有可加性. 性质4 设在闭区域D上f(x,y)=1,σ为D的面积,则 ,== 1d,d,,,,,DD 从几何意义上来看这是很明显的.因为高为1的平顶柱体的体积在数值上就等于柱体的底面积. 性质5 设在闭区域D上有f(x,y)?g(x,y),则 ?。 fxy(,)d,gxy(,)d,,,,,DD fxy(,)d,性质6?。 fxy(,)d,,,,,DD 证 显然在D上有 ,,,fxyfxyfxy(,)(,)(,)。 由性质5得 ??, ,fxy(,)d,fxy(,)d,fxy(,)d,,,,,,,DDD 于是得到 fxy(,)d,?。 fxy(,)d,,,,,DD 这就是说,函数二重积分的绝对值必小于(或等于)该函数绝对值的二重积分. 性质7 设函数f(x,y)在闭区域D上连续,σ是D的面积,则在D上至少存在一点(ξ,η)使得下式成立 =f(ξ,η)?σ fxy(,)d,,,D 这一性质称为二重积分的中值定理. 证 因f(x,y)在有界闭区域D上连续,根据有界闭区域上连续函数取到最大值、最小值定理,在D上必存在一点(x,y)使(f(x,y)等于最大值M,又存在一点(x,11112y)使f(x,y)等于最小值m,那末对于D上所有点(x,y),有 222 m=f(x,y)?f(x,y)?f(x,y)=M( 2211 由性质1,5可得 m??M( d,fxy(,)d,d,,,,,,,DDD 再由性质4得 ,,m??M, fxy(,)d,,,D 或 1m??M( fxy(,)d,,,D, 根据闭区域上连续函数的介值定理知,D上必存在一点(ξ,η),使得 1=f(ξ,η), fxy(,)d,,,D, 即 =f(ξ,η)σ,(ξ,η)?D fxy(,)d,,,D 证毕. 二重积分中值定理的几何意义可叙述如下: 当S?z=f(x,y)为空间一连续曲面时,对以S为顶的曲顶柱体,必定存在一个以D为底,以D内某点(ξ,η)的函数值f(ξ,η)为高的平顶柱体,它的体积f(ξ,η)?σ就等于这个曲顶柱体的体积. 三、二重积分的计算 前面我们已经建立了二重积分的概念与性质,本节将根据二重积分的几何意义来说明二重积分的计算方法.把计算二重积分的问题,化为接连计算两个定积分的问题. 下面我们考虑利用直角坐标系计算二重积分的问题. 按照二重积分的几何意义,当被积函数f(x,y)?0时,二重积分的值fxy(,)d,,,D等于以D为底,以曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积.下面我们用“切片法”来求曲顶柱体的体积V. 设积分区域D由两条平行直线x=a,x=b及两条连续曲线y=φ(x),y=φ(x)(在,a,12b,上φ(x)?φ(x))所围成,这时D可用不等式 12 a?x?b与φ(x)?y?φ(x) 12 来表示(图10-5). 图10-5 用平行于yOz坐标面的平面x=x(a?x?b)去截曲顶柱体,得一截面,它是一个以区间00 ,φ(x),φ(x),为底,以z=f(x,y)为曲边的曲边梯形(图10-6),所以这截面的面10200 积为 图10-6 ,()x20A(x)= fxydy(,)00,()x,10 一般地,过区间,a,b,上任一点且平行于yOz坐标面的平面,与曲顶柱体相交所得截面的面积为 ,()x2A(x)=, fxydy(,),()x,1 其中y是积分变量,x在积分时保持不变.因此在区间,a,b,上,A(x)是x的函数.现在用平行于yOz坐标面的平面,把曲顶柱体切割成许多薄片.考虑位于x与x+dx之间的薄片,这个薄片的厚度为dx,于是薄片的体积近似为 dV=A(x)dx. 所以曲顶柱体的体积为 bbx,()2,,V=Axx()d=, fxyyx(,)dd,,,a,,ax(),1,, 即得 bx,()2,,=, fxyyx(,)ddfxy(,)d,,,,,D,,ax(),1,, 或记作 bx,()2=d(,)dxfxyy fxy(,)d,,,,,ax()D,1 上式右端是一个先对y,后对x积分的累次积分.这里应当注意的是:做第一次积分时,因为是在求x处的截面积A(x),所以x是a,b之间任何一个固定的值,y是积分变量;做第二次积分时,是沿着x轴累加这些薄片的体积A(x)?dx,所以x是积分变量. 在上面的讨论中,开始假定了f(x,y)?0,而事实上,没有这个条件,上面的公式仍然正确.这里把此结论叙述如下: 若z=f(x,y)在闭区域D上连续,D:a?x?b,φ(x)?y?φ(x),则12 bx,()2d(,)dxfxyy = (10-1-3)fxyxy(,)dd,,,,ax()D,1 完全类似地,先对x积分再对y积分就有结论:若z=f(x,y)在闭区域D上连续,D:c?y?d,ψ(y)?x?ψ(y)(图10-7),则有 12 dx,()2 = (10-1-4)d(,)dyfxyxfxyxy(,)dd,,,,cx()D,1 图10-7 当我们把二重积分化成累次积分时,需要先画出积分区域D的图形,按图形找出区域D中点的x,y坐标所满足的不等式,然后再来确定两次定积分的上下限. 图10-8 2例1 计算二重积分,其中D为直线y=x与抛物线y=x所包围的闭区域.xyd,,,D 2解 先画出区域D的图形,再求出y=x与y=x两条曲线的交点,它们是(0,0)及(1,1).区域D(图10-8)可表示为: 20?x?1,x?y?x 因此由公式(10-1-3)得 21x1x,,yxxydyd== xyd,dxx2,,,,,,,20xD0x2,, 11135= ()dxxx,,,0224 y也可以化为先对x,后对y的积分,这时区域D可表为:0?y?1,y?x?.由公式(10-1-4)得 1y=. yyxxddxyd,,,,,D0y 积分后与上面结果相同. 22yxy1d,,,例2 计算二重积分,其中D是由直线y=x,x=-1和y=1所围成,,D 的闭区域. 解 画出积分区域D,易知D:-1?x?1,x?y?1(图10-9),若利用公式(10-1-3)得 图10-9 112222yxy1d,,,=(1d)dyxyyx,, ,,,,D,x1 131,,1222xyx,,,1d=,,,,,,13,,x 111233==,,xx1d,,(1)dxx,,,,,1033 1= 2 若利用公式(10-1-4),就有 1y2222yxy1d,,,yxyxy(1d)d,,=, ,,,,D,,11 也可得同样的结果. 2xd,例3 计算二重积分,其中D是直线y=2,y=x和双曲线xy=1所围之闭区域.2,,Dy 11,,,2,(1,1)解 求得三线的三个交点分别是及(2,2).如果先对y积分,那么当?x?1,,22,, 1时,y的下限是双曲线y=,而当1?x?2时,y的下限是直线y=x,因此需要用直线x=1把x 区域D分为D和D两部分(图10-10). 12 图10-10 11D: ?x?1,?y?2; 12x D: 1?x?2, x?y?2. 2 于是 222222212xxxxxd,=d,+d,=+ddxyddxy1122,,,,2,,,,2,,2DDDx112yyyyyx2 222212,,,,xx,dx,dx=+ 1,,,,,,1y1y2,,,,xx 2212,,,,xx3=+ xx,dxx,d1,,,,,,1222,,,, 124323,,,,xxxx,,=+ ,,,,14626,,,,12 8127== 19264 1如果先对x积分,那么D?1?y?2,?x?y,于是 y y2322y2,,xxxdd,y== ddyx1,,22,,,2,,1D113yyy,,yy 222,,,,y1y1,==,dy,,4,,,51612y33y,,,,1 27= 64 由此可见,对于这种区域D,如果先对y积分,就需要把区域D分成几个区域来计算. 这比先对x积分繁琐多了.所以,把重积分化为累次积分时,需要根据区域D和被积函数的 特点,选择适当的次序进行积分. 例4 设f(x,y)连续,求证 bbbx= d(,)dxfxyyd(,)dxfxyx,,,,aaay 证 按照公式(10-1-3),上式左端可表为 bx=, d(,)dxfxyyfxy(,)d,,,,,aaD 其中D:a?x?b,a?y?x(图10-11)区域D也可表为:a?y?b,y?x?b,于是改变积分次序,由公式(10-1-4)可得 bb= d(,)dyfxyxfxy(,)d,,,,,Day 由此可得所要证明的等式. 图10-11 例5 求两个半径相等其轴线垂直相交的圆柱面所围成的立体的体积. 解 设圆柱面的半径为R,且这两个圆柱面的方程分别为: 222x+y=R, 222x+z=R 利用所求立体关于坐标面的对称性,只需求出它在第一卦限部分的体积,然后乘以8就行了. 所求立体在第一卦限部分,可以看成是一个曲顶柱体,它的底是xOy平面上四分之一 2222圆DRx,Rx,:0?x?R,0?y?(图10-12),它的顶是z= ,于是所求立体的体积1 为 图10-12 22RRx,2222Rx,d,V=8=8 ddxRxy,,,,,D001 22Rx,RR2222,,Rxyx,dRxx,d=8=8 ,,,,00,,0 163=R. 3 四、二重积分的换元法 与定积分一样,二重积分也可用换元法求其值,但比定积分复杂得多,我们知道,对定 b积分作变量替换x=φ(t)时,要把f(x)变成f(φ(t)),dx变成φ′(t)dt,积分fxx()d,a ,b也要变成对应t的值.同样,对二重积分作变量替换限afxy(,)d,,,D xxuv,(,),, ,yyuv,(,), 时,既要把f(x,y)变成f(x(u,v),y(u,v)),还要把xOy面上的积分区域D变成uOv *面上的区域D,并把D中的面积元素dσ变成D中的面积元素dσ. uvuv 我们先来考虑面积元素的变化情况. *设函数组x=x(u,v),y=y(u,v)为单值函数,在D上具有一阶连续偏导数,且其uv雅可比行列式 ,(,)xyJ=?0, ,(,)uv 则由反函数存在定理,一定存在着D上的单值连续反函数 u=u(x,y),v=v(x,y) 这时D与D之间建立了一一对应关系,uOv面上平行于坐标轴的直线在映射之下成为xOyuv 面上的曲线u(x,y)=u,v(x,y)=v.我们用uOv面上平行于坐标轴的直线00 u=u,v=v(i=1,…,n;j=1,…,m) ij 将区域D分割成若干个小矩形,则映射将uOv面上的直线网变成xOy面上的曲线网(图uv 10-13). a b 图10-13 *在D中任取一个典型的小区域ΔD(面积记为Δσ)及其在D中对应的小区域ΔD(面uvuv 积记为Δσ),如图10-14所示. a b 图10-14 设ΔD的四条边界线的交点为P(x,y),P(x+Δx,y+Δy),P(x+Δx,y+Δy)1002010130202 PP和P(x+Δx,y+Δy).当Δu,Δv很小时,Δx,Δy(i=1,2,3)也很小,ΔD的面积可用40303ii12PP与构成的平行四边形面积近似.即 14 PPPPΔσ?,×,. 1214 而 PP=(Δx)i+(Δy)j 1112 =,x(u+Δu,v)-x(u,v),i+,y(u+Δu,v)-y(u,v,j00000000 ?,x′(u,v)Δu,i+,y′(u,v)Δu,j u00u00 同理 PP?,x′(u,v)Δv,i+,y′(u,v)Δv,j, v00v0014 从而得 ,,xy,,uu,,uuPPPPΔσ=,×,=的绝对值 1214,,xy,,vv,,vv ,(,)xy,(,)xy*==Δσ. ,,uv,(,)uv,(,)uv 因此,二重积分作变量替换x=x(u,v),y=y(u,v)后,面积元素dσ与dσ*的关系为 ,(,)xy*dσ=dσ ,(,)uv 或 ,(,)xydxdy=dudv. ,(,)uv 由此得如下结论: 若f(x,y)在xOy平面上的闭区域D上连续,变换T:x=x(u,v),y=y(u,v),将uOv平面上的闭区域D变成xOy平面上的D,且满足: uv (1) x(u,v),y(u,v)在D上具有一阶连续偏导数, uv (2) 在D上雅可比式 uv ,(,)xyJ=?0; ,(,)uv (3)变换T:D?D是一对一的, uv 则有 fxuvyuvJuv(,),(,)dd = fxyxy(,)dd,,,,,,DDuv (10-1-5) 下面我们讨论二重积分计算中最常用的一种换元法——极坐标变换,得出在极坐标系下二重积分计算法. 作变换x=rcosθ,y=rsinθ,则 cossin,,,r,(,)xy==r,0, ,(,)r,sincosr,, 从而 =. fxyxy(,)ddfrrrr(cos,sin)dd,,,,,,,,DD 把极坐标系下的二重积分化成二次积分,一般是先对r后对θ积分.具体有以下几种情况: (1) 极点是区域D的外点,如图10-15a,则D可用不等式 r(θ)?r?r(θ),α?θ?β 12 a b c 图10-15 来表示,即 ,,r()2=d(cos,sin)d,,,frrrr.frrrr(cos,sin)dd,,,,,,,Dr(),,1 (2) 极点是区域D的边界点,如图10-15b,则D可用不等式 0?r?r(θ),α?θ?β 来表示,即 ,,r()= d(cos,sin)d,,,frrrrfrrrr(cos,sin)dd,,,,,,,0D, (3) 极点是区域D的内点,如图10-15c,则D可用不等式 0?r?r(θ),0?θ?2π 来表示,则 2πr(),=d(cos,sin)d,,,frrrrfrrrr(cos,sin)dd,,,,,,,00D 2,例6 计算二重积分,其中D是单位圆在第象限的部分.xyd,,,D π解 采用极坐标系.D可表为0?θ?,0?r?1(图10-16),于是有 2 图10-16 ,12222= xyd,dcossind,,,rrrr,,,,D00 ,11242 == cossindd,,,rr,,0015 22222例7 计算二重积分,其中D是二圆x+y=1和x+y=4之间的环形闭区域.xd,,,D 解 区域D(图10-17):0?θ?2π,1?r?2,所以 22,22,1+cos2,152223dcosd,,rrr===πxd,ddrr,,,,,,,01D0142 图10-17 yx,yx,*eddxy例8 计算二重积分,其中D是由x轴,y轴和直线x+y=2所围成的闭区,,D 域. 解 令u=y-x,v=y+x,则 vu,vu,x=,y=. 22 在此变换下,xOy面上闭区域D变为uOv面上的对应区域D′(图10-18). 雅可比式为 11,,(,)xy122J= = = , ,,(,)uv112 22 则得 yx,u1yx,veddxyeuv,= dd,,,,,DD2 u2v211-1vdedvu==(e-e)dvv,,,0,v022 -1=e-e. a b 图10-18 2222*例9 设D为xOy平面内由以下四条抛物线所围成的区域:x=ay,x=by,y=px,y=qx,其中0,a,b,0,p,q,求D的面积. 22解 由D的构造特点,引入两族抛物线y=ux,x=vy,则由u从p变到q,v从a变到b时,这两族抛物线交织成区域D′(图10-19). 图10-19 ,(,)xy1雅可比行列式为 J== ,(,)uv,(,)uv ,(,)xy 11==, ,23yy2,2xx 22xx,2yy 则所求面积 11S===(b-a)(q-p). ddxyuvdd,,,,,DD33 第二节 三重积分 一、三重积分的概念 二重积分在几何上表示曲顶柱体的体积,三重积分已没有几何意义,但它在物理和力学中同样有着重要的应用. 在引入二重积分概念时,我们曾考虑过平面薄片的质量,类似地,现在我们考虑求空间物体的质量问题.设一物体占有空间区域Ω,在Ω中每一点(x,y,z)处的体密度为ρ(x,y,z),其中ρ(x,y,z)是Ω上的正值连续函数.试求该物体的质量. 先将空间区域Ω任意分割成n个小区域 Δv,Δv,…,Δv 12n (同时也用Δv表示第i个小区域的体积).在每个小区域Δv上任取一点(ξ,η,ζ),由于ρiiiii(x,y,z)是连续函数,当区域Δv充分小时,密度可以近似看成不变的,且等于在点(ξ,iiη,ζ)处的密度,因此每一小块Δv的质量近似等于 iii ρ(ξ,η,ζ)Δv iiii 物体的质量就近似等于 n ,,,,(,,),v, ,iiii,1i 令小区域的个数n无限增加,而且每个小区域Δv无限地收缩为一点,即小区域的最大直径i λ=maxd(Δv)?0时,取极限即得该物体的质量 i n lim(,,),,,,,vM= . ,iiii,,0,1i 仿照二重积分定义可类似给出三重积分定义: 定义1 设Ω是空间的有界闭区域,f(x,y,z)是Ω上的有界函数,任意将Ω分成n个小区域Δv,Δv,…,Δv,同时用Δv表示该小区域的体积,记Δv的直径为d(Δv),12niii并令λ= d(Δv),在Δv上任取一点(ξ,η,ζ),(i=1,2,…,n),作乘积f(ξ,η,maxiiiiiii1,,in nn fv(,,),,,,lim(,,)fv,,,,ζ)Δv,把这些乘积加起来得和式,若极限存在(它ii,,iiiiiiii,,0,1,1ii 不依赖于区域Ω的分法及点(ξ,η,ζ)的取法),则称这个极限值为函数f(x,y,z)在iii 空间区域Ω上的三重积分,记作 , fxyzv(,,)d,,,, n lim(,,)fv,,,,即 =, fxyzv(,,)d,iiii,,,,,0,,1i 其中f(x,y,z)叫做被积函数,Ω叫做积分区域,dv叫做体积元素. 在直角坐标系中,若对区域Ω用平行于三个坐标面的平面来分割,于是把区域分成一些小长方体.和二重积分完全类似,此时三重积分可用符号来表示,即fxyzxyz(,,)ddd,,,, 在直角坐标系中体积元素dv可记为dxdydz. 有了三重积分的定义,物体的质量就可用密度函数ρ(x,y,z)在区域V上的三重积分表示,即 M=, ,(,,)dxyzv,,,v 如果在区域Ω上f(x,y,z)=1,并且Ω的体积记作v,那么由三重积分定义可知 =V. 1dvdv,,,,,,,,, 这就是说,三重积分在数值上等于区域Ω的体积. dv,,,, 三重积分的存在性和基本性质,与二重积分相类似,此处不再重述. 二、三重积分的计算 为简单起见,在直角坐标系下,我们采用微元分析法来给出计算三重积分的公式. 把三重积分想象成占空间区域Ω的物体的质量.设Ω是柱形区域,其fxyzv(,,)d,,,, 上、下分别由连续曲面z=z(x,y),z=z(x,y)所围成,它们在xOy平面上的投影是有界21 闭区域D;Ω的侧面由柱面所围成,其母线平行于z轴,准线是D的边界线.这时,区域Ω可表示为 z(x,y)?z?z(x,y),(x,y)?D 12 先在区域D内点(x,y)处取一面积微元dσ=dxdy,对应地有Ω中的一个小条,再用与xOy面平行的平面去截此小条,得到小薄片(见图10-20).于是以dσ为底,以dz为高的小薄片的质量为 f(x,y,z)dxdydz 把这些小薄片沿z轴方向积分,得小条的质量为 zxy(,)2,,. fxyzzxy(,,)ddd,,,zxy(,),,1 然后,再在区域D上积分,就得到物体的质量 zxy(,)2,, fxyzzxy(,,)ddd,,,,,Dzxy(,),,1 图10-20 也就是说,得到了三重积分的计算公式 zxy(,)2,,= fxyzzxy(,,)dddfxyzv(,,)d,,,,,,,,,Dzxy(,),,1 zxy(,)2=dd(,,)dxyfxyzz. (10-2-1),,,Dzxy(,)1 例1 计算三重积分,其中Ω是三个坐标面与平面x+y+z=1所围成的区域xxyzddd,,,, (图10-21). 图10-21 解 积分区域Ω在xOy平面的投影区域D是由坐标轴与直线x+y=1围成的区域:0?x?1,0?y?1-x,所以 1,,xy111,,,xxy==dddxyxzdddxyxzxxyzddd,,,,,,,,,D0000, 11,x = d(1)dxxxyy,,,,00 21(1),x1xxd == ,0224 2222 计算三重积分,其中Ω:x?0,y?0,z?0,x+y+z?R(图10-22).例2zvd,,,, 图10-22 222解 区域Ω在xOy平面上的投影区域D:x?0,y?0,x+y?R.对于D中任意一点(x, 222y),相应地竖坐标从z=0变到z=.因此,由公式(10-2-1)得 Rxy,, 222Rxy,,1222== dddxyzzzvdRxyxy,,dd,,,,,,,,,,0,DD2 22RRx-1222xRxyy,,d()d= ,,002 22R-x3R,,1y22= R-dxyx,,,,,,023,,0 32R122= Rxx,d,,,03 π1442xRt,sinRttcosd ,03 π4=R. 16 三重积分化为累次积分时,除上面所说的方法外,还可以用先求二重积分再求定积分的方法计算.若积分区域Ω如图10-23所示,它在z轴的投影区间为,A,B,,对于区间内的任意一点z,过z作平行于xOy面的平面,该平面与区域Ω相交为一平面区域,记作D(z).这时三重积分可以化为先对区域D(z)求二重积分,再对z在,A,B,上求定积分,得 B = (10-2-2)dzfxyzxy(,,)ddfx,y,zv()d,,,,,,A,()Dz 图10-23 我们可利用公式(10-2-2)重新计算例2中的积分. 区域Ω在z轴上的投影区间为,0,R,,对于该区间中任意一点z,相应地有一平面区 2222域D(z):x?0,y?0与x+y?R-z与之对应.由公式(10-2-2),得 R =. zvddddzzxy,,,,,,,0()Dz 1,222222求内层积分时,z可以看作常数:并且D(z):x+y?R-z是个圆,其面积为(R-z),44 所以 R1,224=(R-z)dz= R. zzvd,,,,,,4160 2222xyz,,zvd例3 计算三重积分,其中Ω:?1. 222,,,,abc 解 我们利用公式(10-2-2)将三重积分化为累次积分.区域Ω在z轴上的投影区间为,-c, c,,对于区间内任意一点z,相应地有一平面区域D(z): 22xy, 22zz22ab(1)(1),,22cc 2z(1),与之相应,该区域是一椭圆(图10-24),其面积为πab.所以2c 2cc2z22,(1)d,abzzzvdzdzxydd== 2,,,,,,,,,c,ccDz() 43=πabc 15 图10-24 读者若自己用公式(10-2-1)试算一下,可知此积分利用公式(10-2-2)比用公式(10-2-1)计算简便得多. 三、三重积分的换元法 对于三重积分作变量替换: fx,y,zv()d,,,, xxrst,(,,), , yyrst,(,,), ,zzrst,(,,), 1它给出了Orst空间到Oxyz空间的一个映射,若x(r,s,t),y(r,s,t),z(r,s,t)属于C类,且,(,,)xyz*?0,则建立了Orst空间中区域Ω和Oxyz空间中相应区域Ω的一一对应,与二重,(,,)rst 积分换元法类似,我们有 ,(,,)xyzdv=drdsdt. ,(,,)rst 于是,有换元公式 ,(,,)xyz=fx,y,zv()dfxr,s,tyr,s,tzr,s,trst(),(),()ddd.,,*,,,,,,,,,(,,)rst 作为变量替换的实例,我们给出应用最为广泛的两种变换:柱面坐标变换及球面坐标变换. 1. 柱面坐标变换 三重积分在柱面坐标系中的计算法如下. 变换 xr,cos,,, ,yr,sin, ,, ,zz,, 称为柱面坐标变换,空间点M与(r,θ,z)建立了一一对应关系,把(r,θ,z)称为点M的柱面坐标.不难看出,柱面坐标实际是极坐标的推广.这里r,θ为点M在xOy面上的投影P的极坐标.0?r,+?,0?θ?2π,-?,z,+?(图10-25). 图10-25 柱面坐标系的三组坐标面为 (1) r=常数,以z为轴的圆柱面; (2) θ=常数,过z轴的半平面; (3) z=常数,平行于xOy面的平面. cossin0,,,r ,(,,)xyz由于==r,则在柱面坐标变换下,体积元素之间的关系sincos0r,,,(,,)rz,001 式为: dxdydz=rdrdθdz. 于是,柱面坐标变换下三重积分换元公式为: =. (10-2-3)frrzrrz(cos,sin,)ddd,,,fx,y,zxyz()ddd,,,,,,,,, 至于变换为柱面坐标后的三重积分计算,则可化为三次积分来进行.通常把积分区域Ω向xOy面投影得投影区域D,以确定r,θ的取值范围,z的范围确定同直角坐标系情形. 2222zxyxyz,ddd例4 计算三重积分,其中Ω是由锥面z=与平面z=1xy,,,,, 所围成之区域. 解 在柱面坐标系下,积分区域Ω表示为r?z?1,0?r?1,0?θ?2π(图10-26),所以 211,222zxyxyz,dddddd,rzrz= ,,,,,,,r00 11222=2π=π.rrr(1)d,,0152 图10-26 222例5 计算三重积分,其中Ω是由曲线y=2z,x=0绕z轴旋转一xyxyz,ddd,,,,,, 周而成的曲面与两平面z=2,z=8所围之区域. 2=22解 曲线y2z,x=0绕z旋转,所得旋转面方程为x+y=2z. 积分区域Ω向xOy面投影得投影区域D,由于过D中的点作z轴平行线穿过Ω时,与围成Ω的不同曲面相交,因此,需把D分成两个部分D和D(图12-27),则12 8832232=+ dddrrz,dddrrz,xyxyz,ddd,,r,,,,,,,,,D,D2122 2,2422,r33d(8-)d,rr=d6d,rr+,,,,02002 =336π. 图10-27 2. 球面坐标变换 三重积分在球面坐标系中的计算法 变换 xr,sincos,,,, , yr,sinsin,,,, ,zr,cos,, 称为球面坐标变换,空间点M与(r,φ,θ)建立了一一对应关系,把(r,φ,θ)称为M的球面坐标(图10-28),其中 0?r,+?, 0?φ?π, 0?θ?2π. 图10-28 球面坐标系的三组坐标面为: (1)r=常数,以原点为中心的球面; (2)φ=常数,以原点为顶点,z轴为轴,半顶角为φ的圆锥面: (3)θ=常数,过z轴的半平面. 由于球面坐标变换的雅可比行列式为 sincoscoscossinsin,,,,,,rr, ,(,,)xyz= sinsincossinsincosrr,,,,,,,(,,)r,,cossin0,r,, 2=rsinφ, 则在球面坐标变换下,体积元素之间的关系式为: 2dxdydz=rsinφdrdθdφ 于是,球面坐标变换下三重积分的换元公式为 fxyzxyz(,,)ddd,,,, 2=. (10-2-4)frrrr(sincos,sinsin,cos)rsinddd,,,,,,,,,,,,, 222222例6 计算三重积分,其中Ω表示圆锥面x+y=z与球面()dddxyzxyz,,,,,, 222x+y+z=2Rz所围的较大部分立体. π解 在球面坐标变换下,球面方程变形为r=2Rcosφ,锥面为φ=(图10-29).这时积4分区域Ω表示为 π0?θ?2π,0?φ?,0?r?2Rcosφ, 4 图10-29 所以 222 ()dddxyzxyz,,,,,, πR,2π2cos2244==rrrsinddd,,,ddsind,,,rr,,,,,,,,000 π2cosR,2π28554,,rsin()d==πR. ,00515 222222(2)dddyxzxyz,,例7 计算三重积分,其中Ω是由曲面x+y+z=a,,,,, 222222x+y+z=4a,=y所围成的区域. xz, 图10-30 解 积分区域用球面坐标系表示显然容易,但球面坐标变换应为 x=rsinφcosθ, z=rsinφsinθ, y=rcosφ, π2这时dv=rsinφdrdφdθ,积分区域Ω表示为a?r?2a,0?φ?,0?θ?2π(图10-30).所以4 πa2π22224(2)dddyxzxyz,,=dd(2cossin)sind,,,,,rrrr,,,,,,,,a00 1515,,4,ππa=. ,,816,, 值得注意的是,三重积分计算是选择直角坐标还是柱面坐标或球面坐标转化成三次积分,通常要综合考虑积分域和被积函数的特点.一般说来,积分域Ω的边界面中有柱面或圆锥面时,常采用柱面坐标系;有球面或圆锥面时,常采用球面坐标系.另外,与二重积分类似,三重积分也可利用在对称区域上被积函数关于变量成奇偶函数以简化计算. *第三节 广义二重积分 与一元函数的广义积分一样,二重积分也可以推广到无穷区域与无界函数两类广义二重积分,下面对这两类广义二重积分的概念和收敛的判别法则作一简单介绍(证明略去). 1.无界区域的广义二重积分 定义1 设D是一无界区域,f(x,y)是定义在D上的有界函数,任作一有界闭区域 ,,序列D,D,…,D,使DD(n=1,2,…),DD,且当n?+?时D扩张成为12nnnn+1nD.如果不论D如何作法,极限 n lim(,)dfxy, ,,Dn,,,n 均存在,那么称f(x,y)在无界区域D上的广义二重积分收敛,并称此极fxy(,)d,,,D lim(,)dfxy,限值为该广义二重积分的值,即=;否则称此广义二重fxy(,)d,,,,,Dn,,,Dn积分发散. 定理1(收敛判别法) 设f(x,y)在无界区域D上连续,若存在ρ,0,使当0 22ρ=?ρ且(x,y)?D时,有 xy,0 M,f(x,y),?, ,, 其中M与α均为常数,则当α,2时广义二重积分收敛.fxy(,)d,,,D 例1 证明无界区域上的二重积分 22,,xyI= eddxy2,,R 2收敛,并求其值,其中R是全平面. 证 由于对任一常数α,2均有 2,,,lime,=0,1, ,,,, ,从而ρ,0,使当ρ,ρ时有 00 21,,e,, ,, 由定理1可知广义二重积分I收敛. 因此, 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 I的值只需要选取一组可以扩充到全平面的特殊区域序列去计算就行了. 2222Ra={(x,y),x+y?2},当n?+?时,有a?+?,于是现取nnn 2222,,()xy,,()xylimeddxyI= = eddxy2,,2,,Rn,,,Rn 2,a22n,a,,nelimded,,,==π(1,)=π.lim,,00,,,n,,,n 如果我们把扩充至全平面的区域序列选作正方形序列 D={(x,y),,n?x?n,,n?y?n}, n 那么有 2222,,()xy,,()xylimeddxyI== eddxy,,2,,Dn,,,Rn nnn222,,,2yxx =lim(eded)lim(ed)yxx,,,,,,,nnn,,,,,,nn ,,2x2,= (ed).x,,, 由于广义二重积分I存在,其值为π,从而 ,,2x2,=π, (ed)x,,, 或 ,,21,xxed =1. (10-3-1),,,π (10-3-1)式中的广义积分称为概率积分,它在概率统计中占有重要的地位. 2. 无界函数的二重积分 定义2 设f(x,y)在有界闭区域D上除一点P(x,y)外处处连续,且当(x,y)000?(x,y)时,f(x,y)??,作点P的任一d邻域U(P,d),记N=U(P,d)?D.0000d0如果不论U(P,d)如何选取,当d?0,即N缩为点P时,极限 0d0 lim(,)dfxy,,,d,0DN,d 存在,那么称f(x,y)在有界区域D上的二重积分收敛,并称该极限值为fxy(,)d,,,D 此广义二重积分的值,即=;否则,称其发散.lim(,)dfxy,fxy(,)d,,,,,Dd,0DN,d 定理2(收敛判别法) 设f(x,y)在有界闭区域D上除P(x,y)外处处连续,000且当(x,y)?(x,y)时f(x,y)??,若不等式 00 M,f(x,y),? ,, 在D上除点(x,y)外处处成立,其中M与α均为常数,且 00 22, ,,,,,()()xxyy00 则当α,2时广义二重积分收敛. fxy(,)d,,,D 例2 证明广义二重积分 1I=, d,,Dxy, 22收敛,并求其值,其中D={(x,y),x+y 证 由于 222(,x,+,y,)?x+y, 因此在D内除点(0,0)外有 111?=, 22,xy,xy, 由定理2可知广义二重积分I收敛. 作P(0,0)的任一邻域U(P,d),则 00 ,211rrdI==4 lim,limd,d,,,,dd,0d,00xy,,,,rrcossinDUPd,(,)0 ,21d,=4=4ln(+1). limr22d,,dd,00,cossin,, 第四节 重积分的应用 我们利用定积分的元素法解决了许多求总量的问题,这种元素法也可以推广到重积分的应用中,如果所考察的某个量u对于闭区域具有可加性(即:当闭区域D分成许多小闭区域时,所求量u相应地分成许多部分量,且u等于部分量之和),并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域dΩ时,相应的部分量可近似地表示为f(M)dΩ的形式,其中M为dΩ内的某一点,这个f(M)dΩ称为所求量u的元素而记作du,以它为被积表达式,在闭区域D上积分 u=, (10-4-1)fM()d,,D 这就是所求量的积分表达式,显然当区域D为平面闭区域,M为D内点(x,y)时,dΩ=dσ即为面积微元,则(10-4-1)式可表示为 u=. fxy(,)d,,,D 当区域D为空间闭区域,M为D内点(x,y,z)时,dΩ=dv即为体积微元,则(10-4-1)式可表示为 u= fxyzv(,,)d,,,D 下面仅讨论重积分在几何物理上的一些应用. 一、空间曲面的面积 设曲面S的方程为z=f(x,y),曲面S在xOy坐标面上的投影区域为D,f(x,y)在D上具有连续偏导数f(x,y)和f(x,y),我们要计算曲面S的面积A. xy 在D上任取一面积微元dσ,在dσ内任取一点P(x,y),对应曲面S上的点M(x,y,f(x,y))在xOy平面上的投影即点P,点M处曲面S有切平面设为T(图1031),以小区域dσ的边界为准线,作母线平行于z轴的柱面,这柱面在曲面S上截下一小片曲面,其面积记为ΔA,柱面在切平面上截下一小片平面,其面积记为dA,由于dσ的直径很小,切平面T上的那一小片平面的面积dA可近似代替曲面S上相应的那一小片曲面的面积ΔA,即 ΔA?dA 图10-31 设点M处曲面S的法线(指向朝上)与z轴正向的夹角为γ,则根据投影定理有 d,dA= . cos, 1因为 cosγ= , 22,,fxyfxy1(,)(,)xy 22所以 dA= , 1(,)(,)d,,fxyfxy,xy 这就是曲面S的面积元素.以它为被积表达式在闭区域D上积分,得 221(,)(,)d,,fxyfxy,A= xy,,D 或 22,,,,zz,,A=, 1dd,,xy,,,,,,D,,xy,,,, 这就是曲面面积的计算公式. 设曲面方程为x=g(y,z),或y=h(z,x),,则可把曲面投影到yOz面上(或zOx面上), 得投影区域D(或D),类似可得 yzzx 22,,,,xx,,A=, 1dd,,yz,,,,,,Dyz,,yz,,,, 或 22,,yy,,,,1dd,,zxA=. ,,,,,,Dzx,,xz,,,, 例1 求半径为a的球的表面积. 222解 取上半球面方程为z=,则它在xOy面上的投影区域D可表示为axy,, 222x+y?a. ,,zx由 , ,222,xaxy,, ,,zy, ,222,yaxy,, 22,,,,zza,,得 =.1,,,,,,222,,xy,,,,axy,, 因为这函数在闭区域D上无界,不能直接应用曲面面积公式,由广义积分得 aA=. 2ddxy,,222Daxy,, 用极坐标,得 2,ar2A=2a =4πa. dd,r,,2200,ar 122222例2 求旋转抛物面z=(x+y)被圆柱面x+y=R所截下部分的曲面面积S.2 122解 曲面的图形如图10-32所示.曲面的方程为z=(x+y),它在xOy坐标面上的投22222影区域为D;x+y=r?R,即r? 图10-32 ,z,z由 =x,=y, ,y,x 22,,,,zz,,得 S= 1dd,,xy,,,,,,D,,xy,,,, 221dd.,,xyxy= ,,D 用极坐标,则 2,R221dd,rrr,d1d,rrr,S== ,,,,D00 3R,,122222=2π?=.1d(1),,rr,11,,R,,,,,023,, 二、空间几何体的体积 设空间几何体Ω的体积为V,曲面z=f(x,y)为顶,曲面z=f(x,y)为底,顶与底12 在xOy平面上的投影区域为D,如图10-33所示,由二重积分和三重积分的定义,有 V= fxyfxy(,)(,)d,,,,21,,D 或 V= d,V,,,, 其中dσ为D的面积微元,dV为Ω的体积微元.同样可把Ω投影到yOz平面或zOx平面上再应用二重积分的求体积公式. 图10-33 222222例3 求由球面x+y+z=4a与圆柱面x+y=2ax所围成的立体的体积(包含在圆柱体内的部分). 222解 圆柱面标准方程为(x-a)+y=a,所围成的立体在第一卦限中的部分,是一个以 222222半圆域(x-a)+y,a,y?0为底,以曲面z= 为顶的曲顶柱体(图10-34).4axy,, 图10-34 设立体体积为V,则有 22244daxy,,,V=. ,,D 利用极坐标有 ,2cosa,2222244ddarrr,,V== 4d4d,arrr,,,,,D00 322,3=. ,a()323223例4 在一个形状为旋转抛物面z=x+y的容器(图10-35)内,已经盛有8πcm的溶液, 3现又倒进120πcm的溶液,问现在的液面比原来的液面升高多少, 图10-35 22解 设液面高度为h,则由z=x+y与z=h所围成的立体体积为 12 22V==. ()dzz,,()dhxy,,,21,,,,DD 在极坐标系内,D表示为 h0?r?,0?θ?2π, 于是,容量V与高度h之间的关系是 ,h,222V==. hd()d,hrrr,,,002 把V=8π与V=128π分别代入上式,就得h=4,h=16.因此,现在的液面比原来的液面升高1212 了h-h=12cm. 21222例5 求由球面x+y+z=2az(a,0)和顶角为2α,以z轴为中心轴的圆锥面所围成的立体的体积(图10-36). 图10-36 解 在球面坐标系下球面x2+y2+z2=2az的方程为 r=2acosφ, 圆锥面的方程为φ=α.这个立体Ω可表示为0?θ?2π,0?φ?α,0?r?2acosφ,则体积V可表示为 2V= = dVrrsinddd,,,,,,,,,,, 22cos,,,,2= drr,,,sindd,,,000 ,833=2π? a cossind,,, ,03 434= πa(1-cosα). 3 读者也可以用二重积分计算本题. 三、平面薄片的重心 设在xOy平面上有n个质点,它们分别位于点(x,y),(x,y),…,(x,y)处,1122nn质量分别为m1,m,…,m.由力学知识知道,该质点系的重心的坐标为2n n mx,iiMyi,1, ,,xnMm,ii,1 n my,iiMxi,1, ,,ynMm,ii,1 nnn mmxmy其中M=为该质点系的总质量.M=,M= 分别为该质点系对yyx,,,iiiiii,1i,1i,1 轴和x轴的静矩. 设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D,在点(x,y)处的面密度为ρ(x,y),ρ(x,y)在D上连续,现在要找该薄片的重心坐标. 在闭区域D上任取一直径很小的闭区域dσ(这个小闭域的面积也记作dσ),(x,y)是这个闭区域上的一个点.由于dσ直径很小,且ρ(x,y)在D上连续,所以薄片中相应于dσ的部分的质量近似等于ρ(x,y)dσ,这部分质量可近似看作集中在点(x,y)上,于是可写出静矩元素dM及dM分别为: yx dM=xρ(x,y)dσ,dM=yρ(x,y)dσ. yx 以这些元素为被积表达式,在闭区域D上积分,便得 M= , xxy,,(,)dy,,D M= . yxy,,(,)dx,,D 又由第一节知道,薄片的质量为 M=, ,,(,)dxy,,D 所以,薄片的重心的坐标为 xxy,,(,)dM,,yD,,x, M(,)dxy,,,,D yxy,,(,)dM,,xD,,y M(,)dxy,,,,D 如果薄片是均匀的,即面密度为常量,则上式中可把ρ提到积分记号外面并从分子、分 母中约去,于是便得到均匀薄片重心的坐标为 1=, x,xd,,DA 1y =, (10-4-2)y,d,,DA 其中A=为闭区域D的面积.这时薄片的重心完全由闭区域D的形状所决定.我们把均d,,,D 匀平面薄片的重心叫做这平面薄片所占的平面图形的形心.因此平面图形D的形心,就可用 公式(10-4-2)计算. 例6 求位于r=1,r=2之间的均匀半圆环薄片的重心(图10-37). 图10-37 解 因为闭区域D对称于y轴,所以重心C必位于y轴上,于是=0,D的面积xy,x,,为 11322A=. ,,,,,,,21222 而 2,21,,,23ydrr,,,,sindd= ,,cosr,,,,,,0,,D013,,1 14=, 3 所以由公式(10-4-2)得 111428y===, ,yd,,33,9A,2 28,,0,即重心为. ,,9,,, 四、平面薄片的转动惯量 设在xOy平面上有n个质点,它们分别位于点(x,y),(x,y),…,(x,y)处,1122nn质量分别为m,m,…,m.由力学知识知道,该质点系对于x轴以及对于y轴的转动惯量12n 依次为: nn22ymxmI=, I=. xy,,iiiii,1,i1 设有一薄片,占有xOy面上的闭区域D,在点(x,y)处的面密度为ρ(x,y),假定ρ(x,y)在D上连续.现在要求该薄片对于x轴的转动惯量I以及对于y轴的转动惯量I.xy 应用元素法.在闭区域D上任取一直径很小的闭区域dσ(这个小闭区域的面积也记作dσ),(x,y)是这小闭区域上的一个点.因为dσ的直径很小,且ρ(x,y)在D上连续,所以薄片中相应于dσ部分的质量近似等于ρ(x,y)dσ,这部分质量可近似看作集中在点(x,y)上,于是可写出薄片对于x轴以及对于y轴的转动惯量元素: 2dI=yρ(x,y)dσ; x2dI=xρ(x,y)dσ. y 以这些元素为被积表达式,在闭区域D上积分,便得 22I=, I=. (10-4-3)yxy,,(,)dxxy,,(,)dxy,,,,DD 2例7 求由y=4ax,y=2a及y轴所围成的均质薄片(面密度为1)关于y轴的转动惯量(图10-38). 图10-38 2y解 区域D由不等式0?y?2a,0?x?所确定.根据转动惯量I的计算公式,得y4a y22a224aI== xd,ddyxxy,,,,D00 2a11172a6== yyyd03,30aa1927192 24=. a21 五、平面薄片对质点的引力 设有一平面薄片,占有xOy平面上的闭区域D,在点(x,y)处的面密度为ρ(x,y),假定ρ(x,y)在D上连续.现在要计算该薄片对位于z轴上的点M(0,0,a)(a,0)处0 的单位质量的质点的引力. 我们应用元素法来求引力F=(F,F,F).在闭区域D上任取一直径很小的闭区域dσxyz (这小闭区域的面积也记作dσ),(x,y)是dσ上的一个点.薄片中相应于dσ的部分的质量近似等于ρ(x,y)dσ,这部分质量可近似看作集中在点(x,y)处,于是,按两质点间的 ,,(,)dxy引力公式,可得出薄片中相应于dσ的部分对该质点的引力的大小近似地为G,2r 222引力的方向与(x,y,0-a)一致,其中r=,G为引力常数.于是薄片对该质xya,, 点的引力在三个坐标轴上的投影F,F,F的元素为: xyz ,,(,)dxyxdF=G, x3r ,,(,)dxyydF=G, y3r ,,(,)(0)dxya, dF=G. z3r 以这些元素为被积表达式,在闭区域D上积分,便得到 ,(,)xyxF=G, d,x3,,D2222,,()xya ,(,)xyyF=G, (10-4-4)d,y3,,D2222,,()xya ,(,)xyF=-Ga. d,z3,,D2222,,()xya 222例8 求面密度为常量、半径为R的匀质圆形薄片:x+y?R,z=0对位于z轴上点M0(0,0,a)(a,0)处单位质量的质点的引力. 解 由积分区域的对称性易知,F=F=0.记面密度为常量ρ,这时 xy 2,Rd,rrd,F=-Gaρ=-Gaρ dz33,,,,D002222222xya,,,()()ra 22R,,d()ra,11=-πGaρ=2πGaρ, ,,,3,220a22Ra,2,,()ra, ,,,,11,,故所求引力为0,0,2Ga,. ,,,,,,22aRa,,,,, 六、三重积分应用举例 类似于二重积分的应用,三重积分在物理学上也有相应的应用,例如求空间物体的重心、 转动惯量、引力等. 当物体占有空间闭域Ω,体密度为ρ(x,y,z)时,用微元法不难得到如下结论: (1) 其重心坐标为 1 ,,xxxyzv(,,)d,,,,,M 1 (10-4-5),,yyxyzv(,,)d,,,,,M 1 ,,zzxyzv(,,)d,,,,,M 其中 M= ,(,,)d.xyzv,,,, (2) Ω绕x轴、y轴、z轴及原点的转动惯量分别为 22I=, ()(,,)d,yzxyzv,,x,,,, 22 I= (10-4-6)()(,,)d,xzxyzv,,y,,,, 22I= ()(,,)d,xyxyzv,,z,,,, 222 I= ()(,,)d.xyzxyzv,,,0,,,, (3)对质量为m的质点ρ(x,y,z)的引力在x,y,z轴的分量为0000 ,(,,)()xyzxx,0F=Gm d,vx3,,,,r ,(,,)()xyzyy,0 F=Gm (10-4-7)d,vy3,,,,r ,(,,)()xyzzz,0 F=Gm d,vz3,,,,r 其中 r=(x-x,y-y,z-z). 000 22222222tan,例9 设一均匀物体由球面x+y+z=R与半顶角为的圆锥面x+y=zα(0,α, ,)围成,如图10-39所示, 2 求其重心. 图10-39 xy,解 由密度ρ为常数及物体的对称性知=0,采用球面坐标变换,积分区域Ω表示为: 0?r?R,0?θ?2π,0?φ?α. 由公式(10-4-5)知 zvd,,,,z,, dv,,,, 而 2,,R2zvrrrdddcossind,,,,, ,,,,,,,000 142=, ,,πR(1cos)4 2,,R223, vrrR,,,,,,,,dddsind(1cos),,,,,,,0003 3得 . ,,,zR(1cos)8 3,,,0,0,(1cos),R因此,重心坐标为. ,,8,, 2222例10 求密度为1的均匀球体x+y+z?a对z轴的转动惯量. 22解 由(10-4-6)知I=. (+)dxyvz,,,, 在球坐标变换下,积分区域Ω′表示为0?θ?2π,0?φ?π,0?r?a. 于是 2ππa2ππa22234ddsinsind,,,,rrrdsind,,rrI== z,,,,,,000000 554a8πa=2π=. 3515 第五节 对弧长的曲线积分 一、对弧长的曲线积分的概念 1. 曲线形物件的质量 例1 设有平面上一条光滑曲线L,它的两端点是A,B,其上分布有质量,L上任意一点M(x,y)处的线密度为ρ(x,y),当点M在L上移动时,ρ(x,y)在L上连续,求此曲线弧的质量M. 图10-40 解 用分点A=M,M,…,M,M=B,将曲线L任意分成n小段(见图10-40)01n-1n MM,MM,…,MM, 0112n-1n 每小段MM的弧长记作Δs(i=1,2,…,n),当Δs很小时,MM上的线密度可以近似i-1iiii-1i看作是常量,它近似地等于MM上某点K(ξ,η)处的值,于是这一小段的质量i-1iiii ΔM?ρ(ξ,η)Δs iiii 将它们求和,可得此曲线弧总质量的近似值 nn ,M,,,(,),sM=?. ,,iiiii,1,1i 记λ=,取极限得 max,si1,,in n lim(,),,,,sM=. ,iii,,0,1i 当求质量分布不均匀的曲线弧的重心、转动惯量时,也会遇到与上式类似的极限.为此 我们引进对弧长的曲线积分的定义. 定义 设函数f(x,y)在分段光滑曲线L上有定义,A,B是L的端点,依次用分点A=M,M,…,M,Mn=B把L分成n小段 01n-1 MM,MM,…,MM, 0112n-1n ,s每小段的弧长记为,在MM上任取一点K(ξ,η),若λ=?0时,和式max,si-1iiiiii1,,inn fs(,),,,的极限存在(它不依赖于曲线L的分法及点(ξ,η)的取法),则称这个极限ii,iii,1i 值为f(x,y)沿曲线L对弧长的曲线积分,记作,即 fxys(,)d,L n lim(,)fs,,,=. fxys(,)d,iii,,,0L,1i 按定义可知,曲线弧的质量M等于线密度ρ(x,y)沿曲线L对弧长的曲线积分: M=,(,)dxys,L 二、对弧长的曲线积分的性质 根据定义可以证明(证明从略),若函数f(x,y)在L上连续(或除去个别点外,f(x,y)在L上连续,有界),L是逐段光滑曲线,则f(x,y)在L上对弧长的曲线积分一定存在(即f(x,y)在L上可积). 设f(x,y),g(x,y)在L上可积,则有以下性质: (1) =k(k为常数); kfxys(,)dfxys(,)d,,LL (2) =; fxygxys(,)(,)d,fxysgxys(,)d(,)d,,,,,,LLL (3) 如果曲线L由L,L,…,L几部分组成,则在弧L上的积分等于在各部分上12k 积分之和,即 fxysfxysfxys(,)d(,)d(,)d,,,=.fxys(,)d,,,,LLLL12k 三、对弧长的曲线积分的计算法 定理 设曲线L由参数方程x=x(t),y=y(t)(α?t?β)表示,x(t),y(t)在区间,α, 22β,上有一阶连续导数,且x′(t)+y′(t)?0(即曲线L是光滑的简单曲线),函数f(x,y)在曲线上连续,则 ,22,,fxtytxtytt((),())()()d, =. (10-5-1)fxys(,)d,,L, 图10-41 证 如图10-41所示,设曲线L以A,B为端点,弧AB的长度为l,L上任一点M可由弧长=s来确定,以s为曲线L的参数,点A对应于s=0,点B对应于s=l,点K(ξ,AMii η)对应于s=s,于是根据定义 ii nn lim(,)fs,,,lim((),())fxsyss,== fxys(,)d,,iiiiii,,,0,,0L,1,1ii l=. (10-5-2)fxsyss((),())d,0 由假设曲线L由参数方程 x=x(t),y=y(t)(α?t?β) 表示,x′(t),y′(t)在,α,β,上连续,设弧长s随t的增大而增大,于是 22,,s′(t)=. xtyt()(), 将(10-5-2)式右端作变量代换,并注意t=α时,s=0,t=β时,s=l,于是得 ,22,,=fxtytxtytt((),())()()d,. fxys(,)d,,L, 证毕. 定理告诉我们,曲线积分可化为定积分来进行计算,由公式(10-5-1)可见,计算曲线积分时,必须将被积函数中的变量x和y,用坐标的参数式代入,同时将ds化为弧长微分的参数形式;并且积分限对应于端点的参数值,下限α必须小于上限β. 若曲线L由方程y=y(x)(a?x?b)给出,y(x)在,a,b,上有一阶连续导数,f(x,y)在曲线L上连续,则 b2,fxyxyxx(,())1()d, =. (10-5-3)fxys(,)d,,aL 类似地,若曲线L由方程x=x(y)(c?y?d)给出,x(y)在,c,d,上有一阶连续导数,f(x,y)在曲线L上连续.则 d2,fxyyxxy((),)()1d.,= (10-5-4)fxys(,)d,,cL 12例2 计算曲线积分,曲线L是抛物线y=自点(0,0)到点(2,1)的ysdx,L4 一段弧. 2x,,2,1d,x解 因为ds==,而x的变化区间是,0,2,,由公式(10-5-3)1d,yx,,2,, 得 322222x1x2(1),== xx1d,ysd,0,L03424 2=. (221),3 22xy,,,1例3 计算曲线积分I=,L是椭圆在第象限中的部分.xysd22,Lab 解 由椭圆的参数方程x=acost,y=bsint,可得 x′=-asint,y′=bcost, tt 22222,,ds=dt= atbttsincosd,xy,tt 按公式(10-5-1),得 ,22222I== xysdatbtatbttcossinsincosd,,,L0 ,abtt1cos21cos2,,222= sin2dtabt,,0222 ,2222ababba,,2= cos2d(cos2)tt,,,0422 22221ababba,, cos2dtuuu,,,,1422 222231ababba22,,2(),u= 22,14322ba, 22abaabb,,=. 3ab, 以上我们讨论了平面上弧长的曲线积分.完全类似地,可以建立空间对弧长的曲线积分 的定义、性质与计算方法.设给定空间曲线积分 (x,y,z)ds, f,, 空间曲线Γ的参数方程为 x=x(t),y=y(t),z=z(t)(α?t?β), 则 (x,y,z)ds f,, ,222,,,fxtytztxtytztt((),(),())()()()d,, = (10-5-5),, 例4 计算曲线积分 ds, 222,,xyz,, 其中Γ是螺旋线x=acost,y=asint,z=bt的第一圈,如图10-42所示. 图10-42 解 因为 222,,,ds= xtytztt()()()d,, 222(sin)cosd,,,atatbt= ,, 22=abt,d, t的变化区间是,0,2π,,由公式(10-5-5)即得 2,dsdt22= ,ab222,,222,0xyz,,,abt 222,abbt,=arctan 0aba 22abb,2,=.arctanaba 第六节 对面积的曲面积分 曲面积分的积分区域是空间的曲面,这里我们所讨论的曲面都是光滑的或分片光滑的.如果曲面Σ上每点M都有切平面,而且当M沿曲面连续变动时,切平面的法向量在曲面上连续变化,就称曲面Σ是光滑的;如果曲面Σ是由几块光滑曲面组成的连续曲面,就称Σ是分片光滑的. 一、对面积的曲面积分的概念 类似于对弧长的曲线积分的引入,我们从求曲面壳(即曲面Σ上分布有质量)的质量问题得到对面积的曲面积分的概念. 类似于第五节中求曲线形物体的质量,只需把曲线改为曲面,并相应地把线密度ρ(x,y)改为面密度ρ(x,y,z),小段曲线的弧长Δs改为小块曲面的面积ΔS,第i小段曲线上的一点ii k(ξ,η)改为第i小块曲面上的一点k(ξ,η,ζ),于是,在面密度ρ(x,y,z)连续的前提下,iiiiiii 所求曲面壳的质量M就是下列和式的极限: n lim(,,),,,,M= Δs, i,iii,,0,1i 其中λ表示n小块曲面的直径的最大值. 在其他的问题中也会遇到与上式类似的极限,于是我们引进对面积的曲面积分的定义. 定义 设函数f(x,y,z)在分片光滑曲面Σ上有界,任意分割Σ成n小片ΔS,第ii小片面积也记作ΔS(i=1,2,…,n),在ΔS上任取一点(ξ,η,ζ),作和式iiiii n fS(,,),,,, ,iiii,1i 当ΔS的最大直径(曲面上两点的最大距离)λ?0时,如果上述和式的极限存在,则此i 极限值称为函数f(x,y,z)在曲面Σ上对面积的曲面积分.记作 n lim(,,)fS,,,,fxyzS(,,)d = , ,iiii,,,,0,,1i 其中f(x,y,z)称为被积函数,S称为积分曲面. 显然,如果曲面壳Σ的面密度是ρ(x,y,z),则S的质量M可表示为对面积的曲面积分,即 ,(,,)dxyzSM= . ,,, 可以证明当函数f(x,y,z)在曲面Σ上连续,或除有限条逐段光滑的曲线外在Σ上连续且在Σ上有界,则f(x,y,z)在Σ上对面积的曲面积分存在(不再证明). 对面积的曲面积分有类似于第五节中的对弧长的曲线积分的一些性质. 二、对面积的曲面积分的计算 对面积的曲面积分可以化为二重积分来计算.设曲面Σ的方程是 z=z(x,y), 于是由第四节可知,曲面S的面积元素为 22,,,,zz,,dS=, 1dd,,xy,,,,,,xy,,,, 所以 fxyzS(,,)d ,,, 22,,,,zz,,=(,,(,))1dd (10-6-1)fxyzxyxy,,,,,,,,D,,xy,,,, 其中D为曲面Σ在xOy平面上的投影. 例1 计算曲面积分 222, ()dxyzS,,,,, 2222,其中是球面:x+y+z=a. ,解 由被积函数与曲面的对称性,所求积分等于两倍上半球面上的积分,即1 222222()dxyzS,,=2. ()dxyzS,,,,,,,,1 222的方程为z=,从而 axy,,,1 ,,zx, ,222,xaxy,, ,,zy, ,222,yaxy,, 22,,,,zz,,所以 dS= 1dd,,xy,,,,,,xy,,,, a =. ddxy222axy,, 222,曲面在xOy平面的投影区域D为:x+y?a,由公式(10-6-1)得 1 a22222222()dxyzS,,=()ddxyaxyxy,,,,,,,,,D2221axy,, 33,a2aarddxy==dd,r,,,,D2222200axy,,,ar a2234ar,=-2πa=2πa, 0 故有 2224. ()d4xyzSa,,,,,,, 然而,如果我们利用曲面的方程先将被积函数化简,并运用球面的面积公式,立即可得 上面积分的值,即 22224=4πa. ()ddxyzSaS,,,,,,,,, 例2 计算半径为R的均匀球壳绕对称轴的转动惯量 2222,解 设面密度ρ=1,取球心为坐标原点,则球面的方程是x+y+z=R,易证所求转动0 惯量为 22I=. ()dxyS,,,, 由上例知,球面的面积元素 RdS=dxdy, 222Rxy,, 代入上面的积分,并利用对称性得 223,R2Rxy(),rrdI=2dxdy=2R ,d,,,,D2222200Rxy,,,Rr ,3Rrrd432rRt,sin=4πR4πR sindtt,,2200Rr, 8=πR. 322因为球壳质量M=4πR?ρ=4πR,所以 0 22222I=4πR?R=MR 33 第七节 黎曼积分小结 在前面的讨论中,我们看到,虽然各种形式和的具体对象不同,但归根到底总是要处理同一形式的和的极限.在二重积分、三重积分、对弧长的曲线积分、对面积的曲面积分以及物理、几何等具体积分计算中,都提出了大量类似问题.这里我们可以概括地给出下面的定义. 几何形体Ω上黎曼积分的定义:设Ω为一几何形体(它或是有向线段,或是曲线段,或是平面图形,一块曲面,一块空间区域等等),这个几何形体是可以度量的(也就是说它是可以求长的,或是可以求面积,可以求体积的,等等),在这个几何形体Ω上定义了一个函数f(M),M?Ω.将此几何形体Ω分为若干可以度量的小块ΔΩ,ΔΩ,…,ΔΩ,既然12n每一小块都可以度量,故它们皆有度量大小可言,把它们的度量大小仍记为ΔΩ(i=1,2,…,in),并令 d={ΔΩ的直径}, maxi1,,in 在每一块ΔΩ中任意取一点M,作下列和式(也称为黎曼和数,或积分和数):ii n fM(),,. ,ii,1i 如果这个和式不论对于Ω的如何分法以及M在ΔΩ上如何取法,只要当d?0时恒有同一ii 极限I,则称此极限为f(M)在几何形体Ω上的黎曼积分,记为: I=, fM()d,,, n lim()fM,,也就是 I= ,ii,0d,1i 这个极限是与Ω分法及M取法无关的. i 根据几何形体Ω的不同形态,我们不难得出Ω上积分的具体表示式及名称. (1) 如果几何形体Ω是实轴上的一个区间,a,b,,那么,a,b,上的积分就是定积分,记为 nblim()fx,,=. fxx()d,ii,a,0d,1i (2) 如果几何形体Ω是一块可求面积的平面图形D,那么D上的积分就是二重积分,记为 n lim(,)f,,,,=. fxy(,)d,,iii,,,0Dd,1i (3) 如果几何形体Ω是一块可求体积的空间几何体Ω,那末Ω上的积分就是三重积分,记为: n lim(,,)fv,,,,=. fxyzv(,,)d,iiii,,,,0d,,1i (4) 如果几何形体Ω是一可求长的空间曲线段L,那末L上的积分就称为对弧长的曲线积分,记为 n lim(,)fs,,,=. fxys(,)d,iii,,0Ld,1i (5) 如果几何形体Ω是一可求面积的曲面片Σ,那么Σ上的积分就称为对面积的曲面积分,记为 n lim(,,)fS,,,,fxyzs(,,)d=. ,iiii,,,0d,,1i 特别地,如果被积函数f(M)?1,由定义知就是几何形体Ω的度量,亦即d,,, n ,,==Ω的度量 d,,,,,i,1 关于这几种积分,函数f(M)可积的充分条件,可类似于定积分那样证明.若f(M)在所讨论的可度量的几何体Ω上连续,那末f(M)在Ω上一定可积. 由黎曼积分的定义,我们不难得出以下黎曼积分的性质: (1)若函数f(M)在Ω上可积,则kf(M)在Ω上也可积,且有 =k(k为常数) kfM()d,fM()d,,,,, (2)若函数f(M)和g(M)都在Ω上可积,则其和f(M)?g(M),积f(M)g(M)也在Ω上可积. (3)若函数f(M)在Ω上可积,将Ω分为任何两个部分Ω和Ω,Ω和Ω都可度量,1212并且Ω的每一个内点都不在Ω中,那末(fM)在Ω和Ω上都可积,且1212 fM()d,fM()d,=+ fM()d,,,,,,,,, 反之,若f(M)在Ω和Ω上可积,则f(M)也在Ω上可积,并且上述等式成立.12 (4)若函数f(M)和g(M)都在Ω上可积,且在Ω上成立着f(M)?g(M),则 ?. fM()d,gM()d,,,,, (5)若f(M)在Ω上可积,则,f(M),也在Ω上可积,且 fM()d,?; f,,,,d,,,, 但若,f(M),在Ω上可积,不能断定f(M)在Ω上也可积. (6)(积分中值定理) 若f(M)在Ω上可积,则存在常数c,使得 =c?(Ω的度量); fM()d,,, 若f(M)在Ω上连续,则至少存在Ω上的一点M,使得 0 c=f(M). 0 习 题 十 2ln()dxy,,1.根据二重积分性质,比较与的大小,其中ln()dxy,,,,,,,,DD (1) D表示以(0,1)、(1,0)、(1,1)为顶点的三角形; (2) D表示矩形区域{(x,y),3?x?5,0?y?2}. 2.根据二重积分性质,估计下列积分的值: (1) I=,D={(x,y),0?x?2,0?y?2}; 4+dxy,,,D 22(2) I=,D={(x,y),0?x?π,0?y?π}; sinsindxy,,,D 2222(3) I=,D={(x,y),x+y?4}. xy,,49d,,,,,D 3.根据二重积分的几何意义,确定下列积分的值: 222221)axy,,d,,D={(x,y),x+y?a}; (,,,,D 222222axy,,d,(2),D={(x,y),x+y?a}. ,,D 14.设f(x,y)为连续函数,求, fxy,lim(,)d2,,Dr,0r,222D={(x,y),(x-x)+(y-y)?r}. 00 5.画出积分区域,把化为累次积分: fxy(,)d,,,D (1) D={(x,y),x+y?1,y-x?1,y?0}; 2(2) D={(x,y),y?x-2,x?y}; 2(3) D={(x,y),y?,y?2x,x?2}. x 6.画出积分区域,改变累次积分的积分次序: 22yelnx(1); (2);d(,)dxfxyyd(,)dyfxyx2,,,,100y 132,y,sinx(3); (4);d(,)dyfxyxd(,)dxfxyyx,,,,,0y0sin2 12y33,y(5)d(,)dyfxyx+d(,)dyfxyx. ,,,,0010 7.求下列立体体积: 2222(1) 旋转抛物面z=x+y,平面z=0与圆柱面x+y=ax所围; 222(2) 旋转抛物面z=x+y,柱面y=x及平面y=1和z=0所围. 8.计算下列二重积分: 2x1dd(1),D?1?x?2,?y?x; xy2,,Dyx xy2exydd(2),D由抛物线y=x,直线x=0与y=1所围; ,,D 22xyxy,dd(3),D是以O(0,0),A(1,-1),B(1,1)为顶点的三角形;,,D (4),D={(x,y),0?x?π,x?y?π}. cos()ddxyxy,,,D 9.计算下列二次积分: yy11y1yysinxxx2ddyex(1); (2)+.ddyexddyx111,,,,,,y0yx224 10.在极坐标系下计算二重积分: 222222sinddxyxy,(1),D={(x,y),π?x+y?4π}; ,,D 22,,()xy22(2),D为圆x+y=1所围成的区域; exydd,,D x2222arctanddxy(3),D是由x+y=4,x+y=1及直线y=0,y=x所围成的在第一象限,,Dy 内的闭区域; 22(4),D是由曲线x+y=x+y所包围的闭区域. ()ddxyxy,,,D 11. 将下列积分化为极坐标形式,并计算积分值: 2ax22aaxx,2222(1); (2);ddxxyy,d()dxxyy,,,,,0000 221xaay,-122222(3); (4).ddxxyy,ddyxyx,,,,,2,,,,0x00 *12.作适当坐标变换,计算下列二重积分: 22(1),其中D是由xy=2,xy=4,x=y,y=3x在第一象限所围平面区域;xyxydd,,D 222xyxy,dd(2),D={(x,y),,x,+,y,?1}; ,,,,D 12,x22(3)ddxxyy,,令x=v,x+y=u; ,,,,01,x 2222,,xyxy,(4),D??1; dd,xy22,,,,22Dabab,, 2222(5),D={(x,y),x+y?9}; xyxy+-4dd,,D 2222(6),D={(x,y),x+y?4}. xyyxy+-2dd,,D 13.求由下列曲线所围成的闭区域的面积: 2bb2(1) 曲线y=x,y=x所围(a,0,b,0); aa 22(2)曲线xy=a,xy=2a,y=x,y=2x所围(x,0,y,0). 14.证明: nbyb1,1n(1)=; d()dyyxfxx,fxbxx,()d,,,,,,,aaan,1 1fuu()d(2)=,D为,x,+,y,?1; fxyxy()dd,,,,,1D 12222221-()dufuabcu,,(3)=,其中D为x+y?1,且faxbycxy()dd,,,,,,1D 22a+b?0. 22222215.求球面x+y+z=a含在圆柱面x+y=ax内部的那部分面积. 22216.求锥面z=被柱面z=2x所割下部分的曲面面积. xy, 22222217.求底圆半径相等的两个直交圆柱面x+y=R及x+z=R所围立体的表面积. 18.设薄片所占的闭区域D如下,求均匀薄片的重心. 2px(1)D由y=,x=x,y=0所围成; 0 22xy,(2)D是半椭圆形闭区域:?1,y?0; 22ab (3) D是介于两个圆r=acosθ,r=bcosθ(0,a,b)之间的闭区域. 219.设平面薄片所占的闭区域D由抛物线y=x及直线y=x所围成,它在点(x,y)处的 2面密度ρ(x,y)=xy,求该薄片的重心. 20.设有一等腰直角三角形薄片,腰长为a,各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方,求这薄片的重心. 21.设均匀薄片(面密度为常数1)所占闭区域D如下,求指定的转动惯量: 22xy,(1) D??1,求I; y22ab 92(2) D由抛物线y=x与直线x=2所围成,求I和I; xy2 (3) D为矩形闭区域:0?x?a,0?y?b,求I和I. xy 22.已知均匀矩形板(面密度为常量ρ)的长和宽分别为b和h,计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量. xy23.求直线=1与坐标围成的三角区域(a,0,b,0)对x轴及坐标原点的转动惯,ab 量(面密度ρ为常数). 222224.求面密度为常量ρ的匀质半圆环形薄片:?x?,z=0对位于z轴Ry,Ry,12上点M(0,0,a)(a,0)处单位质量的质点的引力F. 0 25.化三重积分I=为三次积分,其中积分区域Ω分别是.fxyzxyz(,,)ddd,,,, (1) 由双曲抛物面xy=z及平面x+y-1=0,z=0所围成的闭区域; 22(2) 由曲面z=x+y及平面z=1所围成的闭区域; 222(3) 由曲面z=x+2y及z=2-x所围成的闭区域; 22xy,(4) 由曲面cz=xy(c,0),=1,z=0所围成的在第一卦限内的闭区域.22ab 26.在直角坐标系下计算三重积分: 23(1),其中Ω是由曲面z=xy与平面y=x,x=1,和z=0所围成的闭区xyzxyzddd,,,, 域; dddxyz(2),其中Ω为平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所围的四面体;3,,,,1+++xyz,, 22222222(3),Ω是两个球:x+y+z?R和x+y+z?2Rz(R,0)的公共部分;zxyzddd,,,, (4),其中Ω是由x=a(a,0),y=x,z=y,z=0所围成;xyzxyzddd,,,, y2225),其中Ω是由x+z-y=1,y=0,y=2所围成;(exyzddd,,,, yxsin,x(6),其中Ω是由y=,y=0,x+z=所围成.dddxyz,,,,2x 27.如果三重积分的被积函数f(x,y,z)是三个函数f(x),ffxyzxyz(,,)ddd12,,,, (y),f(z)的乘积,即f(x,y,z)=f(x)?f(y)?f(z),积分区域为a?x?b,c?y?d,3123 l?z?m,证明这个三重积分等于三个单积分的乘积,即 bdm=fxxfyyfzz()d()d()d. fxfxfxxyz()()()ddd123123,,,,,,acl, 28.利用柱面坐标计算下列三重积分: 2222(1),其中Ω是由曲面z=及z=x+y所围成的闭区域;2,,xyzvd,,,, 2222(2),其中Ω是由曲面x+y=2z及平面z=2所围成的闭区域.xyv,d,,,,,, 29.利用球面坐标计算下列三重积分: 222222(1),其中Ω是由球面x+y+z=1所围成的闭区域;xyzv,,d,,,,,, 2222222(2),其中Ω由不等式x+y+(z-a)?a,x+y?z所确定.zvd,,,, 30.选用适当的坐标计算下列三重积分: 22(1),其中Ω为柱面x+y=1及平面z=1,z=0,x=0,y=0所围成的在第一xyvd,,,, 卦限内的闭区域; 222222xyzv,,d(2),其中Ω是由球面x+y+z=z所围成的闭区域;,,,, 22222(3),其中Ω是由曲面4z=25(x+y)及平面z=5所围成的闭区域;xyv,d,,,,,, 22222(4),其中Ω由不等式0,a?xyz,,?A,z?0所确定.xyv,d,,,,,, 31.利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积: 2222(1) z=6-x-y及z=xy,; 222222(2) x+y+z=2az(a,0)及x+y=z(含有z轴的部分); 2222(3) z=及z=x+y; xy, 2222(4) z=及x+y=4z. 5,,xy *32.选择坐标变换计算下列各题: 222222xyzxyz,,(1),Ω={(x,y,z)??1};1d,,,v222,,,222,abcabc 222xyz222222,,(2),Ω={(x,y,z)|?1}.expdxaybzcv,,,,222,,,,abc 33.球心在原点、半径为R的球体,在其上任意一点的密度的大小与这点到球心的距离成正比,求这球体的质量. 34.利用三重积分计算下列由曲面所围立体的重心(设密度ρ=1): 222(1) z=x+y,z=1; 222222(2) z=,z=(A,a,0),z=0; Axy,,axy,, 22(3) z=x+y,x+y=a,x=0,y=0,z=0. 22235.球体x+y+z?2Rz内,各点处的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方,试求这球体的重心. 2236.一均匀物体(密度ρ为常量)占有的闭区域Ω由曲面z=x+y和平面z=0,,x,=a,,y,=a所围成. (1)求物体的体积; (2)求物体的重心; (3)求物体关于z轴的转动惯量. 37.求半径为a,高为h的均匀圆柱体对于过中心而平行于母线的轴的转动惯量(设密度ρ=1). 22238.求均匀柱体:x+y?R,0?z?h对于位于点M(0,0,a)(a,h)处的单位质量的质0 点的引力. 39.在均匀的半径为R的半圆形薄片的直径上,要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片,为了使整个均匀薄片的重心恰好落在圆心上,问接上去的均匀矩形薄片另一边的长度应是多少, 240.求由抛物线y=x及直线y=1所围成的均匀薄片(面密度为常数ρ)对于直线y=-1的转动惯量. *41.试讨论下列无界区域上二重积分的收敛性: ddxy(1); m,,2222,xy,,1xy,, ddxy(2),D为全平面; ,,pqD11,,xy,,,, ,(,)xy(3)(0,m?,φ(x,y),?M). ddxyp,,22,,1xy,,01y,, *42.计算积分 ,,22()22xy,, decos()dyxyx,,,,,,, *43.试讨论下列无界函数的二重积分的收敛性: ddxy(1); m,,2222,xy,,1xy,, ,(,)xy(2)(0,m?,φ(x,y),?M). ddxyp,,2222,,xxyy,,1xy,, 222244.设A(0,0,a)为球体x+y+z?R内一质量为1的质点(0,a,R,球体密度为常 数ρ),求球对A的吸引力. 45.计算下列对弧长的曲线积分: 22n(1) ?(x+y)ds,其中L为圆周x=acost,y=asint(0?t?2π);L (2) ?(x+y)ds,其中L为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段;L 2(3) ?xds,其中L为由直线y=x及抛物线y=x所围成的区域的整个边界;L 22xy,222(4) ?ds,其中L为圆周x+y=a,直线y=x及x轴在第一象限内所围成的扇eL 形的整个边界; 1ttt(5) ?ds,其中Γ为曲线x=ecost,y=esint,z=e上相应于t从0变到2的这Γ222xyz,, 段弧; 2(6) ?xyzds,其中Γ为折线ABCD,这里A,B,C,D依次为点(0,0,0),(0,0,Γ 2),(1,0,2),(1,3,2); 2(7) ?yds,其中L为摆线的一拱x=a(t-sint),y=a(1-cost)(0?t?2π);L 22(8) ?(x+y)ds,其中L为曲线x=a(cost+tsint),y=a(sint-tcost)(0?t?2π);L 2z(9) ?ds,其中Γ为螺旋线x=acost,y=asint,z=at(0?t?π).Γ22xy, 46.求半径为a、中心角为2φ的均匀圆弧(线密度ρ=1)的重心. 47.设螺旋形弹簧一圈的方程为x=acost,y=asint,z=kt,其中0?t?2π,它的线密度ρ(x,y, 222z)=x+y+z,求: (1) 它关于z轴的转动惯量I; (2) 它的重心.z 22fxyzS(,,)d48.计算曲面积分,其中Σ为抛物面z=2-(x+y)在xOy面上方的部,,, 分,f(x,y,z)分别如下: 22(1)f(x,y,z)=1; (2) f(x,y,z)=x+y; (3) f(x,y,z)=3z. 22()dxyS,49.计算,其中Σ是: ,,, 22(1)锥面z=及平面z=1所围成的区域的整个边界曲面;xy, 222(2) 锥面z=3(x+y)被平面z=0和z=3所截得的部分. 50.计算下列对面积的曲面积分: xyz4(1),其中Σ为平面在第一卦限中的部分;,,,1(2)dzxyS,,,,,2343 2(22)dxyxxzS,,,(2),其中Σ为平面2x+2y+z=6在第一卦限中的部分;,,, 2222()dxyzS,,(3),其中Σ为球面x+y+z=a上z?h(0,h,a)的部分;,,, 2222()dxyyzzxS,,(4),其中Σ为锥面z=被柱面x+y=2ax所截得的有xy,,,, 限部分; 222222(5)RxyS,,d,其中Σ为上半球面z=.Rxy,,,,, 12251.求抛物面壳z=(x+y)(0?z?1)的质量,此壳的面密度大小为ρ=z.2 222252.求面密度为ρ的均匀半球壳x+y+z=a(z?0)对于z轴的转动惯量.0
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