线性代数知识点
总结
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第一章 行列式
二三阶行列式
N阶行列式:行列式中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的和
(jj..j),12na,(,1)aa...a ,ij1j2jnj12nnjjj12n
(奇偶)排列、逆序数、对换
T行列式的性质:?行列式行列互换，其值不变。(转置行列式) D,D
?行列式中某两行(列)互换，行列式变号。
推论:若行列式中某两行(列)对应元素相等，则行列式等于零。
?常数k乘以行列式的某一行(列)，等于k乘以此行列式。
推论:若行列式中两行(列)成比例，则行列式值为零;
推论:行列式中某一行(列)元素全为零，行列式为零。
?行列式具有分行(列)可加性
?将行列式某一行(列)的k倍加到另一行(列)上，值不变
ij，A,(,1)M行列式依行(列)展开:余子式M、代数余子式 ijijij
定理:行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则:
DjD,0x,(j,1、2？？n) 非齐次线性方程组 :当系数行列式时，有唯一解: jD
D,1,0 齐次线性方程组 :当系数行列式时，则只有零解
逆否:若方程组存在非零解，则D等于零
特殊行列式:
aaaaaa111213112131
aaa,aaa?转置行列式: 212223122232
aaaaaa313233132333
a,a?对称行列式: ijji
a,,a?反对称行列式: 奇数阶的反对称行列式值为零 ijji
aaa111213
aa0kaa?三线性行列式: 方法:用把化为零，。。化为三角形行列式 212212221
a0a3133
?上(下)三角形行列式:
行列式运算常用方法(主要)
行列式定义法(二三阶或零元素多的)
化零法(比例)
化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、
第二章 矩阵
矩阵的概念:(零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n阶方阵、相等矩阵) Am*n
矩阵的运算:加法(同型矩阵)---------交换、结合律
数乘kA,(ka)---------分配、结合律 ijm*n
l
A*B,(a)*(b),(ab),ikm*lkjl*nikkjm*n1 乘法注意什么时候有意义
一般AB=BA，不满足消去律;由AB=0，不能得A=0或B=0
TTTTT 转置 (A),A(A，B),A，B
TTTTT (反序定理) (kA),kA(AB),BA
kkk，k1212 方幂: AA,A
kkk，k1212 (A),A
几种特殊的矩阵:对角矩阵:若AB都是N阶对角阵，k是数，则kA、A+B、
AB都是n阶对角阵
数量矩阵:相当于一个数(若„„)
单位矩阵、上(下)三角形矩阵(若„„)
对称矩阵
反对称矩阵
阶梯型矩阵:每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方
都是0
分块矩阵:加法，数乘，乘法:类似，转置:每块转置并且每个子块也要转置
注:把分出来的小块矩阵看成是元素
逆矩阵:设A是N阶方阵，若存在N阶矩阵B的AB=BA=I则称A是可逆的，
,1 (非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵) A,B
初等变换1、交换两行(列)2.、非零k乘某一行(列)3、将某行(列)的K
倍加到另一行(列)初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆
初等矩阵:单位矩阵经过一次初等变换得到的(对换阵 倍乘阵 倍加阵)
IO,,r,,D, 等价标准形矩阵 r,,OO,,
矩阵的秩r(A):满秩矩阵 降秩矩阵 若A可逆，则满秩
若A是非奇异矩阵，则r(AB)=r(B)
初等变换不改变矩阵的秩
求法:1定义2转化为标准式或阶梯形
矩阵与行列式的联系与区别:
都是数表;行列式行数列数一样，矩阵不一样;行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等;矩阵(ka),k(a)，行列式ijnijn
nka,ka ijijnn
逆矩阵注:?AB=BA=I则A与B一定是方阵 ?BA=AB=I则A与B一定互逆;
?不是所有的方阵都存在逆矩阵;?若A可逆，则其逆矩阵是唯一的。
矩阵的逆矩阵满足的运算律:
,1,1 1、可逆矩阵A的逆矩阵也是可逆的，且 (A),A
1,1,1 2、可逆矩阵A的数乘矩阵kA也是可逆的，且(kA),Ak
T,1,1TT 3、可逆矩阵A的转置也是可逆的，且 A(A),(A)
,1,1,1 4、两个可逆矩阵A与B的乘积AB也是可逆的，且 (AB),BA
,1,1 但是两个可逆矩阵A与B的和A+B不一定可逆，即使可逆，但 (A，B),A，BA为N阶方阵，若|A|=0，则称A为奇异矩阵，否则为非奇异矩阵。
,1,1A,A 5、若A可逆，则
AA,,1112*,,A,伴随矩阵:A为N阶方阵，伴随矩阵: (代数余子式) ,,AA2122,,
特殊矩阵的逆矩阵:(对1和2，前提是每个矩阵都可逆)
,1,1,1,,ABAABC,,,,1,,D,,,D, 1、分块矩阵 则 ,,,1,,OCOC,,,,
,1,,A,,A11,,,,,1A,,A,,2,12A,A, 2、准对角矩阵， 则 ,,,1,,AA33,,,,,1,,,,AA4,,4,,
***,1AA,AA,AIA,AA 3、 4、(A可逆)
,1*1n,1,*1*，，，，A,A,A 5、 6、(A可逆) A,AA
T*****T 7、 8、 ，，AB,BA，，，，A,A
1,1*A,A判断矩阵是否可逆:充要条件是，此时 A,0A
求逆矩阵的方法:
,1定义法 AA,I
*A,1伴随矩阵法A ,A
,1初等变换法 只能是行变换 ，，，，A|I,I|Ann
初等矩阵与矩阵乘法的关系:
设是m*n阶矩阵，则对A的行实行一次初等变换得到的矩阵，等，，A,aijm*n
于用同等的m阶初等矩阵左乘以A:对A的列实行一次初等变换得到的矩阵，等于用同种n阶初等矩阵右乘以A (行变左乘，列变右乘)
第三章 线性方程组
消元法 非齐次线性方程组:增广矩阵?简化阶梯型矩阵
r(AB)=r(B)=r 当r=n时，有唯一解;当时，有无穷多解 r,n
r(AB)r(B)，无解 ,
齐次线性方程组:仅有零解充要r(A)=n有非零解充要r(A)
合同
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:设AB是n阶方阵，若存在一个n阶可逆矩阵C，使得 则称A与B是合同的，记作A B。
合同的性质:反身性、对称性、传递性、秩、
化二次型为标准型:配方法、做变换(二次型中不含有平方项)文 - 汉语汉字 编辑词条 文，wen，从玄从爻。天地万物的信息产生出来的现象、纹路、轨迹，描绘出了阴阳二气在事物中的运行轨迹和原理。
故文即为符。上古之时，符文一体。
古者伏羲氏之王天下也，始画八卦，造书契，以代结绳(爻)之政，由是文籍生焉。--《尚书序》
依类象形，故谓之文。其后形声相益，即谓之字。--《说文》序》
仓颉造书，形立谓之文，声具谓之字。--《古今通论》
(1) 象形。甲骨文此字象纹理纵横交错形。"文"是汉字的一个部首。本义:花纹;纹理。
(2) 同本义 [figure;veins]
文，英语念为:text、article等，从字面意思上就可以理解为文章、文字，与古今中外的各个文学著作中出现的各种文字字形密不可分。古有甲骨文、金文、小篆等，今有宋体、楷体等，都在这一方面突出了"文"的重要性。古今中外，人们对于"文"都有自己不同的认知，从大的方面来讲，它可以用于表示一个民族的文化历史，从小的方面来说它可用于用于表示单独的一个"文"字，可用于表示一段话，也可用于人物的姓氏。
折叠编辑本段基本字义
1(事物错综所造成的纹理或形象:灿若,锦。
2.刺画花纹:,身。
3(记录语言的符号:,字。,盲。以,害辞。
4(用文字记下来以及与之有关的:,凭。,艺。,体。,典。,苑。,献(指有历史价值和参考价值的图书资料)。,采(a(文辞、文艺方面的才华;b(错杂艳丽的色彩)。
5(人类劳动成果的总结:,化。,物。
6(自然界的某些现象:天,。水,。
7(旧时指礼节仪式:虚,。繁,缛节(过多的礼节仪式)。
8(文华辞采，与“质”、“情”相对:,质彬彬。
9(温和:,火。,静。,雅。
10(指非军事的:,职。,治武功(指礼乐教化和军事功绩)。
11(指以古汉语为基础的书面语:552,言。,白间杂。
12(专指社会科学:,科。
13(掩饰:,过饰非。
14(量词，指旧时小铜钱:一,不名。
15(姓。
16( 皇帝谥号，经纬天地曰文;道德博闻曰文;慈惠爱民曰文;愍民惠礼曰文;赐民爵位曰文;勤学好问曰文;博闻多见曰文;忠信接礼曰文;能定典礼曰文;经邦定誉曰文;敏而好学曰文;施而中礼曰文;修德来远曰文;刚柔相济曰文;修治班制曰文;德美才秀曰文;万邦为宪、帝德运广曰文;坚强不暴曰文;徽柔懿恭曰文;圣谟丕显曰文;化成天下曰文;纯穆不已曰文;克嗣徽音曰文;敬直慈惠曰文;与贤同升曰文;绍修圣绪曰文;声教四讫曰
文。如汉文帝。
折叠编辑本段字源字形
字源演变与字形比较
折叠编辑本段详细字义
〈名〉
1(右图是
“文”字的甲骨文图片，资料来源:徐无闻主编:《甲金篆隶大字典》，四川辞书出版社。1991年7月第一版。
“文”字的甲骨文字绘画的像一个正面的“大人”，寓意“大象有形”、“象形”;特别放大了胸部，并在胸部画了“心”，含义是“外界客体在心里面的整体影像、整体写真、整体素描、整体速写”。
许慎《说文解字》把“文”解释为“错画也”，意思是“对事物形象进行整体素描，笔画交错，相联相络，不可解构”，这与他说的独体为文、合体为字的话的意思是一致的。“说文解字”这个书名就表示了“文”只能“说”，而“字”则可“解”的意思。“文”是客观事物外在形象的速写，是人类进一步了解事物内在性质的基础，所以它是“字”的父母，“字”是“文”的孩子。“文”生“字”举例(以“哲”为例):先对人手摩画，其文为“手”;又对斧子摩画，其文为“斤”。以手、斤为父母，结合、生子，其子就是“折”(手和斤各代表父母的基因)。这个“折”就是许慎所谓的“字”。“字”从宀从子，“宀”表示“独立的房子”，子在其中，有“自立门户”的意思。故“字”还能与“文”或其他“字”结合，生出新“字”来。在本例，作为字的“折”与作为文的“口”结合，就生出了新的字“哲”。
2(
同本义 [figure;veins]
文，错画也。象交文。今字作纹。——东汉?许慎《说文》
五章以奉五色。——春秋?左丘明《左传?昭公二十五年》。注:“青与赤谓之文，赤与白谓之章，白与黑谓之黼，黑与青谓之黻。”
美于黼黼文章。——《荀子?非相》
茵席雕文。——《韩非子?十过》
织文鸟章，白旆央央。——《诗?小雅?六月》
斑文小鱼。——明? 刘基《诚意伯刘文成公文集》
3(又如:文驾(彩车);文斑(杂色的斑纹);文旆(有文彩的旗帜);文绣(绣有彩色花纹的丝织品;刺花图案);文织(有彩色花纹的丝织品);文鳞(鱼鳞形花纹)。
4(字，文字(“文”，在先秦时期就有文字的意思，“字”，到了秦朝才有此意。分别讲，“文”指独体字;“字”指合体字。笼统地说，都泛指文字。) [character]
饰以篆文。——南朝宋?范晔《后汉书?张衡传》
分文析字。——东汉?班固《汉书?刘歆传》
夫文，止戈为武。——《左传?宣公十二年》
距洞数百步，有碑仆道，其文漫灭。——王安石《游褒禅山记》
文曰“天启壬戌秋日”。——明? 魏学洢《核舟记》
文曰“初平山尺”。
5(又如:甲骨文;金文;汉文;英文;文迹(文字所记载的事迹);文书爻(有关文字、文凭之类的卦象);文异(文字相异);文轨(文字和车轨);文狱(文字狱);文钱(钱。因钱有文字，故称);文状(字据，军令状);文引(通行证;路凭);文定(定婚)。
6(文章(遣造的词句叫做“文”，结构段落叫做 “章”。) [literary composition]
故说诗者不以文害辞。——《孟子?万章上》
好古文。——唐? 韩愈《师说》
属予作文以记之。——宋? 范仲淹《岳阳楼记》
能述以文。——宋? 欧阳修《醉翁亭记》
摘其诗文。——清? 纪昀《阅微草堂笔记》
7(又如:文价(文章的声誉);文魔(书呆子);文会(旧时读书人为了准备应试，在一起写文章、互相观摩的集会);文移(旧时官府文书的代称);文雄(擅长写文章的大作家);文意(文章的旨趣);文义(文章的义理);文情(文章的词句和情思);本文(所指的这篇文章);作文(写文章;学习练习所写的文章);文魁(文章魁首);文价(文章的声价);文什(文章与诗篇)。
8(美德;文德 [virtue]
圣云继之神，神乃用文治。——杜牧《感怀诗一首》
9(又如:文丈(对才高德韶的老者的敬称);文母(文德之母);文武(文德与武功);文命(文德教命);文惠(文德恩惠);文德(写文章的道德);文薄(谓文德浅薄);文昭(文德昭著)。
10.文才;才华。亦谓有文才，有才华 [literary talent]
而文采不表于后世也。——汉? 司马迁《报任安书》
11(又如:文业(才学);文英(文才出众的人);文采风流(横溢的才华与潇洒的风度);文郎(有才华的青少年);文彦(有文才德行的人);文通残锦(比喻剩下不多的才华)。
12(文献，经典;韵文 [document;classics;verse]
儒以文乱法。——《韩非子?五蠹》
言必遵修旧文而不穿凿。——《说文解字?叙》
13(辞词句。亦指文字记载 [writings;record]。如:文几(旧时书信中开头常用的套语。意为将书信呈献于几前);文倒(文句颠倒);文过其实(文辞浮夸，不切实际);文义(文辞);文辞(言词动听的辞令);文绣(辞藻华丽)。
14(自然界的某些现象 [natural phenomenon]
经纬天地曰文。——《左传?昭公二十八年》
15(又如:天文;地文;水文;文象(日月星辰变化的迹象);文曜(指日月星辰;文星);文昌(星座名)。
16(文治;文事;文职。与“武”相对。 [achievements in culture and education;civilian post]
文能取胜。——《史记?平原君虞卿列传》
文不能取胜。
文武并用。——唐? 魏征《谏太宗十思疏》
精神折冲于千里，文武为宪于万邦。――明《袁可立晋秩兵部右侍郎诰》
17(又如:文臣，文吏(文职官吏);文席(教书先生的几席);文品(文官的品阶);文帅(文职官员出任或兼领统帅);文烈(文治显赫);文员(文职吏员);文阶(文职官阶);文
道(文治之道);文业(文事);文僚(文职官吏)。
18(法令条文 [articles of decree]
而刀笔吏专深文巧诋，陷人于罪。——《史记?汲黯列传》
19(又如:文劾(根据律令弹劾);文法吏(通晓法令、执法严峻的官吏);文丈(规矩;制度);文移(官府文书);文牓(布告;文告);文宪(礼法;法制)。
20(文言。古代散文文体之一;别于白话的古汉语书面语 [literary language]。如:半文半白;文语;文白(文言文和白话文)。
21(文教;礼节仪式 [rites]
则修文德。——《论语?季氏》
22(又如:文丈(崇尚礼文仪节);文俗(拘守礼法而安于习俗);文致(指礼乐);文貌(礼文仪节);文绪(文教礼乐之事);文仪(礼节仪式)
23(指表现形式;外表 [form;appearance]。如:文服(表面服从);文榜(告示、布告之类);文诰(诰令)
24(指鼓乐，泛指曲调 [music;tune]。如:文曲(指乐曲);文始(舞乐名)
25(谥号，谥法:勤学好问叫文 [study deligently]
何以谓之文。——《论语》
是以谓之文。
26(姓
〈动〉
1(在肌肤上刺画花纹或图案 [tatto (the skin)]
被发文身。——《礼记?王制》。注:“谓其肌，以丹青涅之。”
文绣有恒。——《礼记?月令》
2(又如:文笔匠(在人身上刺花的艺人);文身断发(古代荆楚、南越一带的习俗。身刺花纹，截短头发，以为可避水中蛟龙的伤害。后常以指落后地区的民俗);文木(刻镂以文采之木)
3(修饰;文饰 [cover up]
身将隐，焉用文之?——《左传?僖公二十三年》
饰邪说，文奸言，以枭乱天下。——《荀子?非十二子》
4(又如:文过饰非;文致(粉饰;掩饰);文冢(埋葬文稿之处)
5(装饰 [decorate]
舍其文轩。——《墨子?公输》
此犹文奸。
文车二驷。——明? 归有光《项脊轩志》
文马四百匹。——《史记?宋世家》
若将比予文木邪。——《庄子?人间世》
6(又如:文巧(文饰巧辩);文竿(以翠羽为饰之竿);文舫(装饰华丽的游艇);文饰(彩饰);文榭(饰以彩画的台榭);文舟，文艘(装饰华丽的船);文剑(装饰华丽的剑);文舆(饰以彩绘的车)
(撰写文章 [write]。如:文匠(写文章的大家);文祸(因写文章而招来的灾祸);文雄，文7
杰(指文豪)
〈形〉
1(有文采，华丽。与“质”或“野”相对 [magnificent;gorgeous]
其旨远，其辞文。——《易?系辞下》
晋公子广而俭，文而有礼。——《左传?僖公二十三年》
2(又如:文巧(华丽奇巧);文朴(文华与质朴);文服(华美的衣服);文砌(华美的石阶);文背(不文雅，粗俗);文轩(华美的车子);文质(文华与质朴)
3.柔和，不猛烈 [mild;gentle]。如:文烈(指火候温猛)
4(美，善 [fine;good]。如:文徽(华美);文鸳(即鸳鸯。以其羽毛华美，故称);文衣(华美的服装)
5(通“紊”。紊乱的 [disordered]
惇宗将礼，称秩元祀，咸秩无文。——《书?洛诰》
天子祭天下名山大川，怀柔百神，咸秩无文。——《汉书?郊祀志上》
王者报功，以次秩之，无有文也。——庆劭《风俗通义?山泽》
〈量〉
1(用于旧时的铜钱。如:一文钱
2(用于计算纺织物
五扶为一首，五首成一文。——《后汉书》
浙公网安备 33021202002483