基本初等函数(Ⅰ)知识点总结

第三章    基本初等函数（Ⅰ） 一、指数和指数函数 ①指数 1、定义： 叫做 的 次幂， 叫做幂的底数， 叫做幂的指数。规定： 2、整数指数幂的运算法则： 规定： ； 3、平方根：如果 ，则 叫做 的平方根 当 时，有两个平方根，互为相反数，记作： （ 为算术平方根） 当 时， 当 时，在实数范围内没有平方根 立方根：如果 ，则 叫做 的立方根（或三次方根） 在实数范围内 只有一个立方根，记作 举例 ， ， 次方根：如果 （ ），则 叫做 的 次方根 注意：（1）偶次方根： 正数的偶次方根有两个，互为相反数，记作： （ 为偶数）负数的偶次方根在实数范围内不存在 （2）奇次方根：正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，都表示为 （3）算术根：  正数的正 次方根叫做的 的 次算术根 4、根式：当 有意义时， 叫做根式， 叫做根指数 5、根式性质：（1） ；（2） 6、分数指数幂性质：（1） ； （2） ；（3） ②指数函数 1、定义：一般地，函数 ， 叫做指数函数。 2、指数函数的特征：（1）自变量在指数位置上； （2）系数为1，底数 ，如 不是指数函数 3、函数图像性质：   指数函数 ， 的图像性质 定义域 图像     值域 奇偶性 既不是奇函数也不是偶函数 过定点 单调性 在 上是增函数 在 上是减函数 函数值与1比较 时， 时， 时， 时， 图像与底数 的关系 在 轴右侧，底数 越大，图像弯向 轴       4、底数性质探究： 作直线 ，与四个函数图像均有一个交点， 并且交点的纵坐标依次为 观察图像即可得到大小关系为 ★经典例题： 例一、三个数 的大小顺序是        【 】 解： ，又知道 为增函数，当 时， 。 故当 时， ，即 。 例二、不等式 的解集是        【 】 解： ，原式可化简为 由于 是增函数，故函数值大的自变量也大，即 解得 例三、函数 的定义域为        【 】 解：根据定义要求，偶次方根下被开方数大于等于零，得到 ，由于 是增函数，故 ，即 例四、求值：（1） （2） 解：（1） （2） 例五、已知 ，则 =        ； =          【11；119】 解： 由于 ，两边平方得到 再将 ，两边平方得到 二、对数和对数函数 ①对数 1、定义：指数函数 中，对于 内的每一个值 ，在正实数集 内都有唯一的 值和它对应，反之，对于正实数集 内每一个确定的值 ，在 内都有唯一确定的值 和它对应，幂指数 ，又叫以 为底 的对数。 2、对数与指数的互化： 一般地，对于指数式 ，把“以 为底 的对数”，记作 即： ， 为对数的底数， 叫做真数          “ 的 次方等于 ” 对数式是指数式的另一种表达形式 指数                                      对数 底数 幂                                        真数 3、对数恒等式： ， ， 4、对数的性质： （1）0和负数没有对数： （2）1的对数为0： （3）底的对数等于1： 5、常用对数：以 为底的对数 ，简记为 以 为底的对数 ，简记为 6、对数运算法则：（1） 推广： （2） ；（3） （推广： ） 7、换底公式： ②对数函数 1、对数函数定义：一般地，函数 ， 叫做对数函数。 2、对数函数的特征：（1）自变量在真数位置上；（2）底数 ，真数大于0 3、对数函数的图像特征：   对数函数 ， 的图像性质 定义域 图像     值域 奇偶性 既不是奇函数也不是偶函数 过定点 单调性 在 上是增函数 在 上是减函数 函数值与1比较 时， 时， 时， 时， 图像与底数 的关系 在 轴右侧，底数 越大，图像弯向 轴       底数性质研究： ③指数函数和对数函数的关系 反函数定义：当一个函数是一一映射时，把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量，把这个函数的自变量作为新函数的因变量，称这两个函数互为反函数 的反函数通常用 表示 性质：（1）原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域 （2）若点 在原函数 ，则点 在反函数 上 （3）图像关于直线 对称 ★经典例题： 例一、 的值等于      【1】 解： 例二、（1）求值                 【0】 （2）若 ，求 值  【125】 解：（1） （2） 例三、 的值为        【1】 解： 例四、求值   【5】 解： 例五、求下列函数的定义域：（1） ；（2） 解：（1）满足 ，解得 （2）满足 ，即 解得 例六、已知 ，则(      ) 【A】 (A) ；      (B) ；  (C)         (D) 解：由于 是减函数，又有 故 ，而 是 上的增函数，则 。 例七、求实数 的取值范围：（1） （2） 解：（1）由于 在定义域内是减函数，故函数值小的，自变量反而大 即 （2） 可化简为 即 ，由于 是增函数 所以 ，即 例八、判断函数 的奇偶性 解：函数的定义域为 关于原点对称 ，即该函数为奇函数 例九、判断 的大小关系 解： 均为定义域上的增函数 由于 ，故 ；而 ，则 但 ，则 。 因此 例十、函数 的值域是          【 】 由于 在定义域上为单调递增函数，故将端点值代入即得到值域为 例十一、指数函数 的反函数为 ，则             【 】 解： 的反函数为 ，即 三、幂函数 1、幂函数的概念： 自变量在底数上（注意与指数函数比较）； 的系数为1 2、幂函数图像性质： 在第一象限中的图像性质 在 上都有意义，都过点 过原点，在 上是增函数 图像为立式 图像为卧式 不过原点，在 上是减函数 图像为坐式 轴 轴为渐近线 其他象限中的图像性质根据奇偶性来画出和得出         ★经典例题： 例一、比较大小       ；           【 】 解：对于函数 ，由于 ，故函数为增函数 由题知 ，则 对于函数 ，由于 ，故函数为减函数 由题知 ，故 例二、若函数 为幂函数，且 ，则     【 】 解：由于函数 为幂函数，则要求 又 ，则 ，故 该函数为 四、图像变换 图像变换 1． 平移变换 ； 左加右减----------------------在自变量 上的平移量 ； 上加下减-----------------------在 的异侧 注意：所有平移变换，都是在 上变化，如有倍数，需提出倍数，还原 ，再平移。 2． 对称变换 与 图像关于    轴    对称； 与 图像关于    轴    对称 与 图像关于    原点    对称； 与 图像关于        对称 3． 翻折变换 函数值小于零的部分沿着 轴翻着到轴上方，轴下方原有图像擦去不要 自变量大于零的部分沿着 轴翻着到轴左方，轴左方原有图像擦去不要 ★经典例题： 例一、将函数 的图像向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得函数的解析式为          【 】 解：对 化简整理得到 由题知，图像向右平移2个单位，再向上平移1个单位，即 ， 得到 例二、作出 的图像 解：