第四章 扭转的强度与刚度计算

第四章 扭转的强度与刚度计算 N,36.75kW一、 传动轴如图19-5(a)所示。主动轮A输入功率，从动轮B、C、DA N,N,11kW,N,14.7kW输出功率分别为，轴的转速为n=300r/min。试画出轴的扭BCD 矩图。 M MAM MCI DBIII II (a) II I III C D B A M BM MnnII(b) (c) M D M?nM ?nM BM C(d) 468N?m (e) 351N?m 702N?m 图19-5 解 (1)计算外力偶矩:由于给出功率以kW为单位，根据(19-1)式: N36.75AM,9550,9550，,1170(N?m) An300 N11BM,M,9550,9550，,351(N?m) BCn300 N14.7DM,9550,9550，,468(N?m) Dn300 (2)计算扭矩:由图知，外力偶矩的作用位置将轴分为三段:。现分BC、CA、AD 别在各段中任取一横截面，也就是用截面法，根据平衡条件计算其扭矩。 MM段:以表示截面?,?上的扭矩，并任意地把的方向假设为图19-5(b)BCn1n1 m,0所示。根据平衡条件得: ,x M，M,0 n1B M,,M,,351(N?m) n1B 结果的负号说明实际扭矩的方向与所设的相反，应为负扭矩。段内各截面上的BC 扭矩不变，均为351N?m。所以这一段内扭矩图为一水平线。同理，在段内: CA M，M,0M， ?nCB M,MM= ,= ,702(N?m) n?CB M,M,0段: ADn?D M,M,468(N?m) n?D 根据所得数据，即可画出扭矩图[图19,5(e)]。由扭矩图可知，最大扭矩发生在CA M,702段内，且N?m nmax 二、 如图19-15所示汽车传动轴AB，由45号钢无缝钢管制成，该轴的外径 41 D=90mm，壁厚t=2.5mm，工作时的最大扭矩M,1.5kN?m，材料的许用剪应力,[,]n 60MPa。求(1)试校核AB轴的强度;(2)将AB轴改为实心轴，试在强度相同的条件 下，确定轴的直径，并比较实心轴和空心轴的重量。 解 (1)校核AB轴的强度: dD,2t,,,DD 90,2，2.5,,0.94490 33,D,，90443W,(1,),(1,0.944),29400(mm),n 1616 轴的最大剪应力为 : M15002n6max(N/m),51MPa，[τ] ,,,,51，10max,9W29400，10n 故AB轴满足强度要求。 (2)确定实心轴的直径:按题意，要求设 计的实心轴应与原空心轴强度相同，因此要求 实心轴的最大剪应力也应该是 : ,,51(MPa) max D设实心轴的直径为，则 A 1B M15006n,,,,51，10 max,W3图19-15 nD116 1500，163D,,0.0531(m),53.1(mm) 16,，51，10 在两轴长度相同，材料相同的情况下，两轴重量之比等于其横截面面积之比，即 22A90,85空心,,0.31 2A53.1实心 dd三、 如图19-16所示的阶梯轴。段的直径=4cm，段的直径=7cm，外ABBC12 MM2 3 M1 1 2 (a) dd A C B 1m 0.8m Mn 0.8 .(kNm) (b) 42 1.5 图19-16 MM,力偶矩,0.8kN?m，=1.5kN?m，已知材料的剪切弹性模量,80GPa，试计算G13AC ,和最大的单位长度扭转角。 max 解 (1)画扭矩图:用截面法逐段求得: M,M,0.8kN?m n11 M,,M,,1.5kN?m n23 画出扭矩图[图19-16(b)] (2)计算极惯性矩: 44,d，4,41(cm) ,,,25.1IP13232 44,d，7,42(cm) ,,,236IP23232 ,(3)求相对扭转角:由于段和段内扭矩不等，且横截面尺寸也不相同，ABBCAC ,,,,故只能在两段内分别求出每段的相对扭转角和，然后取和的代数和，ABBCABBC ,即求得轴两端面的相对扭转角。 AC6Ml0.8，10，800n11,,,0.0318,(rad) AB34GI80，10，25.1，10p1 6Ml,1.5，10，1000n22,,,,,0.0079(rad) BC34GI80，10，236，10p2 ,,,，,,0.0318,0.0079,0.0239(rad)=1.37? ACABBC ,(4)求最大的单位扭转角:考虑在段和段变形的不同，需要分别计算其ABBCmax 单位扭转角。 ,0.0318AB 段 AB,,,0.0398(rad/m),2.28:/m,ABl0.81 ,,0.0079BC 段 ,,,,0.0079(rad/m),,0.453:/mBC,BCl1.02 ,负号表示转向与相反。 AB ,,所以 ,,2.28º/m maxAB 四、 实心轴如图19-17所示。已知该轴转速,300r/min，主动轮输入功率n NNNN=40kW，从动轮的输出功率分别为=10 kW，=12 kW，=18 kW。材料的剪CABD ,,,,,,切弹性模量,80GPa，若,50MPa，,0.3º/m，试按强度条件和刚度条件设计此G 轴的直径。 解 (1)求外力偶矩: N10AM,9550,9550，,318(N?m) An300 N12BM,9550,9550，,382(N?m) Bn300 N40CM,9550,9550，,1273( N?m) Cn300 43 N18DM,9550,9550，,573( N?m) Dn300 MMMC D B MA d (a) A B D C 573 + Mn ( b ) (N?m) 318 + 700 图19-17 (2) 求扭矩、画扭矩图: M,,M,,318 (N?m) n1A M,,M,M,,318,382,,700 (N?m) n2AB M,M,573 (N?m) n3D 根据以上三个扭矩方程，画出扭矩图[图19-17(b)]。由图可知，最大扭矩发生在段BC 内，其值为: N?m M,700nmax 因该轴为等截面圆轴，所以危险截面为段内的各横截面。 BC(3)按强度条件设计轴的直径:由强度条件: Mnmax[,]? ,,maxWn 3,d ,Wn16 316M16，700，10nmax33d,,,41.5(mm)得 ,,,,,，50 (4)按刚度条件设计轴的直径:由刚度条件: M180:nmax,[,]? :/m,，maxGI,p 4,d ,Ip32 332M，18032，700，10，180nmax44,,64.2(mm)得d? ,33,,,,G,80，10，，0.3，10为使轴同时满足强度条件和刚度条件，所设计轴的直径应不小于64.2mm。 五、 油泵分油阀门弹簧工作圈数,8，轴向压力,90N，簧丝直径=2.25mm，Pdn 44 D簧圈外径=18mm，弹簧材料的剪切弹性模量,82，,400。试校核簧丝,,,GGPaMPa1 强度，并计算其变形。 解(1)校核簧丝强度: 簧丝平均直径: D,D,d,18,2.25,15.75(mm) 1 弹簧指数: D15.75c,,,7,10 d2.25 由表19-1查得弹簧的曲度系数k=1.21，则 8PD8，90，15.75 ,,k,1.21,380(MPa),[,]max33d，2.25,, 该弹簧满足强度要求。 (2)计算弹簧变形: 338PDn8，90，15.75，8 ,,,10.7(mm),434Gd82，10，2.25 思 考 题 ,MMlnn 19-1 说明扭转应力，变形公式的应用条件。应用拉、压,,,,,dx,,oIGI,p 应力变形公式时是否也有这些条件限制, 19-2 扭转剪应力在圆轴横截面上是怎样分布的,指出下列应力分布图中哪些是正确的, 19-3 一空心轴的截面尺寸如图所示。它的极惯性矩I和抗扭截面模量W是否可pn按下式计算,为什么, 34,dD,D44W,(1,,), () ,I,(1,,)np16D32 19-4 若将实心轴直径增大一倍，而其它条件不变，问最大剪应力，轴的扭转角将如何变化, 19-5 直径相同而材料不同的两根等长实心轴，在相同的扭矩作用下，最大剪应力,I、扭转角和极惯性矩是否相同, ,maxP 19-6 何谓纯剪切,何谓剪应力互等定理, 45 MMn n MMn n d (b) (a) (c) (d) D 思考题19-2图 思考题19-3图 题 习 19-1 绘制图示各杆的扭矩图。 2MM M eeeM e (a) (b) 2kN?m 7kN?m 3kN?m 1kN?m 2kN?m 4kN?m 1kN?m (c) (d) 题19-1图 M19-2 直径为=5cm的圆轴，受到扭矩=2.15kN?m的作用，试求在距离轴心1cmDn 处的剪应力，并求轴截面上的最大剪应力。 mm 19-3 已知作用在变截面钢轴上的外力偶矩=1.8kN?m，=1.2kN?m。试求最大剪12应力和最大相对转角。材料的=80GPa。 G [,] 19-4 已知圆轴的转速=300r/min，传递功率330.75kW，材料的=60MPa，n =82GPa。要求在2m长度内的相对扭转角不超过1º，试求该轴的直径。 G m19-5 图示一圆截面直径为80cm的传动轴，上面作用的外力偶矩为=1000N?m，1mmm=600N?m，=200N?m，=200N?m，(1)试作出此轴的扭矩图，(2)试计算各段轴234 内的最大剪应力及此轴的总扭转角(已知材料的剪切弹性模量=79GPa);(3)若将外G mm力偶矩和的作用位置互换一下，问圆轴的直径是否可以减少, 12 19-6 发电量为15000kW的水轮机主轴如图所示，D=55cm，=30cm，正常转速d [,]=250r/min。材料的许用剪应力=50MPa。试校核水轮机主轴的强度。 n 46 φ75 mmmm2 1 4 3 m1 mφ50 2 C D A B 1m 2m 750 1.5m 500 题19-3图 题19-5图 D d D2 电机轴 d3 C 水轮机轴 1 12 ddDH A B 题19-6图 题19-7图 19-7 图示AB轴的转速=120r/min，从B轮输入功率N=44.15kW，此功率的一半n 通过锥形齿轮传给垂直轴C，另一半由水平轴H输出。已知D=60cm，D=24cm，d=10cm，121d=8cm，d=6cm，[,]=20MPa。试对各轴进行强度校核， 23 19-8 实心轴和空心轴通过牙嵌式离合器连接在一起。已知轴的转速=100r/min，n d传递的功率[,]=7.5kW，材料的许用应力=40MPa。试选择实心轴直径和内外径比值N11D为的空心轴的外径。 22 N,7.35 19-9 已知一皮带轮传动轴。主动轮由电动机输入功率kW，轮和轮ABCA N,4.41N分别带动两台水泵，消耗功率kW，=2.94kW，轴的转速r/min，轴的n,600BC [,][,]材料=20MPa，G=80GPa，=1º/m，试按强度和刚度条件确定轴的直径。 d d MA 2 2 1 Ddd MB MC 题19-9图 题19-8图 19-10 钢质实心轴和铝质空心轴(内外径比值α=0.6)的横截面面积相等。[][],,=80MPa，=50MPa。若仅从强度条件考虑，哪一根轴能承受较大的扭矩, 钢铝 47 N 19-11 传动轴的转速=500r/min，主动轮输入功率=367.5kW，从动轮2、3分In1 NN别输出功率=147kW，=220.5kW。已知=70MPa，[]=1º/m，80GPa(1)试[,],G,23 d确定段的直径d和BC段的直径。(2)若和两段选用同一直径，试确定直ABABBC12 径。(3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理。 d N1 NN2 3 A B C 2 3 1 500 400 题19-11图 19-12 图示圆轴的直径d=50mm，外力偶矩m=1kN•m，材料的G=82GPa。试求: 1)横截面上A点处(ρ=d/4)的剪应力和相应的剪应变; (A (2)最大剪应力和单位长度相对扭转角。 19-13 由厚度t=8mm的钢板卷制成的圆筒，平均直径为D=200mm。接缝处用铆钉 铆接。若铆钉直径d=20mm，许用剪应力[τ]=60MPa，许用挤压应力[σ]=160MPa，筒的jy两端受扭转力偶矩m=30kN?m作用，试求铆钉的间距s。 ρAs m d A O m 题19-13图 题19-12图 19-14 圆截面杆AB的左端固定，承受一集度为的均布力偶矩作用。试导出计算m 截面B的扭转角的公式。 19-15 受扭转力偶作用的圆截面杆，长l=1m，直径d=20mm，材料的剪切弹性模量 G=80GPa，两端截面的相对扭转角υ=0.1rad。试求此杆外表面任意点处的剪应变，横截 面上的最大剪应力和外加力偶矩m。 m γ m md A B l l 题19-15图 19-16 圆柱形密圈螺旋弹簧，簧丝横截面直径=18mm，弹簧平均直径D=125mm，d 弹簧材料的=80GPa。如弹簧所受拉力=500N，试求:(1)簧丝的最大剪应力;(2)PG 弹簧要几圈才能使它的伸长等于6mm。 48 19-17 拖拉机主离合器弹簧，在工作时受到的作用。已知弹簧平均直径P,780N =27mm。簧杆直径=5mm，许用剪应力=600MPa。试校核弹簧强度。若弹簧圈数[,]Dd =5.5，，试求弹簧的总变形。 G,81GPan 19-18 拖拉机通过方轴带动悬挂在后面的旋耕机，方轴的转速=720r/min，传递的n最大功率=25.73kW，截面为30×30mm，材料的=100MPa。试校核方轴的强度。 [,]N 49