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《基本初等函数》知识点
总结
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一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算
1.根式的概念:一般地,如果,那么叫做的次方根,其中>1,且∈*.
u
负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作。
当是奇数时,,当是偶数时,
2.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义,规定:
,
u
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
3.实数指数幂的运算性质
(1)·
;
(2)
;
(3)
.
(二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念:一般地,函数叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R.
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.
2、指数函数的图象和性质
a>1
定义域R
定义域R
值域y>0
值域y>0
在R上单调递增
在R上单调递减
非奇非偶函数
非奇非偶函数
函数图象都过定点(0,1)
函数图象都过定点(0,1)
注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
(1)在[a,b]上,值域是或;
(2)若,则;取遍所有正数当且仅当;
(3)对于指数函数,总有;
二、对数函数
(一)对数
1.对数的概念:一般地,如果,那么数叫做以为底的对数,记作:(—底数,—真数,—对数式)
说明:1注意底数的限制,且;
2;
3注意对数的书写
格式
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.
两个重要对数:
1常用对数:以10为底的对数;
2自然对数:以无理数为底的对数的对数.
u
指数式与对数式的互化
幂值
真数
=N=b
底数
指数
对数
(二)对数的运算性质
如果,且,,,那么:
1·+;
2-;
3
.
注意:换底
公式
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(,且;,且;).
利用换底公式推导下面的结论
(1);(2).
(二)对数函数
1、对数函数的概念:函数,且叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
注意:1对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如:,
都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.
2对数函数对底数的限制:,且.
2、对数函数的性质:
a>1
定义域x>0
定义域x>0
值域为R
值域为R
在R上递增
在R上递减
函数图象都过定点(1,0)
函数图象都过定点(1,0)
(三)幂函数
1、幂函数定义:一般地,形如的函数称为幂函数,其中为常数.
2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1);
(2)时,幂函数的图象通过原点,并且在区间上是增函数.特别地,当时,幂函数的图象下凸;当时,幂函数的图象上凸;
(3)时,幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内,当从右边趋向原点时,图象在轴右方无限地逼近轴正半轴,当趋于时,图象在轴上方无限地逼近轴正半轴.
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