2 向量的线性相关性

2 向量的线性相关性2 向量的线性相关性辽东学院教案纸课程:高等代数第6.2.1页 ?2 向量的线性相关性教学目的通过2学时的导学，使学生理解、掌握向量线性相关性的基本概念与替换定理，提高其数学学习的自学能力( 教学内容在向量空间中，向量的线性相关性极为重要，本节对之作些阐述，请同学们结合第三章?2自学( 以下谈到向量空间V，都指V是某一给定数域F上的向量空间( 2.1 基本概念定义1 设α，α，…，α ?V，k，k，…，k?F(我们把12r12rβ=kα+kα+…+kα叫做向量α，α，…，α...

2 向量的线性相关性辽东学院教案纸课程:高等代数第6.2.1页 ?2 向量的线性相关性教学目的通过2学时的导学，使学生理解、掌握向量线性相关性的基本概念与替换定理，提高其数学学习的自学能力( 教学内容在向量空间中，向量的线性相关性极为重要，本节对之作些阐述，请同学们结合第三章?2自学( 以下谈到向量空间V，都指V是某一给定数域F上的向量空间( 2.1 基本概念定义1 设α，α，…，α ?V，k，k，…，k?F(我们把12r12rβ=kα+kα+…+kα叫做向量α，α，…，α 的一个线性组1122rr12r 合，也称β可以由α，α，…，α 线性表示( 12rn同学们可以举出F中线性表示的许多例子(显然，在V中，零向量可以由任意一组向量α，α，…，α 线性表示(考虑这样表12r 示的分类，我们引入定义2 设α，α，…，α?V(若存在F上的不全为零的数12t k，k，…，k，使得 12t k,，k,，？，k,,,， (1) 1122tt 则称向量组{α，α，…，α}线性相关;否则，即等式(1)仅当k=k=…12t12=k=0时才成立，则称向量组{，，…，}线性无关( αααt12t 根据这个定义，若向量α，α，…，α 中有一个是零向量，12t 则{α，α，…，α}线性相关( 12t 单独一个非零向量α线性无关，因为由kα=, 而α?,，必有k =0( nF中向量线性相关性的例子，请同学们复习第三章?2及其习题( 例1 在向量空间F[x]中，对于任意非负整数n，向量组 n1，x，，x …n线性无关，因为由a+ax+…+ax=0必然有a=a=…=a=0( 01n01n 由定义容易直接推导出以下一些简单事实( 命题6.2.1 向量组{α，α，…，α }中每一个向量α都可以12ti由这一组向量线性表示( 命题6.2.2 若向量组{α，α，…，α }线性无关，则它的任12t 意一个非空部分组也线性无关(其等价的提法是:若向量组{α,α1,…,α}有一部分向量组线性相关，则整个向量组{α，α，…，α2t12}也线性相关( t 辽东学院教案纸课程:高等代数第6.2.2页命题6.2.3 若向量可以由β，β，…，β 线性表示，而每一,12t , 个β又都可以由α，α，…，α线性表示，则可以由α，α，…，i12s12α线性表示( sts 证由，得 ,,b,和,,a,,i,1,？,t,,iiiijj,1,1ij tsst,,,ba,ba,,,( ,,,,,,iijjiijj,1,,,111ijji,, 命题6.2.4 设向量组{α，α，…，α }线性无关，而{α，α12r1，…，α，β}线性相关(则β一定可由α，α，…，α线性表示( 2r12r 证因为α，α，…，α，β线性相关，所以存在不全为零的12r 数k，k，…，k，k，使得 12r kα+kα+…+kα+kβ=θ( 1122rr 假如k=0，则上面的等式变成 kα+kα+…+kα =θ， 1122rr 并且k，k，…，k 中至少有一个不等于零，与α，α，…，α12r12r线性无关的假设矛盾(因此k?0，从而 kkk12r,,,,,,,？,,( 12rkkk 注进而可证上面命题6.2.4中的,可唯一地由α，α，…，α12r线性表示( 下面的定理说明线性相关与线性组合这两个概念之间的密切关系( 定理6.2.1 向量α，α，…，α(r?2)线性相关，必要且只要12r 其中一个向量是其余向量的线性组合( 证设α，α，…，α线性相关，则存在不全为0的k，k，…，12r12k?F，使得 r kα+kα+…+kα =θ， 1122rr 不妨设k?0，则 r kkk12r,1a( ,,,,,,？,,r12r,1kkkrrr 因此，α 可由α，α，…，α线性表示( r12r,1 反过来，设α，α，…，α中某一向量，例如α，是其余向12rr量的线性组合: α =kα+kα +…+kα， r1122r ,1r,1 则 kα+kα+…+kα+(,1)α =θ( 1122r,1r,1r 因为α 的系数不等于零，所以α，α，…，α线性相关( r12r 辽东学院教案纸课程:高等代数第6.2.3页定义3 设{α，α，…，α}和{β，β，…，β}是向量空12r12s 间V的两个向量组(若每一个α可由β，β，…，β线性表示，i12s而每一个也可由，，…，线性表示，则称这两个向量组βαααj12r 等价( 例2 向量组 α=(1,2,3), α=(1,0,2) 12 与向量组 β=(3,4,8),β=(2,2,5),β=(0,2,1) 123 等价(其解法已在第三章阐述，请同学们自己思考完成( 由命题6.2.3，向量组等价的概念显然具有传递性:若{α，α，…，12α }与{β，β，…，β}等价，而后者又与{γ，γ，…，γ } 等r12s 12t价，则{，，…， }与{γ，γ，，γ }等价( ααα…12r12t 2.2 替换定理定理6.2.2(替换定理) 设向量组 {α，α，…，α } (2) 12r 线性无关，并且每一个α都可以由向量组 i {β，β，…，β} (3) 12s 线性表示,则r ?s;并且必要时对(3)中向量重新编号，使得用α,α1,…，α替换β，β，…，β后，所得的向量组 2r12r {α，α，…，α，β，…，β } (4) 12rr+1s与(3)等价( 证对(2)中向量个数r用数学归纳法证明( 当r=1时，{α}线性无关，所以α?，且1?s ，α可以由,111(3)线性表示: =bβ++bβ( α…111 ss 因为α?θ，所以至少有一b?0，不妨设b?0，于是 1i1 bb12s( ,,,,,,,？,112sbbb111 α可以由{β，β，…，β }线性表示，β可以由{α，β，…，112r112β }线性表示(所以易见向量组{α，β，…，β }与(3)等价( s12s 假设r,1，并且定理对于(2)中含有r,1个向量的情形已经成立，那么对于(2)中含有r个向量的情形(由于α，α，…，α 线性无12r关，所以由命题6.2.2，，，…，也线性无关(于是由归纳ααα12r,1 假设，r,1?s，并且可以认为，用α，α，…，α替换(3)中前r12r,1 辽东学院教案纸课程:高等代数第6.2.4页 ,1个向量，得到一个与(3)等价的向量组 {α，α，…，α，β，β，…，β}( (5) 12r,1rr+1s由于可以由(3)线性表示，所以由命题6.2.3，它也可以由与(3)等αr 价的向量组(5)线性表示(因此有 ,r1s ( (6) ,,k,，b,,,riijj,,i1jrr,1 若所有的b都等于零，则(6)式变为，因而α可以由 ,,k,j r,riii,1 α，α，…，α 线性表示(由定理6.2.1，这与向量组(2)线性无12r-1 关的假设矛盾(因此至少有一个b?0(这就证明了r,1

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