2 向量的线性相关性
辽 东 学 院 教 案 纸 课程:高等代数 第6.2.1页
?2 向量的线性相关性
教学目的 通过2学时的导学,使学生理解、掌握向量线性相关性的基本概念与替换定理,提高其数学学习的自学能力(
教学内容
在向量空间中,向量的线性相关性极为重要,本节对之作些阐述,请同学们结合第三章?2自学(
以下谈到向量空间V,都指V是某一给定数域F上的向量空间(
2.1 基本概念
定义1 设α,α,…,α ?V,k,k,…,k?F(我们把12r12rβ=kα+kα+…+kα叫做向量α,α,…,α 的一个线性组1122rr12r
合,也称β可以由α,α,…,α 线性
表
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示( 12rn同学们可以举出F中线性表示的许多例子(显然,在V中,零向量可以由任意一组向量α,α,…,α 线性表示(考虑这样表12r
示的分类,我们引入
定义2 设α,α,…,α?V(若存在F上的不全为零的数12t
k,k,…,k,使得 12t
k,,k,,?,k,,,, (1) 1122tt
则称向量组{α,α,…,α}线性相关;否则,即等式(1)仅当k=k=…12t12=k=0时才成立,则称向量组{,,…,}线性无关( αααt12t
根据这个定义,若向量α,α,…,α 中有一个是零向量,12t
则{α,α,…,α}线性相关( 12t
单独一个非零向量α线性无关,因为由kα=, 而α?,,必有k =0(
nF中向量线性相关性的例子,请同学们复习第三章?2及其习题(
例1 在向量空间F[x]中,对于任意非负整数n,向量组
n1,x,,x …n线性无关,因为由a+ax+…+ax=0必然有a=a=…=a=0( 01n01n
由定义容易直接推导出以下一些简单事实(
命题6.2.1 向量组{α,α,…,α }中每一个向量α都可以12ti由这一组向量线性表示(
命题6.2.2 若向量组{α,α,…,α }线性无关,则它的任12t
意一个非空部分组也线性无关(其等价的提法是:若向量组{α,α1,…,α}有一部分向量组线性相关,则整个向量组{α,α,…,α2t12}也线性相关( t
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命题6.2.3 若向量可以由β,β,…,β 线性表示,而每一,12t
, 个β又都可以由α,α,…,α线性表示,则可以由α,α,…,i12s12α线性表示( sts
证 由,得 ,,b,和,,a,,i,1,?,t,,iiiijj,1,1ij
tsst,,,ba,ba,,,( ,,,,,,iijjiijj,1,,,111ijji,,
命题6.2.4 设向量组{α,α,…,α }线性无关,而{α,α12r1,…,α,β}线性相关(则β一定可由α,α,…,α线性表示( 2r12r
证 因为α,α,…,α,β线性相关,所以存在不全为零的12r
数k,k,…,k,k,使得 12r
kα+kα+…+kα+kβ=θ( 1122rr
假如k=0,则上面的等式变成
kα+kα+…+kα =θ, 1122rr
并且k,k,…,k 中至少有一个不等于零,与α,α,…,α12r12r线性无关的假设矛盾(因此k?0,从而
kkk12r,,,,,,,?,,( 12rkkk
注 进而可证上面命题6.2.4中的,可唯一地由α,α,…,α12r线性表示(
下面的定理说明线性相关与线性组合这两个概念之间的密切关系(
定理6.2.1 向量α,α,…,α(r?2)线性相关,必要且只要12r
其中一个向量是其余向量的线性组合(
证 设α,α,…,α线性相关,则存在不全为0的k,k,…,12r12k?F,使得 r
kα+kα+…+kα =θ, 1122rr
不妨设k?0,则 r
kkk12r,1a( ,,,,,,?,,r12r,1kkkrrr
因此,α 可由α,α,…,α线性表示( r12r,1
反过来,设α,α,…,α中某一向量,例如α,是其余向12rr量的线性组合:
α =kα+kα +…+kα, r1122r ,1r,1
则
kα+kα+…+kα+(,1)α =θ( 1122r,1r,1r
因为α 的系数不等于零,所以α,α,…,α线性相关( r12r
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定义3 设{α,α,…,α}和{β,β,…,β}是向量空12r12s 间V的两个向量组(若每一个α可由β,β,…,β线性表示,i12s而每一个也可由,,…, 线性表示,则称这两个向量组βαααj12r
等价(
例2 向量组
α=(1,2,3), α=(1,0,2) 12
与向量组
β=(3,4,8),β=(2,2,5),β=(0,2,1) 123
等价(其解法已在第三章阐述,请同学们自己思考完成(
由命题6.2.3,向量组等价的概念显然具有传递性:若{α,α,…,12α }与{β,β,…,β}等价,而后者又与{γ,γ,…,γ } 等r12s 12t价,则{,,…, }与{γ,γ,,γ }等价( ααα…12r12t
2.2 替换定理
定理6.2.2(替换定理) 设向量组
{α,α,…,α } (2) 12r
线性无关,并且每一个α都可以由向量组 i
{β,β,…,β} (3) 12s
线性表示,则r ?s;并且必要时对(3)中向量重新编号,使得用α,α1,…,α替换β,β,…,β后,所得的向量组 2r12r
{α,α,…,α,β,…,β } (4) 12rr+1s与(3)等价(
证 对(2)中向量个数r用数学归纳法证明(
当r=1时,{α}线性无关,所以α?,且1?s ,α可以由,111(3)线性表示:
=bβ++bβ( α…111 ss
因为α?θ,所以至少有一b?0,不妨设b?0,于是 1i1
bb12s( ,,,,,,,?,112sbbb111
α可以由{β,β,…,β }线性表示,β可以由{α,β,…,112r112β }线性表示(所以易见向量组{α,β,…,β }与(3)等价( s12s
假设r,1,并且定理对于(2)中含有r,1个向量的情形已经成立,那么对于(2)中含有r个向量的情形(由于α,α,…,α 线性无12r关,所以由命题6.2.2,,,…,也线性无关(于是由归纳ααα12r,1
假设,r,1?s,并且可以认为,用α,α,…,α替换(3)中前r12r,1
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,1个向量,得到一个与(3)等价的向量组
{α,α,…,α,β,β,…,β}( (5) 12r,1rr+1s由于 可以由(3)线性表示,所以由命题6.2.3,它也可以由与(3)等αr
价的向量组(5)线性表示(因此有
,r1s
( (6) ,,k,,b,,,riijj,,i1jrr,1
若所有的b都等于零,则(6)式变为,因而α可以由 ,,k,j r,riii,1
α,α,…,α 线性表示(由定理6.2.1,这与向量组(2)线性无12r-1
关的假设矛盾(因此至少有一个b?0(这就证明了r,1
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