微观经济学计算题

微观经济学计算题 第二章 需求、供给 计算题 1、 假设X商品的需求曲线为直线，Q=40,0.5P,Y商品的需求曲线也为直线,X与Y的需求线在Px=8XX, 在Px=8的那一点上,X的需求弹性的绝对值只有的Y的需求弹性的绝对值的一半，的那一点相交, 请根据上述条件求Y的需求函数。 解:当P=8时,Q=36,且|E|=1/9,故|E|=2/9,设Y商品的需求函数为Q=a-bP, XXXYYY 由此可得b=1,由于36=a-8,得a=44,故Y商品的需求函数为Q=44-P. YY2、 某人每周收入120元，全部花费在X和Y两种商品上，他的效用函数为U=XY，P=2元，P=3元。XY求(1)为获得最大效用，他会购买几单位X和Y,(2)货币的边际效用和总效用各多少,(3)假如X的价格提高44%，Y的价格不变，为使他保持原有的效用水平，收入必须增加多少, 解:(1)由U=XY，得MU=Y，MU=X，根据消费者均衡条件得Y/2=X/3 XY 考虑到预算方程为2X+3Y=120 解得X=30，Y=20 (2)货币的边际效用λ=MU/P=Y/P=10 XXX 总效用TU=XY=600 (3)提价后P=2.88 新的消费者均衡条件为Y/2.88=X/3 X 由题意知XY=600，解得X=25，Y=24 将其代入预算方程M=2.88×25+3×24=144元 ΔM=144-120=24元 因此，为保持原有的效用水平，收入必须增加24元。 3、证明需求曲线P=a/Q上的点均为单一弹性 -2-2-1证明:dQ/dP=-aP, E=(dQ/dP)(P/Q)=(-aP)(P/aP)=-1, 故| E|=1，为单一弹性。 dd 4、1986年7月某外国城市公共汽车票价从32美元提高到40美元,1986年8月的乘客为880万次,与1985年同期相比减少了12%,求需求的弧弹性. 解:由题设, P=32, P=40, Q=880 122 Q=880/(1-12%)=880/88%=1000 1 1 于是,Ed=[(Q-Q)/( P-P)]×[(P+P)/(Q+Q)]?-0.57 21211212 故需求弹性约为-0.57. 5、设汽油的需求价格弹性为-0.5，其价格现为每加仑1.20美元，试问汽油价格上涨多少才能使其消费量减少10,, 解:因为(dQ/Q)?(P/dP)=-0.5 要使dQ/Q=-10%，则有dP/P=1/5 dP=1.2×0.2=0.24 所以每加仑汽油价格要上涨0.24美元 6、某电脑公司生产的芯片的需求弹性为-2，软盘驱动器的弹性为-1，如果公司将两种产品都提价2%，那么这些产品的销售将会怎样变化, 解:因为芯片弹性(dQ/Q)?(P/dP)=-2 所以dQ/Q=-2×2%=-4% 因为软盘驱动器弹性(dQ/Q)?(P/dP)=-1 所以dQ/Q=-1×2%=-2% 即提价2%后，芯片销售下降4%，软盘驱动器销售下降2%。 7、消费x,y两种商品的消费的效用函数为:u=xy, x,y的价格均为4，消费者的收入为144，求x价格上升为9，所带来的替代效应和收入效应。 解:Mu=y Mu=x 因为Mu/Px=Mu/Py 得X=y xyxy 又因为4X+4y=144 得X=y=18 购买18单位x与18 单位y，在x价格为9时需要的收入M=234 在实际收入不变时，Mu/Mu=Px/Py=y/x=9/4 且9x+4y=234 xy 得x=13，可以看出由于替代效应对X商品的购买减少5单位。 再来看价格总效应，当Px=9,Py=4时，Mu=y Mu=x Y/x=9/4且 9x+4y=144 xy 得X=8 y=18 由此可见价格总效应使X商品的购买减少10单位，收入效应与替代效应各为5单位。 8、某消费者消费X和Y两种商品时，无差异曲线的斜率处处是Y/X，Y是商品Y的消费量，X是商品X的消费量。(1)说明对X的需求不取决于Y的价格，X的需求弹性为1;(2)P=1，P=3，该消XY费者均衡时的MRS为多少,(3)对X的恩格尔曲线形状如何,对X的需求收入弹性是多少, XY 解:(1)消费者均衡时，MRS=Y/X=P/P，即PX=PY， XYXYXY 又因为PX+PY=M，故X=M/2P，可见对X的需求不取决于Y的价格。 XYX 2 由于dX/dP=-M/2P |E|=-(dX/dP)(P/X)=1 XXXXX 2 (2)已知P=1，P=3，消费者均衡时，MRS=P/P=1/3。 XYXYXY (3)因为X=M/2P，所以dX/dM=1/2P， XX 若以M为纵轴，X为横轴，则恩格尔曲线是从原点出发，一条向右上方倾斜的直线，其斜率是dM/dX =2P。 X 对X的需求收入弹性E=(dX/dM)(M/X)=1 M 29、已知销售商品X的总收益(R=PQ)方程为:R=100Q-2Q，计算当边际收益为20时的点价格弹性。 2解:由R=100Q-2Q，得MR=dR/Dq=100-4Q 2 当MR=20时，Q=20，考虑到R=PQ=100-2Q，得P=100-2Q=60 E=(dQ/dP)?(P/Q)=(-1/2)?(60/20)=-3/2 d 10、X公司和Y公司是机床行业的两个竞争者，这两家公司的主要产品的需求曲线分别为:P=1000-5Q，P=1600-4Q，这两家公司现在的销售量分别为100单位X和250单位Y。(1)求X和YXXYY 当前的价格弹性;(2)假定Y降价后，使Q增加到300单位，同时导致X的销售量Q下降到75单YX位，试问X公司产品X的交叉价格弹性是多少,(3)假定Y公司的目标是谋求销售收入最大化，你认为它降价在经济上是否合理, 解:(1)P=1000-5Q=1000-5×100=500 XX P=1000-5Q=1600-4×250=600 YY E=(dQ/dP)?(P/Q)= (-1/5)?(500/100)=-1 dXXXXX E=(dQ/dP)?(P/Q)= (-1/4)?(600/250)=-3/5 dYYYYY (2)由题设，Q’=300,Q’=75 YX 则 P’=1600-4Q’=400 ΔQ=-25, ΔQ=-200 YYXY 于是E=(ΔQ/ΔP)?[(P+P’)/2]?[2/(Q+Q’)]=5/7 XYXYYYXX (3)根据(1)得知Y公司产品在价格P=600时,需求价格弹性为-3/5,说明缺乏弹性, 这时降价会使销售收入减少,故降价不合理. 第三章 消费者行为理论 计算题 21、某人每周花 360元买X和Y,Px=3,Py=2,效用函数为:U=2XY,求在均衡状态下,他如何购买效用最大? 3 2解:max:U=2XY S.T 360=3X+2Y 2构造拉格朗日函数得:W=2XY+λ(360-3X-2Y) 3λ=0 dW/Dx=MUx-3λ=4xy- 2dW/Dy=MUy-2λ=2x-2λ=0 求得:4Y=3X,又360=3X+2Y,得X=80,Y=60 32、求最佳需求，maxU=X+(X-1)/3 12 S.T 4X+4X=8 12 3(1) 如果效用函数变为U=3X+(X-1),而预算约束不变则最佳需求会改变吗, 12 (2)如果效用函数不变，而预算约束变为2X+2X=4, 则最佳需求会改变吗, 12 3(解:运用拉格朗日函数，L=X+(X-1)/3+λ(8-4X-4X) 1212 dL/dX=1-4λ=0 1 22_ dL/dX=(x1)-4λ=0 显然，(X-1)=1,求得:X=0,X=2;或X=2, X=0 2222121 代入总效用函数,可将X=2, X=0舍去,因此最佳需求为X=0,X=2 2121 3 当U=3X+(X-1)时，同理求得X=2,X=0,即最佳需求不变. 1212 当预算约束变为2X+2X=4时,同理求得:X=2,X=0,最佳需求也不变. 1212 3、某人的收入为10000元，全部用于购买商品X和商品Y(各自的价格分别为50、20元)，其效用 2函数为u=xy。假设个人收入税率为10%，商品X的消费税率为20%。为实现效用极大化，该人对商 品x、y的需求量应分别为多少, 解:M=10000(1-10%)=9000 Px=50(1+20%)=60 Py=20 2 预算约束式:60x+20y=9000 由此可得 y=450-3x 代入u=xy的得 32u=9(x-300x+22500x) 2 由du/dx=9(3x-600x+22500)=0得 x=150 x=50 由于x=150时,u=0不合题义，所以该人需求量为x=50，y=300。 121 4 4、所有收入用于购买x,y的一个消费者的效用函数为u=xy，收入为100，y的价格为10，当x的价格由2上升至8时，其补偿收入(为维持效用水平不变所需的最小收入)是多少, 解:最初的预算约束式为 2x+10y=100 效用极大化条件MU/Mu=P/P=2/10 xyxy 由此得y/x=1/5 x=25,y=5,u=125 价格变化后，为维持u=125效用水平，在所有组合(x,y)中所需收入为 125/x m=8x+10y=8x+10? 最小化条件(在xy=125的约束条件下) -2dm/dx=8-1250x=0 解得x=12.5,y=10,m=200 45、若某消费者的效用函数为U=XY，他会把收入的多少用于商品Y上, 44343解:由U=XY，得MU=Y，MU=4XY，根据消费者均衡条件得Y/P=4XY/P， XYXY 变形得:PX=(1/4)PY，将其代入预算方程得PY=(4/5)M， XYY 即收入中有4/5用于购买商品Y。 6、设某消费者的效用函数为U(x,y)=2lnx+(1-α)lny;消费者的收入为M; x,y两商品的价格分别为P，P;求对于X、Y两商品的需求。 XY 解: 构造拉格朗日函数L=2lnX+(1-α)lnY+λ(M-PX-PY) XY 对X 、Y 分别求一阶偏导得2Y/(1-α)X=P/P代入PX+PY=M XY XY 得:X=2M/(3-α) P Y=(1-α)M/(3-α) P XY 7、某人的效用函数依赖于全年不劳动的闲暇天数X，和对商品Y的消费量，购买Y的支出全部来源于其劳动天数L所得的工资。假设日工资为100元，商品Y的价格为50元，问该人若想实现效用最 23大化(U=XY)，则他每年应安排多少个劳动日, 解:预算约束式为50Y=100L， 即Y=2L=2(365-X) 23构造拉格朗日函数L= XY-λ(Y +2X -730) 对X 、Y 分别求一阶偏导得Y =3X ，进而得X =146，Y =438，L =219, 5 即该人每年应安排219个工作日. 32 8、消费X ，Y两种商品的消费者的效用函数为 U = XY，两种商品的价格分别为 P = 2 ，P= 1 ，XY 消费者收入为 M = 20 ，求其对 X ，Y 的需求量。 PX + PY = M 解:XY 2X + Y = 20 32345U = X(20-2X) = 400X — 80X + 4X 23 4效用极大 1200X -320X+ 20X = 0 解得X= 0 ，X= 6 ，X = 10 1 2 3 X = 0或10时U = 0 ，不合题意 所以X = 6 ，Y = 8 。 9、令消费者的需求曲线为P=a-bQ,a,b>0,并假定每单位商品征收t 单位的销售税，使得他支付的价 格提高到P(1+t)。证明，他的消费者剩余的损失将总是超过政府因征税提高的收益。 解:设价格为P时，消费者的需求量为Q，由P=a-bQ,得Q= (a-P)/b。 111 又设价格为P(1+t)时，消费者的需求量为Q，则Q=[a-P(1+t)]/b 22 消费者剩余的损失 Q1Q2=?(a-bQ)dQ-PQ-[?(a-bQ)dQ-P(1+t)Q] 0102 Q2=?(a-bQ)dQ+ P(1+t)Q-PQQ121 2Q2=(aQ-bQ/2)?+ P(1+t)Q-PQQ121 政府征税而提高的收益= P(1+t)Q-PQ21 消费者剩余损失—政府征税得到的收益 2Q222=(aQ-bQ/2)?=(aQ-bQ/2)- (aQ-bQ/2) Q11122 22=(2tP+tP)/2b 22因为b、t、P>0 所以(2tP+tP)/2b>0 因此，消费者剩余的损失要超过政府征税而提高的收益。 第四章 生产者行为理论 计算题 221、生产函数为Q=LK-0.5L+0.08K，现令K=10，求出AP和MP 。 LL 6 解:AP=10-0.5L+8/L，MP=K-L=10-L LL 2、假定某大型生产企业，有三种主要产品X、Y、Z，已知它们的生产函数分别为: 0.40.40.1 Q=1.6LCM X 21/2Q=(0.4LCM) Y Q=10L+7C+M Z 试求这三种产品的生产规模报酬性质. 0.40.40.10.9解:f(λL,λC,λM)= 1.6(λL)(λC)(λM)=λQ XX 产品X的规模报酬递减 21/22(λC)(λM)]=λQ f(λL,λC,λM)= [0.4(λL)YY 产品Y的规模报酬递增 f(λL,λC,λM)= 10λL+7λC+λM=λQ ZZ 产品Z的规模报酬不变 3、已知生产函数为Q=f(K，L)=10KL/(K+L)，求解(1)劳动的边际产量及平均产量函数;(2)劳动边际产量的增减性。 22解:(,)劳动的边际产量MP=dQ/dL=10K/(K+L), L 劳动的平均产量AP=Q/L=10K/(K+L) L 22 (b)因为MP=10K/(K+L),得: L 24 d(MP)/dL=[-10K×2(K+L)]/(K+L) L 23 =-20K/(K+L)<0 所以边际产量函数为减函数。 4、某企业使用资本和劳动生产一种小器具，在短期中，资本固定，劳动可变，短期生产函数为,, ,,,,，,,,，,,,,, 其中，,是小器具的每周生产量，,是雇佣工人的数量，每个工人一周工作,,小时，工资率为,,元,小时。 (A)计算企业在下列情况下,的取值范围:? 第一阶段;? 第二阶段;? 第三阶段 (B)使企业愿意保持短期生产的最低产品价格是多少, (C)产品以一定的价格出售，使得企业每周可能的最大纯利是,,,,元，为了获得这样多的利润，必须雇佣,,个工人，问企业的总固定成本是多少, 7 解:,.区分三个生产阶段,关键在于确定AP最大和MP,,所对应的数值: ,,,,,,，,,,，,,, 所以,,,,,,,,,,，,,,令其为0得:L,,,检验当L,,,时AP是上升的。 ,,,,,，,,,，,,,,, MP ,所以 ,,,,,,,,,, 所以 ,,,,时 ,,,, 当,,20时,,,,,,,,,,，,,,, 所以 ,,对于所有的,,,,均小于零。 因此:?第一阶段 ,,,,,, 第二阶段 ,,,,,,, (2) (3)第三阶段 ,,,, B.当,,,,,,,,时应停产。,,,,,,与,,,,,是一致的。 从,可知:,,,,, 而,,,,时，由生产函数算出,,,,,,。 每周工资,,,,元×,,,,,,元 ,,,,,,,,,,(,,元 所以最低价格是,(,,元。 C.要使利润最大，应使,,,,,,,,×,, 所以,,,,,, ,,,,时，,,,,, ,,,,,, ,,,元 , 由生产函数知,,,,时，,,,,,, 因此 总收益,,元×,,,,,,,,,,元 ,,,,,,,元×,,,,,,,,元 所以,,,，利润,,,,,元 若利润,,,,,元，则,,,,,,,,元 5、某企业仅生产一种产品，唯一可变要素是劳动，也有固定成本。短期生产函数为 ,, ,,,,.,,，,,，,,,， 其中，,是每周产量，单位为吨，,是雇佣工人数，问: ,.劳动的平均实物产量最大时，需雇佣多少工人, B.劳动的边际实物产量最大时，需雇佣多少工人, 8 C.平均可变成本最小时，生产多少,, D.每周工资,,,元，,的价格为,,元,吨，利润最大时，生产多少,, E.如果工资为每周,,,元，,的价格多大时，企业不扩大或减小生产。 ,的价格,,元,吨，总固定成本,,,,,元，若企业发现只值得雇佣,,个工人，每周纯利F. 润是多少, ,,解:,.由生产函数X,,,.1L，,,，,,,得 ,,,,,,,.,,，,,，,, 所以令,(,,,),,,,,,.,,，,,,则,,,, ,B.由生产函数得,,,,,,,,.,,，,,,，,, ,,令,,,,,,,,.,,，,,,,所以,,,, C.由,知:,,,,时，,,,最大，此时,,,,最小。 由该生产函数求得:,,,,时，,,,,,, D.利润最大的条件是:,,,,,×,,,, ,,,,,,,,,,.,,，,,,，,,,,, 所以,.,,,,,所以,,,, 既然,,,,时，,,,,,(见,部分)所以进行生产是合算的。 当,,,,时，,,,,,, E.停止扩大生产点是,,的最大点，因此由(,)知，,,,, 利润最大的条件是:,,,,,, L,,,时，,,,,,,,,,,,,所以,,,元 F.,,,,,,当,,,,时，,,,,,(,,,,,, 所以,,,,,当,,,,，,,,,,,(, 总收益,,,,,(,×,,,,,,,, ,,,,,,,×,,,,,,,, 所以,,,，利润,,,,,, ,,,,,,,,, 利润,,,,元 9 3 2 6、 假定某厂商只使用一种生产要素劳动进行生产，生产函数为q=-0.1L+6L+12L, 求:a.劳动的平均产量最大时厂商雇佣的劳动量 b.劳动的边际产量最大时厂商雇佣的劳动量。 2 2 解:因为AP=q/L=-0.1L+6L+12, dAP/dL =-0.2L+6=0, L=30. MP= dq/dL=-0.3L+12L+12, L LL +12=0, 则L=20. dMP/dL=-0.6LL 3/85/87、 已知厂商的生产函数为Q=LK，又设P=4元, P=5元,求该厂商生产200单位产品时，应使用LK 多少单位的L和K才能使成本降至最低, -5/85/83/8-3/8解:MP=(3/8)LK， MP=(5/8)LK LK 要实现成本最小化，即要求MP/MP=P/P=4/5，可得L=(3/4)K LKLK 3/85/8-3/85/8 于是有(3K/4)K=200，因此K=200(3/4)，L=200(3/4) ,,8、 证明在柯布—道格拉斯生产函数Q=AKL中，,、,分别为资本和劳动的产出弹性。 αβ证明:柯布—道格拉斯生产函数记为:Q=ALK， E=(dQ/dL)?(L/Q)=(α/L)?Q?(L/Q)=α L E=(dQ/dK)?(K/Q)=(β/K)?Q?(K/Q)=β K 计算题 21、某企业的平均可变成本为AVC=X-30X+310，AVC为平均可变成本，X为产量，当市场价格为310时，该企业利润为0，问该企业的固定成本是多少, 解:因为利润π=TR-TC=(P-AC)Q 且当P=310时，π=0，得AC=310 2232 AFC=AC-AVC=310-(X-30X+310)=-X+30X，所以TFC=-X+30X 322 考虑到MC=d(TVC)/dX= d(X-30X+310X)/dX=3X-60X+310 32 根据P=MC=AC，得产量X=20，因此TFC=-X+30X=4000 该企业的固定成本是4000单位。 232、某企业短期总成本函数为STC=1000+240q-4q+(1/3)q。(1)当SMC达到最小值时的产量是多少,(2)当AVC达到最小值时的产量是多少, 22解:(1)SMC=dSTC/dq=240-8q+q=(q-4)+224 所以当q=4时SMC达最小值 22(2)AVC=(STC-AFC)/q=240-4q+(1/2)q=1/3(q-6)+204 所以当q=6时AVC达最小 3、 生产函数q =LK.劳动和资本价格分别为P和P,求相应的成本函数. L K 10 解:生产者均衡时，MP/MP= P/P，即K/L= P/P，q= LK， LK LK LK 0.5解得Q= PL+ PK=2(q PP)L K LK 0.250.250.25 4、 考虑以下生产函数Q=KLM在短期中，令P=2，P=1，P=4，K=8，推导出短期可变成本函LKM 数和平均可变成本函数。 解:在短期中，K为固定要素，L、M为可变要素 则TFC=PK=8 K TVC=PL+PM=2L+4M LM 0.25-0.750.250.250.25-0.75 由MP/P=MP/P得0.25KLM/2=0.25KLM/4 LLMM 由此可得L/M=2 0.250.250.25 代入生产函数Q=8(2M)M=2M1/2 2 所以M=Q/4 222 TVC=2L+4M=Q+Q=2Q AVC=TVC/Q=2Q 2 即短期总可变成本函数为TVC=2Q，平均可变成本函数为AVC=2Q。 5、IBM公司是世界上电子计算机的主要制造商，根据该公司的一项资料，公司生产某种型号计算机的产量范围为200到700，在此范围内，总成本函数为:C=28303800+460800Q 式中C——总成本 Q——产量 问题一:如果该种机型的全部市场为1000台，且所有企业的长期总成本函数都相同，那么占有50%市场份额的企业比占有20%市场份额的企业有多大的成本优势, 问题二:长期边际成本为多少, 问题三:是否存在规模经济, 解:(1)若占有50%的市场份额，Q为500， 平均成本则为(28303800+460800?500)/500=517408美元。 若占有20%的市场份额，Q为200， 则平均成本为(28303800+460800?200)/200=605120美元 所以占有50%市场份额的企业的平均成本比占有20%市场份额的企业的平均成本低 11 14%。 (2)长期边际成本为460800美元，在200到700的产量范围内，边际成本为常数。 (3)存在规模经济。因为长期平均成本为(460800+28303800/Q)，Q越大，平均成本越小。 3/85/8、已知某厂商的生产函数为Q=LK,又设PL=3元,PK=5元.求总成本为160元时厂商均衡的Q、L6 与K的值。 5/8-5/8-3/83/8解: MPP=(3/8)KL MPP=(5/8)KL LK 由均衡条件MPP/MPP=P/P 推出 K=L, 代入成本函数3L+5K=160 LKLK 求得 K=L=20 3/85/8则 Q=LK=20 27、假设某产品生产的边际成本函数是MC=3Q-8Q+100,若生产5单位产品时总成本是595,求总成本函数、平均成本函数、总可变成本函数及平均可变成本函数。 2解:由边际成本函数MC=3Q-8Q+100积分得 32成本函数C=Q-4Q+100Q+A(A为常数) 又因为生产5单位产品时总成本是595 32可求总成本函数C=Q-4Q+100Q+70 2平均成本函数 AC=Q-4Q+100+70/Q 32总可变成本函数 TVC=Q-4Q+100Q 2平均可变成本函数 AVC=Q-4Q+100 1/21/228、以重油x和煤炭z为原料得某电力公司，其生产函数为y=(2x+z)，x,z的市场价格分别30，20，其它生产费用为50。 (1) 求电力产量y=484时的x,z投入量及总成本为多少, (2) 求该电力公司的总成本函数。 1/21/22解:(1)将y=484代入生产函数，得484=(2x+z) 1/22整理后得z=(22-2x) ? 所以，成本函数为c=30x+20z+50 1/22 =30x+20(22-2x)+50 ? 1/2-1/2成本最小化条件为dc/dx=30+40(22-2x)(-x)=0 12 求解后可得x=64 分别代入??式可得z=36 c=2690 1 1/21/22(2)把生产函数中的y看作一定数值时，生产函数整理后可得z=(y-2x) 总成本函数即为c=30x+20z+50 1/21/22 =30x+20(y-2x)+50 ? 1/21/2-1/2成本极小化的条件为dc/dx=30+40(y-2x)(-x)=0 ? 由此可得 x=(16/121)y 代回?式后即得总成本函数c=(60/11)y+50 、一厂商用资本(K)和劳动(L)生产x产品在短期中资本是固定的，劳动是可变的。短期生产函9 32数是:x=-L+24L+240L ，x是每周产量，,是劳动量，每人每周工作,,小时，工资每小时为,, 元，该厂商每周纯利润要达到,,,,美元，需雇佣,,个工人，试求该厂商固定成本是多少, 解:设W为周工资率，MP为劳动的边际产量，P是产品价格， L 当厂商均衡时，有W=MP?P，得P=W/ MP LL 22 由于MP=-3L+48L+240L=-3×16+48×16+240=240，且W=12×40=480 L 得P=W/ MP=2美元 L 32 当L=16时，X=-L+24L+240L=5888 因此总收益TR=P?X=11776美元 而TVC=W?L=480×16=7680美元 所以TC=TR-π=10680，TFC=TC-TVC=10680-7680=3000美元， 即固定成本为3000美元 1/32/310(企业的生产函数为q=LK ,L的劳动投入(短期可变)、K为资本投入(仅长期可变)、各自的 报酬率W=1、W=2，求企业的长期成本函数。 LK 3-2解:由长期生产函数得L=qK+2K 因此，短期成本为 3-2 C=L+2K=qK+2K 极小化的条件为 3-3 对K求偏微分得-2qK+2=0 由此得K=q 13 代入成本函数得c=3q 0.250.7511(某厂商使用两种生产要素A和B，生产一种产品Q，可以选用的生产函数有两种:(1)Q=aAB; 0.750.25(2)Q=bAB。已知生产要素A的价格为1元，令生产要素B的价格为P，求解:(,),的价格为若干时两种生产方法对厂商并无区别;(,)假如,的价格超过了上面的价格，厂商将选用哪种生产方法, 解:(a)两种生产方法对厂商无差别，要求在每个相同的产量水平下，两种生产方法所费成本相等，即C=C， 12 首先求生产方法1的成本函数C，由MP/MP=P/P，得 1ABAB -0.750.750.25-0.25(0. (0.25aAB)/1=(0.75aAB)/P B 可求出B=3A/P B 0.250.750.75-0.75将其代入生产函数1,得Q=aA(3A/P)=3aAP 1BB -0.75-0.75-0.75-0.75所以A=3(1/a)PQ,将其代入C=PA+PB=A+3A=4×3(1/a)PQ B11ABB1 -0.750.25类似地,可求出生产方法2的成本函数,得C=4×3(1/b)PQ 2B2 -0.75-0.752 -0.750.25要求C=C，即4×3(1/a)PQ=4×3(1/b)PQ，得P=(a/b)12B1B2B 2即当B的价格为(a/b)时,两种生产方法对厂商无差别. 0.75-0.75(b)采用生产方法1,产品的平均成本为:C/Q=(4P)/3a 11B 0.750.25 采用生产方法2,产品的平均成本为:C/Q=(4P)/3b 22B 0.5 所以,两种生产方法的产品平均成本之比为(Pb)/a B 20.5 当P>(a/b)时,(Pb)/a>1,即第1种生产方法的产品平均成本大于第2种生产方法,故应选用第BB 2种生产方法. 212、某企业成本函数为c=x+100，c为总成本，x为产品x的产量 (1) 画出边际成本曲线和平均成本曲线 (2) 若产品市场价格p=40，那么x为多少 (3) 产品价格达到多少时，企业利润为正 解:(1)MC=2x AC=x+100/x 2(2)π=PX-C=40x-x-100 dπ/dx=40-2x=0 x=20 14 (3)企业利润为正 即π=PX-C>0 P>C/X=X+100/X 即 p>20 第五章 完全竞争市场 计算题 231.设完全竞争市场中代表性厂商的总成本函数TC=240Q-25Q+Q，若该产品的市场价格是1440元，试问该厂商利润最大时的产量和利润。 2解:均衡条件为P=MC，即240-50Q+3Q，可得Q=30，л=31500 2.一个完全竞争的厂商每天利润最大化的收益为5000美圆。此时，厂商的平均成本是8美圆，边际成本是10美圆，平均变动成本是5美圆。试求该厂商每天的产量和固定成本各是多少, 解:根据利润最大化条件P=MR=MC，得P=10 由TR=PQ=5000，得Q=TR/P=500 又?AC= 8 TC=AC×Q=4000(元) TVC=AVC×Q=5×500=2500(元) ?TFC=TC-TVC=4000-2500=1500(元) 即产量为500，固定成本为1500元。 323.完全竞争产业中某厂商的成本函数为TC=q,6q+30q+40 ,假设产品的价格为66元. (1)求利润最大时的产量及利润总额; (2)若市场价格为30 元,在此价格下,厂商是否会发生亏损?如果会,最小亏损额为多少? (3)该厂商在什么情况下才会退出该产业? 解:(1)根据利润最大化条件P=MR=MC 可算出q=6 π=176 2 (2)当短期均衡时, P=MR=MC ,可得q=4,AC=q,6q+30+40/q=32 可知单位产品的亏损额为2元. 因此总的亏损额为8元 22 (3)AVC=q,6q+30 MC=3q,12q+30 根据AVC=MC,求出实现最低平均可变成本时,产出q=3 2 代入P=AVC=q,6q+30,可得p=21 即当p<21时 该厂商退出该产业。 4.假设某完全竞争厂商生产的某产品的边际成本函数为MC=0.4Q,12, 总收益的函数为TR=20Q, 并 15 且已知生产10件产品时总成本为100元, 求生产多少件时利润极大,其利润为多少? 解:TR=PQ=20Q,可得P=20 由P=MC,得均衡产量Q=80 2 对MC=0.4Q-12进行积分,推出TC=0.2Q-12Q+A,其中A为任意值 2 将Q=10,TC=100代入上式,得A=200,即TC=0.2Q-12Q+200 所以π=TR-TC=1080 325.完全竞争厂商的短期成本函数STC=0.04Q-0.8Q+10Q+5.试求厂商的短期供给函数. 解:厂商的短期供给曲线为高于停止营业点的边际成本曲线. 2 P=MC=0.12Q-1.6Q+10 2 AVC=0.04Q-0.8Q+10 当AVC=MC时,AVC达到最低点为6 2 故短期供给曲线:P=0.12Q-1.6Q+10 (P?6) 1/46.用劳动L生产x的企业生产函数为x=4L，x的价格设为p，求供给价格弹性 解: 设工资报酬率为w，企业利润Л即为 1/4 Л=px-wL=4pL-wL -3/4 利润极大化条件为dЛ/dL=pL-w=0 4/3 由此得L=(p/w) 1/41/3 进而有x=4L=4(p/w) -2/3-1/3 该式 对p价格求导 得dx/dp=(4/3)pw -2/3-1/31/3 所以供给价格弹性为(dx/dp)?(p/x)=(4/3)pw?p/4(p/w)=1/3 327.某企业的成本函数为C=X-6X+15X+10.C为总成本，X为产量，产品价格为15,问:(1) 对企业每单位产品征收2.28单位的产品税时，企业的产量如何变化。(2)对企业只征收10单位的定额税时，企业产量如何变化, 2解: (1)课税前的利润极大化条件P=MC,即15=3X-12X+15.此时产量为4单位. 征收产品税时,厂商的供给价格是消费者需求价格减去产品税, 2 这样一来利润极大化条件为15-2.28=3X-12X+15, 求解得产量为3.8单位,与征税前相比产量减少0.2单位。 (2) 征收定额税相当于增加厂商的固定成本,并不对边际成本产生影响, 16 故而按照利润极大化条件，征收定额税时产量不变。 28.一个完全竞争厂商成本函数为STC=10Q+1000， 1)求他的供给曲线 )产品价格为500元，为了利润最大化，产量应该是多少, 2 解:1)P=MC=20Q 由于最低平均可变成本为零,所以短期供给曲线可记为P=20Q 2)P=MC=20Q=500 得Q=25 计算题 1.80年代，世界铜的供给曲线和需求曲线分别为:供给Q=-4.5+16P, 需求 Q=13.5-8P 。求铜的均衡价格和均衡产量. 解:因为均衡, 所以-4.5+16P=13.5-8P，所以P=0.75，则Q=7.5。 2.某竞争行业所有厂商的规模都相等，都是在产量达到500单位时达到长期平均成本的最低点4元，当用最优的企业规模生产600单位产量时，每一个企业的短期平均成本为4.5元，市场需求函数为Q=70000-5000P，供给函数为Q=40000+2500P。求:(1)市场均衡价格是多少,该行业处于短期均衡还是长期均衡,(2)当处于长期均衡时，该行业有多少厂商, 解:(1) ? Q=70000-5000P，Q=40000+2500P 市场均衡时Q=Q DSDS ?70000-5000P=40000+2500P 即P=4(元) ?P=LAC最低点=4元 ? 该行业处于长期均衡状态。 (2) 当P=4元时，QD=QS=70000-5000*4=50000单位 而长期均衡时每家厂商的产量为500单位，故该行业厂商数为n=50000/500=100 即该行业有100家厂商。 233.设完全竞争市场中代表性厂商的总成本函数TC=240Q-25Q+Q，试问市场长期均衡时的产品价格。 解:长期均衡条件P=MC=AC，可得Q=12.5 P=83.75 4.成本不变的完全竞争行业存在大量的潜在进入者(如果该行业存在经济利润)。假设每个厂商有相同的成本曲线，其长期平均成本最低点当其产量为20单位时为10元，市场需求曲线为D=1500-50P。求: (1) 该行业长期供给函数; (2) 长期中,均衡的价格—产量组合及其厂商的数目; 17 2(3) 使得厂商位于长期均衡中的短期成本函数为TC=0.5q-10q+200,求出厂商的短期平均成本 函数和边际成本函数,以及当短期平均成本最低时的产出水平; (4) 厂商和行业的短期供给函数; 假设市场需求曲线变为D=2000-50P,如果厂商无法在极短时间内调整产出水平,求出此时的(5) 价格水平及每个厂商的经济利润水平; (6) 长期中,该行业的均衡价格—产量组合及其厂商数目。 解:(1)每个厂商的成本函数相同，长期中厂商的均衡产出水平由其长期平均成本最低点给定。行业供给曲线由与长期平均成本最低点相等的价格水平(10元)非出，即P=MC=AC=10。 (2)已知需求曲线为D=1500-50P，价格水平为10元，令行业供给S=1500-50×10=1000，每个厂商的均衡产出为20，厂商的个数为1000/20=50。 (3)厂商短期平均成本函数为AC=0.5q-10+200/q;边际成本函数MC=q-10.当AC最低时,AC=MC,求出产出水平为q=20. (4)厂商的短期供给函数q=P+10(P?10);行业供给函数为:q=50×(P+10)=50P+500。 (5)由于厂商不能在极短时间内调整其产出水平，令S=1000=D=2000-50P，得P=20，此时单个厂商的利润水平为π=20(20-10)=200。 (6)长期中，均衡价格水平由于新厂商的进入将重新回到P=10元的水平(每个厂商均衡产出仍为20)，令S=D=2000-50×10=1500;厂商个数为1500/20=75。 5.某种商品的需求曲线为Q=260-60P,供给曲线为Q=100+40P。其中，Q与Q分别表示需求量和供给DSDS 量(万斤)，P表示价格(元/斤)。假定政府对于每单位产品征收0.5元税收。?求税收后的均衡产量Q与消费者支付的价格P以及生产者获得的价格P。?计算政府的税收收入与社会的福利净损失。 DS 解:(1)在征税前，根据Q=Q，得均衡价格P=1.6, Q=164 DS 令T=0.5,新的均衡价格为P’,新的供给量为Q’,新的需求量为Q’.则有: SD Q’=100+40( P’-T) Q’=260-60 P’ SD 得新的均衡价格为P’= 1.8新的均衡价格为Q’=152 所以税收后的均衡产量为152万斤,消费者支付价格1.8元,生产者获得价格1.3元. (2)政府的税收收入=T×Q’=76万元,社会福利损失=(1/2)×0.5×(164-152)=3万元. 6.某产品X的市场需求函数D ，供给函数S分别为D = 10-2 P + 0.5M + 4P ，S = 10 + 2I +3.5P , XYX 18 P为X的价格，P为相关品Y的价格，M为消费者收入，I代表生产技术水平，求当M = 22 ，P = 5.5 ，XYYI = 2.75时的均衡价格和均衡数量。 解:D = 10-2P + 0.5×22 + 4×5.5 = 43-2P XX 2.75 + 3.5P = 15.5 + 3.5P S = 10 + 2×XX 43 -2P = 15.5 + 3.5P XX P = 5 X D = S = 43 -2×5 = 33 7.完全竞争厂商在长期中，当其产量达到1000单位时，长期平均成本达到最低值3元。求: (1) 如果市场需求曲线为D=2600000-200000P，求长期均衡的价格和均衡产量，以及长期均衡中 厂商的数目。 (2)如果市场需求曲线由于某种原因变为D=3200000-200000P，假设厂商无法在短期内调整其产 量，求此时的市场价格及每个厂商的利润水平。 (3) 给定(2)中的需求状况，求长期中均衡的价格和数量组合及此时的厂商数目。 解:(1)厂商的长期均衡由其长期平均成本最低点给定。因此厂商长期平均成本最低点等于均衡价格3元，单个厂商的均衡产量为1000单位。已知需求曲线为D=2600000-200000×3=2000000=长期行业供给曲线S，所以厂商数目为2000000/1000=2000。 (2)尽管需求发生变化，但是由于厂商无法在短期内调整其产出水平，故供给量固定在2000000。令D=3200000-200000P=S=2000000，求得价格水平为P=6;此时，单个厂商的利润水平π=1000×(6-3)=3000。 (3)随着需求的变化，长期中，由于超额利润的存在，会促使新厂商进入到该行业中来，使其均衡价格水平恢复到与其长期最低平均成本相等，即3元。与(1)类似，令长期供给S=D=3200000-200000×3=2600000。厂商的数目为2600000/1000=2600。 8.在商品X市场中,有10000个相同的个人,每个人的需求函数均为d=12-2p,同时又有1000个相同的生产者,每个生产者的供给函数s=20p,假设政府对售出的每单位X征收2美元的销售税,而且1000名销售者一视同仁,这个决定对均衡价格和均衡产量有何影响?实际谁支付了税款?政府收到了多少? 解:市场需求函数为: D=120000-20000p 市场供给函数为: S=20000p 19 则 D=S 时，p=3 D=60000 商品征税后，市场供给函数为: S'=20000(p-2) 则 D=S' p'=4 D'=40000 -3=1 而销售商承担的2-1=1 所以由消费者承担的税费为4 政府从销售商和消费者分别征得40000美圆 9(市场期情况下，新鲜草莓的供给量=8000个单位，市场上的需求函数为=20000-100P，求:(1)市场期的均衡价格;(2)如果价格不是由市场调节，而是固定在每单位100元，那么市场的供需缺口是多少, 解:市场期的供给量是固定不变的， 市场出清的条件是= 8000=20000-100P P=120(元) 当价格P达到120元时，供求平衡，价格不再变动，市场达到均衡。 如果价格被固定在100元，需求=10000>，市场上新鲜草莓会供不应求，一部分需求得不到满足， 供求缺口为2000个单位。 10(水蜜桃的生产成本是每公斤2元，但运输成本较高，每公斤桃子每公里0.2元。市场上对它的需求为:=5000-200P，在离市场5公里的地区有果园，每季产量为3000公斤，不考虑水蜜桃的储存，求:(1)生产厂商共得多少净利润,(2)若要新建一个产量为1000公斤的果园，那么这个新果园离市场最远的距离。 1( 解:不考虑储存，属于市场期均衡 市场出清的条件是= (1)3000=5000-200P P=10 利润π=30000-9000=21000 (2)新的均衡价格 = 4000=5000-200P P=5 20 对于新果园里的厂商来说，利润π=5000-1000×(2+0.2×n), n为距离市场的公里数 必须满足π?0，否则新厂商不会经营下去 5000-1000×(2+0.2×n) ?0 ?15 n 这个新果园离市场最远的距离为15公里。 11(在短期的完全竞争市场上，市场供给函数为=1800P-60000，市场需求函数为=100000-200P,求:(1)短期均衡价格;(2)厂商面对的需求函数。 2( 解:均衡条件:= 1800P-60000=100000-200P 短期均衡价格为:P=80(元) 在完全竞争市场，厂商的产量在市场上是微不足道的，它是价格的接受者，可以在既定的价格 下卖出任意多的商品，所以，厂商面对的需求曲线是一条水平直线 P=80 12(上题中，若有个厂商的短期成本函数为:STVC=0.1–6+132.5q,STFC=400，求:(1)该厂商的利润最大化产量是多少?(2)该厂商的净利润是多少,(3)若该厂商的生产成本发生变化，固定成本增加:STFC=400 +c，那么c为多少时该厂商开始停止生产, 3( 解:(1)厂商追求利益最大化，即π最大化，必须MR=MC 完全竞争厂商的边际收益就是产品的价格，所以均衡产量是P=MC的产量 0.3-12q+132.5=80 q=35或q=5，经检验q=5不是π的极大值点 所以该厂商的短期均衡产量是35 (2)π=TR-TC=Pq-(0.1–6+132.5q+400)=825 (3)固定成本的变化不影响MC的大小，从而不影响均衡产量，只影响到利润 π=825-c，当固定成本的增量c为825时，厂商的净利润为零， 当c超过825元，厂商的净利润开始为负，产生亏损，但只要c小于1225元，此时的总收益能 够补偿全部的变动成本和一部分固定成本，短期内厂商仍然会选择生产。 当c超过1225元时总收益不仅不能补偿固定成本、连变动成本也不能补偿，此时厂商会停止生 产、退出此行业。 21 13(快餐业是近似的完全竞争市场，厂商的短期成本函数是:STVC=0.2+3q,STFC=2000，q是每天的产量、单位是份，成本单位是元，(1)求:该厂商的短期供给函数;(2)假设这个完全竞争市场中共有1000家成本函数相同的厂商，求:市场的供给函数。 4( 解:(1)厂商的短期边际成本SMC=0.4q+3 当市场价格为P时，厂商的均衡产量是使SMC=MR=P的产量， 并且由于是短期均衡，只要TR?STVC，现有厂商还是愿意供给产品的 得出厂商的短期供给函数为:q=2.5P-7.5，(其中q<100的部分，厂商处于亏损) (2)市场上有100家相同的厂商，市场供给量Q=1000q=2500P-7500 市场供给函数为:Q=2500P-7500 14(某企业处于完全竞争市场中，它的成本函数为STC=0.1+8q,该企业利润最大化的产量为q=30。现在企业准备再建一条生产线，新生产线的成本函数为STC*=0.05+10q，求:新生产线的产量是多少, 15(完全竞争市场中，厂商的长期成本函数LTC=,.05-+10q，当市场价格P=30时，该厂商的利润最大化产量以及净利润是多少,这个产出点是均衡的吗, 解:厂商的长期利润最大化产量是由LMC=MR来决定的 0.15-2q+10=30 解得q=20 π=TR-LTC=600-(,.05-+10q)=400 厂商的净利润为400，在完全竞争市场，这种产出点是不稳定的，因为长期净利润的存在会吸引 新的加入者，使行业的供给曲线增加，在需求不变的情况下价格会下降，直到厂商的净利润为 零。 16( 小家电市场上的年消费量(单位:万台)与价格水平有关:Q=20000-4P (P是产品单价) ,市场 是完全竞争的。厂商的成本函数均为LTC=,.001-2+2000q(q是厂商的年产量，单位:台)。 求:(1)市场的长期均衡价格、厂商的均衡产量;(2)市场均衡产量、市场中厂商个数。 解:完全竞争市场的长期均衡价格是厂商的长期平均成本的最低点 P=LAC=LMC= SAC = SMC 22 根据厂商的长期成本曲线，可知LAC曲线的最低点为q=1000(元),LAC=1000(元) 市场的均衡价格为1000元，厂商的均衡产量为1000台 市场的均衡产出是指在均衡价格水平上达到供求平衡的产出 ==20000-4P=16000(万台) 市场中厂商的个数为16万 17(完全竞争市场，各项条件同上题，但市场需求发生变化，新的需求函数为:Q=22000-4P。(1)在短期对市场及厂商会有什么影响,(2)若此行业是成本固定不变，求新的长期均衡价格、产量、厂商个数，以及行业的长期供给函数(3)若此行业的成本随新厂商进入而发生变化，厂商的新的成本函数为LTC=,.001–2.2+2500q，求新的均衡价格、产量、厂商个数，以及该行业是成本递增型的还是递减型的, 解:(1)在短期由于市场需求增加，原有的供给不足，会推动价格上升，厂商在新的价格条件下确定产量，使每个厂商的产量都提高了，同时厂商获得净利润，这也促使新的厂商开始进入这一行业。 (2)此行业是成本不变的，所以厂商的长期均衡点依然是q=1000(台),LAC=1000(元)，新的均 衡价格P=1000(元)，厂商的均衡产量q=1000(台) 新的行业均衡产量 Q=22000-4P =18000(万台) 新的均衡下厂商数目为18万。 行业规模扩大过程中，产品价格不变，说明供给函数为平行于Q轴的直线P=1000 (3)若新厂商加入使得此行业中厂商的成本函数发生变化， 新的长期均衡就要依据新的成本曲线来决定 LAC=0.001+2.2q+2500 最低点为q=1100(台),LAC=1290(元) 新的均衡价格为1290元，厂商的均衡产量q=1100(台) 新的行业均衡产量 Q=22000-4P =16840(万台) 新的均衡下厂商数目为15.31万 随着行业规模扩大，产品价格上升，说明该产业是成本递增型的，供给函数是向右上方倾斜的。 18农产品市场是近似的完全竞争市场，生产者的长期成本函数LTC=0.01-4+500q，市场需求函数 23 Q=1200-0.1P，Q的单位是万吨、q的单位是吨、成本单位为元。(1)求:市场的长期均衡价格、总产量及生产者个数;(2)政府决定给农产品以补贴，每单位产品补贴5元，求此时的长期均衡价格、总产量及生产者个数。 解:(1)生产者的长期平均成本LAC=0.01+4q+600 完全竞争市场长期均衡价格P= =100 生产者的均衡产量为200吨 市场上的总产量为Q=1200-0.1P=1190(万吨) 市场中的生产者数目为59500 (2)政府的补贴使生产者的成本减少:LTC=0.01-4+500q-5q 完全竞争市场长期均衡价格P= =95 生产者的均衡产量仍然为200吨 市场上的总产量为Q=1200-0.1P=1190.5(万吨) 市场中的生产者数目为59525 政府的补贴行为使产品价格下降、生产者数目和总产量增加。 假设某商品的50%为75个消费者购买，他们每个人的需求弹性为-2，另外50%为25个消费者购买，他们每个人的需求弹性为-3，试问这100个消费者合计的弹性为多少, 解答:设被这,,,个消费者购得的该商品总量为,，其市场价格为,。 据题设，其中,,人购买了其总量的一半，且他们每人对该商品的需求弹性为 ,,，这样，他们每人的弹性 ,,,,,,,/,,?,/,， ,,,, ,,/,,,,,?,/,，,,,，,，…，,, (,) ,, 75 且 ,,,,, (,) , ? 又，另外,,人购买了其总量之另一半，且他们每人对该商品的需求弹性为,,，这样，他们每人的弹性 ,,,,,,,/,,?,/,， ,,,, ,,/,,,,,?,/,，,,,，,，…，,, (,) ,, 25 且,,,,,, (,) ? 由此，这,,,个消费者合计的弹性为 ,,,,/,,?,/,,,(?,，?,)/,,?,/, ,,, 24 7525 ,(,,/,,，,,/,,)?,/, ,,?? 将式(,)、(,)代入，得 7525 ,,[(,,?,/,)，(,,?,/,)]?,/, ,,,?? 7525,[,,/,,，(,,/,),]?,/, ,,?? 将式(,)、(,)代入，得 ,,(,,/,?,/,,,/,?,/,)?,/, , ,(,,/,,,/,)?,/,?,/,,,,/, 25