楚雄师范学院数学系课程教案课程

楚雄师范学院数学系课程 教案 中职数学基础模块教案 下载北师大版¥1.2次方程的根与系数的关系的教案关于坚持的教案初中数学教案下载电子教案下载 课程 楚雄师范学院数学系课程教案 (数学分析(三),周学时6节) 周 第18周 (2008.12.22-2008.12.28) 次 课 第二十二章 曲面积分习题课 题 2学时 学 时 一.曲面积分的基本 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 教学 二.曲面积分基本方法 内容 (主 要) 1.深刻理解并掌握曲面积分的基本知识点 教 2.深刻理解并掌握曲面积分的基本知识点 学 目 标 1.曲面积分的基本知识点 教学 2.曲面积分的基本方法 重点 1.曲面积分的基本知识点 教学 2.曲面积分的基本方法 难点 教学 1.分析教学方法、对比教学方法、讨论教学方法、综合教学方法. 方法 2.借助多媒体辅助教学. 与手 段 曲面积分习题课 ?.基本知识点 一.第一型曲面积分的基本知识点 (一).第一型曲面积分的定义 T定义.设是定义在可求面积的曲面上的函数,用任意的分法将分成ufxyz,,,SS，， 教 SSSS,S分成个小曲面:,,…,, 设的面积为, nkn,1,2,...,，，1k2nk学 ,作积,再作和 ,,PS,,,,,kn,1,2,...,fSkn,,,,,1,2,...,,,,，，，，，，，，kkkkkkkkk进 nn程 fS,,,,,,,lim,,fS,,,,,TdS,max.令.若均存在且 ，，，，，，,,,,kkkkkkkkk,0T1,,kn(教,1,1kk 学设T相等,即此极限均存在且与分法和的取法无关,则称此极限为在P,,,,,fxyz,,，，，，kkkk计) 上的第一型曲面积分,记为.即 fxyzds,,S，，,,S n . fxyzdsfS,,lim,,,,,,,,，，，，,kkkk,,,0T,1kS 此时,称在曲面上可积,其中叫被积函数,叫积分区域,叫曲面积fxyz,,fxyz,,SSds，，，， 微元. (二).第一型曲面积分的性质 1 1. dsS,,,S 2.若在可积,则在可积,且 fxyz,,kfxyz,,SS，，，， kfxyzdskfxyzds,,,,,，，，， . ,,,,SS fxyzgxyz,,,,,fxyzgxyz,,,,,3.若在可积,则在可积,且 ，，，，，，，，SS . fxyzgxyzdsfxyzdsgxyzds,,,,,,,,,,,，，，，，，，，，，,,,,,,SSS SSSS,,SS,4.若在可积,则在可积,且当时,有 fxyz,,fxyz,,，，，，121212 . fxyzdsfxyzdsfxyzds,,,,,,,,，，，，，，,,,,,,SSSS1212 fxyzfxyz,,,,,5.若在可积,则 S，，，，12 fxyzdsfxyzds,,,,,，，，， . 12,,,,SS fxyz,,6.若在可积,则在可积,且 ，，fxyz,,SS，， fxyzdsfxyzds,,,,,，，，， . ,,,,SS 7.(中值定理)若在有界闭曲面上连续,则至少存在点使,,,,,,Sfxyz,,S，，，， fxyzdsfS,,,,,,,,,，，，，. ,,S (三).第一型曲面积分的计算 (一).直角坐标方程 定理1.设在光滑或逐片光滑曲面上连续, fxyz,,S，， ,,zz,(1).若曲面的方程为:zzxyxyD,,,,,,且在上连续,则 DS，，，，xyxyxy 22,,. fxyzdsfxyzxyzzdxdy,,,,,1,，，，，，，，，xy,,,,SDxy z zzxy,,，， S y o Dxy x ,,xx,(2).若曲面的方程为:xxyzyzD,,,,,,且在上连续,则 DS，，，，yzyzyz 22,,fxyzdsfxyzyzxxdydz,,,,,1,，，，，，，. ，，yz,,,,SDyz 2 z Dyz y o xxxyz,,S，， ,,(3).若曲面的方程为:,且在上连续,则 DyyzxzxD,,,,,yy,S，，，，zxzxzx 22,,fxyzdsfxyzxzyydzdx,,,,,1,,，，，，，，，，. zx,,,,SDzx z yyzx,,，， D Szx y o x (二).参数方程 定理2设在光滑或逐片光滑曲面上连续, 若曲面的方程为: fxyz,,SS，， D(是有界闭区域) xxuvzyuvzzuvuvD,,,,,,,,,,,，，，，，，，， D且函数在上具有连续的一阶偏导数,且 xxuvzyuvzzuv,,,,,,,,，，，，，， ,,,xyyzzx,,,，，，，，， ,,,,,uvuvuv,,,，，，，，， 至少有一个不等于零,则 2fxyzds,,,,fxuvyuvzuvEGFdudv,,,,,. ，，，，，，，，，，,,,,DS 222222,,,,,,,,,,,,其中 ExyzExxyyzzGxyz,，，,，，,，，,,uuuuvuvuvvvv 二.第二型曲面积分的基本知识点 (一).第二型曲面积分的定义 oxyz定义.设是在空间上一条可求面积的双側曲面,定义在上. 在曲面fxyz,,SS，， TSSSSoxy的一側用任意的分法将曲面分成分成n个小曲面:,,…,, 设在平面、S12nk ,,xy,,yz,,zxoyz平面、ozx平面的投影的面积分别为,, kkkkkk .,作积 kn,1,2,...,,,PS,,,,,kn,1,2,...,，，，，，，kkkkk ,, fxy,,,,,,,,fyz,,,,,,,,fzx,,,,,,,,，，，，，，kkkkkkkkkkkkkkk kn,1,2,...,，， 3 再作和 nn fxy,,,,,,,,fyz,,,,,,,,,, ，，，，,,kkkkkkkkkk,1,1kk n fzx,,,,,,,,. ，，,kkkkk,1k 令TdS,max. ，，,,k1,,kn n Tlim,,fxy,,,,,,(1).若均存在且相等,即此极限均存在且与分法和，，,kkkkk,0T,1k 的取法无关,则称此极限为在上指定的一侧关于 P,,,,,fxyz,,S，，，，kkkk oxy坐标平面的第二型曲面积分,记为,即 fxyzdxdy,,，，,,S n . fxyzdxdyfxy,,lim,,,,,,,,,，，，，,kkkkk,,,0T,1kS n Tlim,,fyz,,,,,,(2).若均存在且相等,即此极限均存在且与分法和，，,kkkkk,0T,1k 的取法无关,则称此极限为在上指定的一侧关于 P,,,,,fxyz,,S，，，，kkkk oyz坐标平面的第二型曲面积分,记为,即 fxyzdydz,,，，,,S n . fxyzdydzfyz,,lim,,,,,,,,,，，，，,kkkkk,,,0T,1kS n Tlim,,fzx,,,,,, (3).若均存在且相等,即此极限均存在且与分法和，，,kkkkk,0T,1k 的取法无关,则称此极限为在上指定的一侧关于 P,,,,,fxyz,,S，，，，kkkk 坐标平面的第二型曲面积分,记为,即 ozxfxyzdzdx,,，，,,S n . fxyzdzdxfzx,,lim,,,,,,,,,，，，，,kkkkk,,,0T,1kS (二).第二型曲面积分的性质 oxy1 .在坐标平面的投影区域的面积. dxdyS,,,S oxyoxy2.若在关于坐标平面可积,则在关于坐标平面也可fxyz,,kfxyz,,SS，，，， 积,且 . kfxyzdxdykfxyzdxdy,,,,,，，，，,,,,SS oxy3.若在关于坐标平面可积,则在关于fxyzgxyz,,,,,fxygxy,,,SS，，，，，，，， oxy坐标平面也可积,且 . fxyzfxyzdxdy,,,,,,fxyzdxdygxyzdxdy,,,,,，，，，，，，，，，,,,,,,SSS oxySSoxySS,4.若在关于坐标平面可积,则在关于坐标平fxyz,,fxyz,,，，，，1212 面可积,且有 . fxyzdxdy,,,fxyzdxdyfxyzdxdy,,,,，，，，，，，,,,,,,SSSS1212 4 oxy5.若在关于坐标平面可积,且 fxyzgxyz,,,,,S，，，， fxyzgxyzxyzS,,,,,,,,, ，，，，，，，，则 . fxyzdxdygxyzdxdy,,,,,，，，，,,,,SS fxyz,,oxyoxy6.若在关于坐标平面可积,则在关于坐标平面可积,fxyz,,SS，，，， 且 . fxyzdxdyfxyzdxdy,,,,,，，，，,,,,SS 7.(中值定理)若在上连续,则至少存在点使得 ,,,,,,Sfxyz,,S，，，， oxy在坐标平面的投影区域的面积. fxyzdxdyfS,,,,,,,,,，，，，,,S 8 .第二型面线积分与側有关, 即 . fxyzdxdyfxyzdxdy,,,,,,，，，，,,,,，,SS (三).基本计算 定理1.设在双侧有界光滑曲面上连续,曲面的方程为: fxyz,,SS，， , zzxyxyD,,,,,，，，，xy且在上连续,则 Dxy fxyzdxdyfxyzxydxdy,,,,,,, . ，，，，，，,,,,SDxy ,,,其中:当时,积分取正号, 当时,积分等于零,当时,积分取负号,,0,,,,,,,222 z,(是的正侧的外法线方向与轴的正方向的夹角) S z zzxy,,，，2 V xy zzxy,,，，1 y o Dxy x 定理2.设在双侧有界光滑曲面上连续,曲面的方程为 fxyz,,SS，， , xxyzyzD,,,,,，，，，yz D且在上连续,则 yz 5 fxyzdsfxyzyzdydz,,,,,,,，，，，，， . ,,,,SDyz ,,,其中:当时,积分取正号, 当时,积分等于零,当时,积分取负号,,,0,,,,,,222 (是的正侧的外法线方向与轴的正方向的夹角) x,S z Dyz y o xxyz,,，，1 x xxyz,,，，2 定理3.设在双侧有界光滑曲面上连续,曲面的方程为 fxyz,,SS，， , yyzxzxD,,,,,，，，，zx D且在上连续,则 zx fxyzdzdxfxyzxzdzdx,,,,,,,，，，，. ，，,,,,SDzx ,,,其中:当时,积分取正号, 当时,积分等于零,当时,积分取负号(,0,,,,,,,,,222 y是的正侧的外法线方向与轴的正方向的夹角) S z D zx yyzx,,yyzx,,，，，，12 y o x (四).两种曲面积分的区别与联系 A.两种曲面积分的不同 1.背景问题不同 6 (1).流速等于 , AxyzAxyzAxyzAxyz,,,,,,,,,,, ，，，，，，，，,,xyz 的流体从双侧光滑曲面的负侧流向正侧,单位时间内通过曲面S的流量为 S . QAxyzdydzAxyzdzdxAxyzdxdy,，，,,,,,,，，，，，，xyz,,S oxyz(2).在空间上可求面积的曲面密度为的非均匀曲面的质量为,,,xyz,,S，， . mxyzds,,,,，，,,S 2.积分变量不同 (1).是关于曲面的积分. fxyzds,,，，,,S (2).,,是关于坐标平面的积分. fxyzdxdy,,fxyzdydz,,fxyzdzdx,,，，，，，，,,,,,,SSS 3.侧性不同 第一型曲面积分与侧无关,而第二型曲面积分与侧有关. B.两种曲面积分的不同的关系 第一型曲面积分是关于曲面的积分，第二型曲面积分是关于坐标平面的积分.由于 是在三个坐标上的投影,所以两类曲线积分可互相转换. dxdydydzdzdx,,ds 定理4.设在双侧有界光滑曲面上连续,则 PxyzQxyzRxyz,,,,,,,,S，，，，，， PdydzQdzdxRdxdyPQRds，，,，，(coscoscos),,,, ,,,,SS xyz,,其中是的正侧的外法线方向分别与轴的正方向的夹角. ,,,,,S z S V V y o S【注】当改变侧时,法方向也要改变方向,从而cos,cos,cos,,,也随之改变号,因此上 式两端同时改变符号. 三.几种积分的基本关系 (一).格林公式 1. 格林公式 ,,PQ,,定理1.设以及在光滑或逐段光滑闭曲线所围的闭 PxyQxy,,,，，，，,,xy 7 ,,,,QP,,，dxdyPdxQdy,区域上连续,则 (取正向). G,,,,,,,xy,,G, 2.平面曲线积分与路线无关的条件 DD定理2. 设是单连通区域,若在内连续,且具有连续偏导数,则下PxyQxy,,,，，，，列条件等价: ,,QPD,(1).在内处处有. ,,xy D,(2).对内任一逐段光滑闭曲线,有. PdxQdy，,0,, D,(3).对内任一逐段光滑曲线,与路线无关,只与路线的起点和 PdxQdy，,,终点有关. D(4).在内存在函数使得 uxy,，， . duxyPxydxQxydy,,,,，，，，，，， (二).高斯公式 定理3.设有界闭区域由光滑或分片光滑的双侧封闭曲面围成.若函数 VS ,在上连续,且有一阶连续偏导数,则 Pxyz,,QxyzRxyz,,,,,V，，，，，， ,,,,,PQR. ，，,，，dxdydzPdydzQdzdxRdxdy，，,,,,,,,,,,xyz,,VS 其中取外侧为正侧. S (三) 斯托克斯公式 1. 斯托克斯公式 定理4.设光滑双侧曲面S的边界是光滑封闭曲线C.若,, Pxyz,,Qxyz,,，，，， 及其偏导数在S及C上连续,则 Rxyz,,，， PdxQdyRdz，，,C ,,,,,,,,,,RQPRQP,,. ,,，,，,dydzdzdxdxdy,,,,,,,,,,,,,,yzzxxy,,,,,,S 其中S的正侧与曲线C的正向按右手法则确定. 【注】 (1) . PdxQdyRdz，，,C ，，,,,,RQPRQP,,,,,,,,coscoscos,,,,,，,，,ds,,,,,,,,,, ,,,,,,yzzxxy,,,,,,S，， (2). PdxQdyRdz，，,C coscoscos,,,dydzdzdxdxdy ,,,,,,ds,, ,,,,,,,,,,xyzxyzSS PQRPQR 2.空间曲线积分与路线无关的条件 定理3 .设是单连通区域,若在内连续,且具有连续偏VVPxyzQxyzRxyz,,,,,,,,，，，，，，导数,则下列条件等价: 8 ,,PQ,,QR,,PR,,(1).在内处处有, ,. ,V,,xy,,xy,,zx ,(2).对内任意光滑或逐段光滑闭曲线,有. VPdxQdyRdz，，,0,,(3).对内任意光滑或逐段光滑曲线,与路线无关,只与路线的起点VCPdxQdyRdz，，,C 和终点有关. uxy,(4).存在函数使得 ，， ?.基本方法 2222例1.求,其中 Sxyzahza:0，，,,,,zd,，，,,S 222zaxy,,，解:因为,故 xy,,, ,zz,,,,xy222222axyaxy,,,, 22xya22,,. 11，，,，，,zzxy222222222axyaxy,,,,axy,, 于是 1a222 ,,,，,daxydxdy,,,,222z,,axySDxy 22 ,,,adxdyaah,，，,,Dxy 2222xyzaxy，，,,,(0,0)例2.求,S是,取球面的外侧为正侧. zdxdy,,S 2222xyzaxy，，,,,(0,0)解:S是分解为两部分: 2222, Sxyzaxyz:0,0,0，，,,,,，，1 2222. Sxyzaxyz:0,0,0，，,,,,，，2 故 ,，zdxdyzdxdyzdxdy,,,,,,SSS12 222222,,,,,,,axydxdyaxydxdy ，，,,,,DDxyxy , a12222232,,,2axydxdy,,,drardra,,. ,,,, 0 06Dxy 22xy1,,2332C:1，,例3.求,其中. xyyxdxxxyxdy，，，，，，32341，，,,22,ab3,,C 1,,2332解: xyydxxxydy，，，33，，,,,3,,C 2222，，. 3343344xyxydxdxab,,，，,，,,，，，，,,,,，，DD 例3.求曲线积分 9 xx sincosyedxyemdy，,，，, OMA A其中OMA是连接和的任何路线与围成面积. OOAS y M Aa,0，， 解:(1).如图所示 xO xx sincosyedxyemdy，,，，, OMA xxxx+ ,，,sincosyedxyemdysincosyedxyemdy，,，，，，,,AO，OMAAO xx= ,,，,0sincosdxdyyedxyemdy，，,,,DOA xx ,,，,sincosyedxyemdy，，,OA 因为OA的方程为,故 xxyxa,,,,0,0,,, xx sincos0yedxyemdy，,,，，,OA 于是,我们有 xx. sincos0yedxyemdy，,,，，, OMA MMFxyxyxz,，，,，，，234,236,423例4. 求单位质点在力场的作用下,沿,, 椭圆 222,axbycaxbycc，，，，，,,,，，，，111222,:. abab,,0，，,1221zh,.,, F移动一周(从z轴正向看上去为逆时针方向),求为所做的功. 解: z . Szh, y o x Wxydxxydyxzdz,，，，,，，，，(234)(236)(423) ,, ,,,,,,,,,,RQPRQP,, ,,，,，,dydzdzdxdxdy,,,,,,,,,,,,,,yzzxxy,,,,,,S ,,dxdy ,,,41dzdxdxdy,,dxdy,,,,,,222SSaxbycaxbycc，，，，，,，，，，111222 10 如图所示, 我们有 axbycu，，,ab,,(,)uv11111令 ，则,故 ,,,abab,1221axbycv，，,ab,(,)xy22222, 21,,c Idudv,,,,,abababab,,22212211221uvc，, 例5.设具有连续导数,求 fu() 2222,,,,,,yz，,,,,12yy3233,,. xdydzfydzdxfzdxdy，，，，，sin,,,,,,,,,,,,2zzyz,,,,S,,,,,, 22222222222其中为所围立体的表面的外yxzyxzayxzbab，,，，,，，,,,,,0S，， 侧. 222,,,,,,,,,,,,122yyyy222,, 解:原式= 333xfyfzdxdydz，，，,，,,,,,,,,,,,,,,,2,,zzzyzz,,,,,,V,,,,,, , 2 b,222224 ,，，3()xyzdxdydz,3sinddrrdr,,,,,,,,, 0 0 aV ,44,, b2ba,44,,61, . ,6sin,,,drdr,,,,,, 0 a25,, z y o x 333xyxxzyzz,,，,，，cos，，，，yzysin，dydzdzdxdxdy，，例6. 求,其,,222222222xyzxyzxyz，，，，，，S 2222xyza，，,中是(0)z,的外侧. S 333xyxxzyzz,,，,，，cos，，，，yzysin，dydzdzdxdxdy，，解: ,,222222222xyzxyzxyz，，，，，，S 1333,，，，，,，，xyxdydzyzydzdxxzyzzdxdy,,sincos ，，，，，，，，，，,,aS 1333 ,，，，，,，，xyxdydzyzydzdxxzyzzdxdy,,sincos，，，，，，，，，，,,aSS，1 11 1333 ,，，，，,，，xyxdydzyzydzdxxzyzzdxdy,,sincos，，，，，，，，，，,,aS1 31222 ,，，,yxzdxdydzxdxdy(),,,,,aaVS1 31222 ,，，,yxzdxdydzxdxdy(),,,,,aaVDxy , 2 2 aa,,316,2242,,ddrrddrrrd,,,,,,. sincos,a,,,,, 0 0 0 0 0aa5 z S S D1xy y o x 课后 教学 总结 课 外 作 业 实 践 与 思 考 单元 测试 与分 析 12