拉氏变换和反变换--参考

拉氏变换和反变换--参考 2 机电控制工程数学基础 本章主要 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 、基本要求、重点和难点 主要内容 (1) 复数及复数表示 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ，复变函数概念。 (2) 初等函数定义，复变函数的导数。 (3) 复变函数积分，计算方法。 (4) 罗朗级数、留数定理。 (5) 拉氏变换定义、常用函数拉氏变换、拉氏变换性质、拉氏反变换。 基本要求 (1) 了解复变量的表示方法，复变函数的概念，会计算留数。 (2) 了解拉氏变换定义，并用定义求常用函数的拉氏变换，会查拉氏变换表。 (3) 了解拉氏变换性质及其应用。 (4) 会用部分分式法，求拉氏反变换。 重点:复变函数表示方法,拉氏变换的定义,用拉氏变换的定义求常用函数的拉氏变换,拉氏变换性质及应用，用部分分式法求拉氏反变换。 难点: (1) 建立在复数域描述一个函数的概念。而初学者习惯于时间函数。通过拉氏变换这一数学工具将时间函数变为复域的函数，其优点是将微分方程变换为代数方程，使对系统的 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 、综合方便。 (2) 拉氏变换性质的应用。 学习本章时，一般了解复变函数概念，复数表示方法,了解拉氏变换定义及其性质的推导过程，通过作习题，熟练掌握各性质的应用，为后继章节学习打下基础。 2.1 复变量及复变函数 (1) 复数的概念 在学习初等代数时，已经知道在实数范围内，方程 2x，1,0 是无解的，因为没有一个实数的平方等于–1。由于解方程的需要，人们引进一个新数j,称为虚单位，并规定 2 j,,1 2x，1,0从而j是方程的一个根。 z,x，jy 对于任意二实数x,y我们称为复数，其中x,y分别称为z的实部和虚部，记作 x,R(z)y,I(z) em z,jy 当x=0 时, 称为纯虚数;当y=0时, z,x，0j,这时z就是实数。 要注意复数与实数有一些不同,如:两个复数相等,必须它们的实部和虚部分别相等。一般说来，任意两个复数不能比较大小。 (2) 复数的代数运算 z,x，jyz,x，jy两个复数， 111222 10 1) 加减法的定义: (x，jy),(x，jy),(x,x)，j(y,y)11221212 2) 乘法的定义 (x，jy)(x，jy),(xx,yy)，j(xy，xy)112212122112 3) 除法的定义 设 z,x，jy,0222 x，jyxx，yyxy,xy1112122122,，j 2222x，jyx，yx，y222222 复数的运算和实数的情形一样，也满足交换律、结合律和分配律。 4) 共轭复数 实部相同而虚部正负号相反的两个复数称为共轭复数，与z共轭的复数记作 。如果z 则。 z,x，jyz,x,jy (3) 复数的几种表示法 1)点表示法，由于任一复数与一对实数x,y成一一对应，所以对于平面上z,x，jy 给定的直角坐标系，复数可以用坐标为(x,y)的点来表示，这是一个常用的表示法，z,x，jy x轴称为实轴，y轴称为虚轴，两轴所在的平面称为复平面或Z平面，这样，复数与复平面上的点成一一对应。 2)向量表示法或极坐标表示法。向量表示法即用从坐标原点指向点(x,y)的向量表示，如图,,,,,所示。向量的长度称为Z的模或绝对值，记作 z,x，jy r,z y θ 0 x x 图 22z,r,x，y 在z?0的情况，向量与x轴的夹角θ称为z的相角，记作 y,1，z,,,tg或Argz,, x θ角逆时针为正，顺时针为负。 任何一个复数z?0有无穷多个相角，如果θ是其中的一个，那么 1 ,rgz,,，2,k(k为任意整数) 1 就给出了z的全部相角。在z?0的相角中，我们把满足–π,θ?π的θ称Arg z的主值。 11 3)三角表示法和指数表示法。复数的直角坐标与极坐标的关系如下: x,rcos,,y,rsin, 复数z可以表示为 11 z,r(cos,，jsin,) 该式称为复数的三角表示法。 j,再利用欧拉公式,又可得 e,cos,，jsin, j,j, z,re,ze或者z,zexp(j,)这种形式称为复数的指数表示法 复数的各种表示法可以相互转换，以适应不同问题时的讨论。 例 将化为三角表示式和指数表示式。 z,,12,2j 解: r,z,12，4,4 y,23tg,,,,x3,12 5,,,,由于z在第三象限，所以 6 z的三角表示式是 55，，,,z,4cos(,)，jsin(,),,66，， 55,4(cos,,jsin,)66 z的指数表示式是 5,j,6z,4e 1例 求复数的实部、虚部、模值与相角。 z,1，2j 11,2j12解: z,,,,j1，2j(1，2j)(1,2j)55 12R(z),,I(z),,em55 22125,,,,r,，,,,0.447 ,,,,555,,,, 2,,1,15,,tg,,tg2,,63.43:1 5 (4)关于模与相角定理 j,j,121)乘积:设有两个复数 z,re,z,re1122 12 j(,，,)12 zz,rre1212 定理:两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;两个复数乘积的相角等于它们的相角的 和。 j(,，,，？？，,)12n推论 z,z？？z,r,r？？re12n12n j,j,122)商:设有两个复数 z,re,z,re1122当z?0时， 1 ,j2zrerj(,,,)22221 ,,ej,1zrre111 2.1.1复变函数的概念 (1) 复变函数的定义 设G是一个复数的集合，如果有一个确定的法则存在，按照这一法则，对于z,x，iy 集合G中的每一个复数z，就有一个或几个复数与之对应，那未称复变数w是复w,u，jv 变数z的函数简称复变函数，记作 w,f(z) (2) 复变函数的极限 极限运算法则: limf(z),A和limg(z),B设 ，那么 z,zz,z00 lim,,f(z),g(z),limf(z),limg(z),A,B1); z,zz,zz,z000 lim,,f(z)g(z),[limf(z)][limg(z)],A,B2); z,zz,zz,z000 limf(z)f(z)Az,z0limg(z),03)当时, 。 lim,,z,zz,z00g(z)limg(z)Bz,z0 2.1.2导数 2例 求的导数 f(z),z 解:因为 22f(z，,z),f(z)(z，,z),zlim,lim,z,0,z,0,z,z ,lim(2z，,z),2z,z,0 ,所以 f(z),2z 例 问f(z),x，2yj是否可导, 解:这里 13 fz，,z,fzx，,x，y，,yj,x,yj()()()2()2,limlim,z,0,z,0,z,z ,x，2,yj,lim,z,0,x，,yj设沿着平行于x轴的方向趋向于z (图2,1—2) y z，,z 因而。这时极限 ,y,0 xyjx,，2,, z lim,lim,1,z,0,z,0xyjx,，,, 设沿着平行于y轴的方向趋向于z， 0 x z，,z ,x,0因而。这时极限 图 xyjyj,，2,2, lim,lim,2,z,0,z,0xyjyj,，,, 所以的导数不存在。 f(z),x，2yj (2) 求导法则，由于复变函数中导数的定义与实变函数中导数的定义在形式上完全相 同，而且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中的一样，因而实变函数中的求导法则在 复变函数中也都完全相同，而且证法也是相同的。现将几个求导公式与法则罗列于下: ,1) ，其中c为复常数。 (c),0 nn,1,2) ，其中n为正整数。 (z),nz ,,,,,f(z),g(z),f(z),g(z)3) 。 ,,,,,f(z)g(z),f(z)g(z)，f(z)g(z)4) 。 ,，，f(z)1,,,,,g(z)f(z),f(z)g(z)5) ， 。 g(z),0,,2g(z)g(z)，， ,,,,,f,,g(z),f(w)g(z)6) ，其中 。 w,g(z) 2.1.3 解析函数和调和函数 (1) 解析函数的概念 x例 f(z),e(cosy，jsiny) xx解:因为 u,ecosy,v,esiny ,u,uxx,ecosy,,,esiny ,x,y 14 ,v,vxx ,esiny,,ecosy,x,y ,u,v,u,v从上面可得: ,,,,,x,y,y,x 由于上面四个一阶偏导数都是连续的，所以f(z)在复平面上处处解析。 2.1.4 几个初等函数的定义 (1) 指数函数 zx，jyxjyx由，所以 e,e,e,e,e(cosy，jsiny) zx? e,e z Arge,y，2k,(k,0,,1,,2,？) z? 在复平面上解析，且 e zz, (参阅导数) (e),e z? e是以2πj为周期的周期性，即 z，j2k,z2k,jzz e,e,e,e(cos2k,，jsin2k,),e(式中k,0,,1,,2,？) ? 加法定理 zzz，z1212ee,e z 1ez,z12,ez2e 1，j例 求的实部、虚部、模和相角。 w,e 1，j解:因为，所以 e,e(cos1，jsin1) 1，jRe,e()cos1e 1，j Ie,e()sin1m 1，je,e 1，j Arg(e),1，2k,(k,0,,1,,2,？) 1，j 主值 arg(e),1 zze,e例 证明 zx证:因为，所以 e,e(cosy，jsiny) 15 zxxe,ey,jy,e,y，j,y(cossin)(cos()sin()) x,jyz,e,e (2) 对数函数 性质 Ln(zz),Lnz，Lnz1212 z1Ln,Lnz,Lnz12z2 但应注意，这些等式右端必须取适当的分支才能等于左端的某一分支。 例 求下列各式的值及其主值: 1) Ln(,1) 2) Ln(,2，j) 解:1) ,Ln(,1),In,1，jarg(,1)，j2k , ,j(2k，1)(k,0,,1,,2,？) In(,1),In,1，jarg(,1),j, 2) ,Ln(,2，j),In,2，j，jarg(,2，j)，j2k 1,,,In5，j(,arctg)，j2k2 1，，,,In5，j(2k，1),arctg ,,2，， ？(k,0,,1,,2,) 1In(,2，j),In5，j(,,arctg)2(3) 幂函数 性质 ,,,，,1212? zz,z(z,0,,,,是复常数)12 ,z?的每一单值分支在相应的Lnz的解析域内也解析，且 ,,,Lnz,Lnz,,1,,(z),(e),e,,,z z 按α取值又可分成如下几种情形: nw,z,,na. 当,n是正整数时，是复平面上的单值解析函数。 11n,,w,zb. 当，n是正整数时，包含n个单值分支，即 n 16 111LnzLnzjzjk(arg2)，，,nnnz,e,e 1argz，2kargz，2k,,n ,z(cos，jsinnn (k,0,1,2,？,n,1) mmnc. 当，n是正整数，m是整数时，仍包含n个单值分支，即 ,,w,zn mmmm,,nnz,zcos(argz，2k)，jsin(argz，2k),,,, nn,, (k,0,1,2,？,n,1) ,d. 当α是无理数或虚数时，包含无穷多个单值分支 w,z (4) 三角函数 三角函数的性质 sinz? 和在复平上解析，且 cosz ,jz,jz,,e,e,,,(sinz),,,2j,, jz,jze，e ,2 ,cosz ,(cosz),,sinz ,sin(z，2k),sinz,? 周期性 ,cos(z，2k,),cosz, sin(,z),,sinz,? 奇偶性 ,cos(,z),cosz, sin(z,z),sinzcosz,coszsinz,121212? 加法定理 ,cos(zz)coszcosz,sinzsinz,,121212, 22sinz，cosz,1? 平方关系 sinz和cosz注意:的模可以大于1，例如: ,1e，ecosi, ,1 2 sinzy,,sinz,cosz 只要Z的虚部足够大，的模可以大于任何正数，也就是说，时， 17 和越趋于无穷大。 cosz 2.1.5复变函数积分定义及计算 积分存在的条件 若在光滑的简单曲线C上连续，则沿C的积分存在，f(z),u(x,y)，jv(x,y)f(z)且 f(z)dz,(u，jv)(dx，jdy),udx,vdy，jvdx，udy ,,,,cccc 所以复变函数的积分相当于两个实变函数的线积分。 性质。与实变函数中定积分的性质类似。 f(z)dz,,f(z)dz1) ,,,1cc kf(z)dz,kf(z)dzk2)，为常数。 ,,cc ,,f(z),g(z)dz,f(z)dz,g(z)dz3) ,,,ccc 积分的计算 1) 化为两个二元实函数的线积分，即 f(z)dz,udx,vdy，jvdx，udy ,,,ccc 2) 化为对实参量的定积分 设曲线C:(a?t?b) x,x(t),y(t), 则 z(t),x(t)，jy(t),a,t,b b,f(z)dzf[z(t)]z(t)dt, ,,ca ,,,其中 z(t),x(t)，jy(t) zdz例 计算，其中C为从原点到点3+4j 的直线段，如图a所示。 ,c 解:直线的方程可写作 0?t?1 x,3t,y,4t, 或 0?t?1 z,3t，j4t, 在C上，z,3t，j4t,，dz,(3，j4)dt,，于是 y y 4 (3,4) (0,1) 18 0 3 x 0 (1,0) x 图 a 图b 111222 zdz,(3，4j)tdt,(3，4j)tdt,(3，4j),,,2c00 zdz例 求。其中C是从1到j的直线段。如图b所示。 ,c 解:因为C的直线方程为 0?t?1 x,1,t,y,t, 即 ，又 z,(1,t)，jtdz,(,1，j)dt,z,(1,t),jt 1所以 zdz,[(1,t),jt](,1，j)dt,,c0 112 ,(2t,1，j)dt,(t,t，jt),j,00 dz例 求，其中C为以为中心，r为半径的正向(逆时针方向)圆周，nz0n，1,(z,z)0c 为整数如图c 所示。 y , z 解:圆的参数方程为 b z θ 0 ,,,x,a，rcos,0,,2 y,b，rsin, 因此圆的复数方程为 0 a x ,,,,z,a，rcos，j(b，rsin),0,,2 j,,a，jb，r(cos,，jsin,),z，re0 11,jdzjred,故 ,,, j,zzre,0 ,2,22,,jdzjrejj,jn,,,,,,,dded所以 n，1n，1j(n，1)njnn,,,,,,(z,z)r,er,er0c000 2,dz,jd,,2,j当n=0时， ,,z,z00c 2,dzj,(cosn,,jsinn,)d,,0当n?0时， n，1n,,(z,z)r0c0 19 ,2j,n0,,dz,所以 ,n，1,,0,n0,(zz),0c 这个结果以后经常要用到，应记住。 dz例 求积分，此处C是不包围点的任一闭曲线。 z0,z,z0c 解:设 ，则积分为 z,x，jy000 d(z,z)dz0,,,z,zz,z00cc d[(x,x)，j(y,y)]00,,(x,x)，j(y,y)00c (x,x)d(x,x)，(y,y)d(y,y)0000,22,(x,x)，(y,y)00c (x,x)d(y,y)，(y,y)d(x,x)0000，j22,(x,x)，(y,y)00c 利用高等数学中格林公式可求得此积分为零。 2.1.6 柯西定理 例 求下列积分的值: 12z1sin 1) ; 2) ， dz()dz,,,，,jzz1z32z,4z,4 fz1(),fzdz()解:1)由式可知:f(z),sinz,z,0 00,,,jzz20c f(z),sin(z),sin0,0 00 1sinz所以 dz,sin(z),00,,2jzz,4 )根据积分性质 2 12dz2dz (，)dz,，,2,j,1，2,j,2,6,j,,,z，1z,3z，1z,3z,4z,4z,4 2.1.7 台劳级数和罗朗级数 zzedz例 计算积分，C为正向圆周:|z|=2。 2,c,1z zze解:由于f(z)=有两个极点+1，-1，而这两个极点都在圆周|z|=2内，所以 2z,1 20 zze， ,,dz,2,jRes[f(z),1}，Res[f(z),,1}2,cz,1 zzzezee Re[(),1]lim(1)lim,,,,sfzz2,1,1zz12，1z,z zz,1zezeeRe[(),1]lim(1)lim sfz,,z，,,2z,,1z,,1121z,z, zze,1故 dz,,j(e，e),2cz,1 ze例 计算积分，C为正向圆周:|z|=2。 dz2,c(,1)zz 解:z=0为被积函数的一阶极点，z=1为二阶极点，而 zzzeesfz Re[(),0],lim,lim,122,,00zzzzz(,1)(,1) zde12sfzzRe[(),1],lim[(,1)]2,1zdz(2,1)!zz(,1) zzdeez(,1),lim(),lim,02,,11zzdzzz 所以 ze,dz,2jRes[f(z),0]，Res[f(z),1],,2,c z(z,1) ,2,j(1，0),2,j2.3 拉氏变换的定义及常用函数的拉氏变换 2.3.1 拉普拉斯变换的定义 设函数f(t)定义在实轴上，假定它满足下列三个条件: 当t<0时，f(t)=0; 当t,0时，f(t)在任何有界区间上至多只有有限个间断点，即f(t)在任何有界区间上可积; ,tf(t),Me当t? +, 时，f(t)具有有限增长性，即存在常数M>0及,?0,使得，0?t ,?。 上述条件称为狄利赫利条件。 满足狄利赫利条件的函数f(t)的拉普拉斯变换为 ,,st,,F(s),Lf(t),f(t)edt ,0 s,,，j,其中为复数。 21 F(s)称为f(t)的象函数，而f(t)为F(s)的原函数。 2.3.2常用函数的拉普拉斯变换 (1) 单位阶跃函数的拉普拉斯变换 单位阶跃函数为 1t,0, u(t),,0t,0, 根据拉普拉斯变换的定义，单位阶跃函数的拉普拉斯变换为 ,,,st,st ,,,,Fs,L1(t),u(t)edt,edt,,00 ,,11,st ,e,(R(s),0)ess0 (2) 单位脉冲函数的拉普拉斯变换 单位脉冲函数为 ,0t,0,,(t),,,,t,0,, ,, ,,(t)dt1,,,,,, 根据拉普拉斯变换的定义，单位脉冲函数的拉普拉斯变换为 ，，,,00,st,st,st,s,0,,,,Fs,,L(t),,(t)edt,,(t)edt，,(t)edt,,(t)edt,1 ,,,,,,，,0000 (3) 单位斜坡函数的拉普拉斯变换 单位斜坡函数为 0t,0,u(t), ,tt,0, 根据拉普拉斯变换的定义，单位斜坡函数的拉普拉斯变换为 ,,,t11,ststst,,,,,,Fs,Lt,tedt,,,e，edt,R(s),0 2e,,sss000 (4) 位抛物线函数的拉普拉斯变换 单位抛物线函数为 0,0t,, (), 1ut,2,0tt,2, 根据拉普拉斯变换的定义，单位抛物线函数的拉普拉斯变换为 ,11122,st,,Fs,L[t],tedt,R(s),0 e3,22s0 22 (5) 指数函数的拉普拉斯变换 指数函数: ,0t0, ,u(t),,at,et0, ,at根据拉普拉斯变换的定义，指数函数的拉普拉斯变换为 e ,,at,at,st,,Fs,L[e],e,edt ,0 ,,11,(a，s)t,(s，a)t,edt,,e, ,s，as，a00 1atFs,L,,e,,,同理可得 s,a n(6) 幂函数的拉普拉斯变换。 t(n,,1) n(n，1) ,,Lt,n!sRe(s),0 2.4 拉氏变换的性质 (1) 线性性质 拉氏变换也遵从线性函数的齐次性和叠加性。拉氏变换的齐次性是:一个时间函数乘以 常数时，其拉氏变换为该时间函数的拉氏变换乘以该常数。 若 ,,Lf(t),F(s) 则 ,, Lkf(t),kF(s) k其中 为常数。 f(t)拉氏变换的叠加性是:两个时间函数与之和的拉氏变换等于、 f(t)f(t)f(t)f(t)1212 的拉氏变换F(s)、F(s)之和。即 12 ,,,,Lf(t),F(s);Lf(t),F(s) 1122 ,,,,,,Lf(t),Lf(t)，Lf(t),F(s)，F(s)则 1212 sin,t例 求及的拉氏变换。 cos,t 解:根据欧拉公式 j,t e,cos,t，jsin,t 23 ,j,t e,cos,t,jsin,t 1j,t,j,t则 cos,t,(e，e)2 1j,t,j,t sin,t,(e,e)j2 又根据拉普拉斯变换的线性性质，有 11j,t,j,t,,,, L,,cos,t,Le，Le 22 11j,t,j,t ， Le,,,,,Le,(s,j,)s，j, ,,11(s，j)，(s,j)s,Lcost,，,,所以 ,,22222(s,,j)2(s，j,)2(s，,)s，, ,,1111j2,Lsint,,,,,,同理 ,,2222j2(s,,j)j2(s，j,)j2(s，,)s，, ,2t，求的拉氏变换。 例 已知f(t)f(t),1,e 112解:应用线性性质，则 F(s),L[f(t)],,,ss，2s(s，2)(2)微分性质 若，则 ,,Lf(t),F(s) d，， Lf(t),sF(s),f(0),,dt，， m例 已知，为整数，求的拉氏变换。 mf(t)f(t),t (m,1)(m),解:由于，且，由拉氏变换微分性f(0),f(0),？？,f(0),0f(t),m! 质得 (m)m(m) ，又因 ,,,,,,,,Lf(t),sLf(t)Lf(t),Lm!,m!s (m)mm，1故 ,, ,,Lf(t),Lf(t)s,m!s (3) 积分性质 ,,Lf(t),F(s)若，则 ,,Lf(t)dt,F(s)s，f(t)dts ,,t,0 24 k例 已知～为实数，求的拉氏变换。 f(t),sinktdtf(t), 解:根据拉氏变换的积分性质得 ,,,,Lf(t),Lsinktdt, 1 =L ,,sinkts k ,22sks(，) (4) 延迟性质 如图2,4,1所示，原函数沿时间轴平移τ， f (t) f (t) 平移后的函数为f (t-τ)。该函数满足下述条件 f (t-τ) t<0时，f (t)=0 t<τ时, f (t-τ)=0 0 τ t 若L[f(t)]= F(s)～则 图2,4,1 -s, (,,0) L[f (t-,)]=eF(s) ～ ,,0,t,,,, 求函数 u(t)的拉氏变换。 例,,1,t,, 解:由延迟性质得: ,s,,s, ,,,,Lu(t,,),eL1(t),es (5) 位移性质 ,at若，则 ,,Lf(t),F(s)L[ef(t)],F(s，a) ,at例 求的拉氏变换。 esin,t ,,Lt,[sin]解:因为 22s，, ,,at,L[esint],故 22(s，a)，, 例 求下面各图所示函数的拉氏变换。 f (t) f (t) 2 T 2a a T0 T 2T 3T t 0 T t 2 25 图2,4,2 图2,4,3 解: 图2,4,2可表示成如下时间函数: a1 f(t),a,1(t)，(t,T),(t,2T),2a,1(t,3T)TT 利用延迟性质，求得f (t)的拉氏变换为 aaa1,Ts,2Ts,3Ts Fs,，e,e,ae()222ssTsTs 图2,4,3三角波可表示为 48T4 f(t),t,(t,)，(t,T) 2222TTT 利用延迟性质，求得f (t)的拉氏变换为 Ts,4844TsTsTs,,,2 F(s),,e，e,(1,2e，e)22222222TsTsTsTs(6) 时间尺度性质 若，则 L[f(t)],F(s) 1s，， L[f(at)],Fa,0,,aa，， (7) 初值定理 若L[f(t)]= F(s)～且存在，则 limsF(s)s,, f(0),limf(t),limsF(s) t,0s,, (8) 终值定理 limf(t)若L[f(t)]= F(s)～且存在，则 t,, f(,),limf(t),limsF(s) t,,s,0 1例 已知F(s)= ,求f(0)和f ()。 ,s，a 解:由初值定理和终值定理可得 1 ==1 f(0),limsF(s)limss,,s,,s，a 1f(,),limsF(s),=0 limss,0s,0s，a 1例 已知F(s)= ～求f(0)和f ()。 ,22s，a 解:由初值定理得 s (0),lim,0f22S,,s，a s,,jasF(s)f(,)由于是的奇点，位于虚轴上，不能应用终值定理，既不存在。 26 例 (1) 拉氏变换的数学表达式为( )。 ,,,,st,st,st,j,tf(t)edtf(t)edt ? ;? ;? ;? 。 f(t)edtf(t)edt,,,,00,,,, 答:? 。 s，1(2) 已知误差函数，则由终值定理可知其稳定误差E(s),2s(s，2s，1) e,lime(t),( )。 sst,, ? 1 ;? ? ;? 0 。 s，1eets答:，所以选择 ? 。 ,lim(),lim,,1ss2t,,s,0sss(，2，1) ,5t(3) 已知函数的拉氏变换为( )。 f(t),2,te 11212121,5s，,e ? ;? ;? ;? 。 ,,222ss，5ssss(s，5)(s,5) 。 答:依据线性性质和位移性质选择 ? (4) 图2,4,4所示函数的拉氏变换为( )。 a 0 τ t 图2,4,4 1aaa,,s,,s,seee ? ;? ;? ;? 。 ssss a,,se答:因为，依据延迟性质，的拉氏变换为。所以选择 ? 。 x(t),a(t,,)x(t)s 1F(s),(5) 已知，其原函数为( )。 f(t)2s，4s，5 ,2t2t,t2tesin2tecostesintesint ? ;? ; ? ; ? 。 11,2tF(s),,答:由于，其原函数为所以选择?。 f(t),esint22s，4s，5(s，2)，1 2.5 拉氏反变换 。 2.5.1 拉氏反变换的定义 部分分式法 s，3F(s),f(t),?例 已知，求 2s，3s，2 27 2解:因的一阶极点，可得 D(s),s，3s，2,(s，1)(s，2),s,,1和s,,2是F(s) CC12F(s),， s，1s，2 s，3式中 C,(s，1),21(s，1)(s，2)s,,1 s，3 C,(s，2),,12(s，1)(s，2)s,,2 ,t,2t所以 。 f(t),2e,e(t,0) 1例 求的原函数。 F(s),3s(s，2)(s，3) CCCCC13311122F(s),，，，，解: 32s，2ss，3(s，2)(s，2) 113CF(s)(s2),，,,,11s,,2s(s3)2，s,,2 dd1(2s3)1,，3C[F(s)(s2)][],，,,,1222s,,2(3)4dsdsss，s(s3)，s,,2s,,2221d1d13C[F(s)(s2)][],，,1322s,,22!2!s(s3)，dsdss,,2 21d(2s3)12s[s(s3)(2s3)]3,，，,，[],,,,，,,22432!28dss(s3)s(s3)，，s,,2s,,2 11,,,,CF(s)s 23s,024(s，2)(s，3)s,0 11,,，,,CF(s)(s3) 33s,,33s(s，2)s,,3 ,,,uuv,uv,,,(提示: ) ,,2vv,, 31111,832424F(s),，,，，所以， 32s，2ss，3(s，2)(s，2) 28 查表可得 113112,2t,2t,2t,2t()ft,,te，te,e，，e448243 1112,2t,3t,(,t，t,1.5)e，e，4324 10例 已知 。 F(s),s(s，1) (1) 用终值定理，求时的f(t)的值。 t,, (2) 通过取F(s)的拉氏反变换，求时f(t)的值。 t,, 解:方法1，由终值定理知: 10ftsFsslim(),lim(),lim,10t,,s,0s,0ss(，1) 方法2，利用部分分式法将改写成 F(s) 1010,10 F(s),,，s(s，1)ss，1 则可知的拉氏反变换为 F(s) ,t f(t),10,10e ,tlimf(t),10,lim10e,10则 t,,t,, 1F(s),例 已知 。 2(s，2) ，(1)利用初值定理求和的值。 f(0)f(0) ，，(2)通过取F(s)的拉氏反变换求，并求及和 。 f(t)f(0)f(t)f(0) sfftsFs解:(1) (0),lim(),lim,(),lim,0 2t,s,,s,,0s(，2) ,,st22，，，，,,,,Lf(t),f(t),edt,sF(s),s,f(0),f(0),sF(s),f(0)因为 ,0 ,，，,st2,,,limf(t)edt,limsF(s),f(0),0两边取极限s??， ,,,s,,s,,0，， 2s2,fsFs(0),lim(),lim,1所以 2s,,s,,s(，2) 29 ,2t(2)F(s)的拉氏反变换为，则 f(t),te ,2t， f(t),e(1,2t) ,2tf(0),te,0 t,0 ,2t， f(0),e(1,2t),1t,0 可见，两种方法结果相同。 s，1F(s),例求的拉氏反变换。 2s，s,6 解: 部分分式法: CCs，1s，112 F(s),,,，2(s，3)(s,2)s，3s,2s，s,6 12s，其中 (3)C,s，,1s,,3(3)(2)5s，s, 13s， (2)C,s,,2s,2(3)(2)5s，s, 2131F(s),()，()所以 5s，35s,2 因此的拉氏反变换为 F(s) ，，2131,1,1(),(),()，()ftLFsL,,,,5(，3)5(,2)ss，， 2131,,,,,1,1 ,，LL,,,,5，35,2ss,,,, 23,3t2t,，ee55 复习提纲 (1)复数的概念，复数的代数运算法则。 (2)复数的向量表示法，指数表示法。 (3)留数的定义及其计算方法。 (4)拉氏变换的定义。 ,atn(5)用拉氏变换的定义求的拉氏变换。 ,(t),1(t),t,e,t,sin,t (6)线性性质、微分定理、积分定理、延迟定理、复域位移定理、初值定理、终值定 30 理是什么,如何应用。 (7)用部分分式法求原函数。 结论 31