同济版线性代数第四章习题全解

第四章　向量组的线性相关性 1．设 , 求 及 . 解  2．设 其中 , , ,求 解  由 整理得 3．举例说明下列各命 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 是错误的: (1)若向量组 是线性相关的,则 可由 线性表示. (2)若有不全为0的数 使 成立,则 线性相关, 亦线性相关. (3)若只有当 全为0时,等式 才能成立,则 线性无关, 亦线性无关. (4)若 线性相关, 亦线性相关,则有不全为0的数, 使 同时成立. 解  (1) 设 满足 线性相关,但 不能由 线性表示. (2) 有不全为零的数 使 原式可化为 取 其中 为单位向量,则上式成立,而 , 均线性相关 (3) 由 (仅当 ) 线性无关 取 取 为线性无关组 满足以上条件,但不能说是 线性无关的. (4) 与题设矛盾. 4．设 ,证明向量组 线性相关. 证明  设有 使得 则 (1) 若 线性相关,则存在不全为零的数 , ; ; ; ; 由 不全为零,知 不全为零,即 线性相 关. (2) 若 线性无关,则 由 知此齐次方程存在非零解 则 线性相关. 综合得证. 5．设 ,且向量组 线性无关,证明向量组 线性无关. 证明  设 则 因向量组 线性无关,故 因为 故方程组只有零解 则 所以 线性无关 6．利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组: (1) ;  (2) . 解  (1) 所以第1、2、3列构成一个最大无关组. (2) ， 所以第1、2、3列构成一个最大无关组． 7．求下列向量组的秩,并求一个最大无关组: (1)　 , , ; (2)　 , , . 解　(1)　 线性相关. 由 秩为2,一组最大线性无关组为 . (2) 秩为2,最大线性无关组为 . 8．设 是一组 维向量,已知 维单位坐标向量 能 由它们线性表示,证明 线性无关. 证明  维单位向量 线性无关 不妨设: 所以　 两边取行列式，得 由 即 维向量组 所构成矩阵的秩为 故 线性无关. 9．设 是一组 维向量,证明它们线性无关的充分必要条件 是：任一 维向量都可由它们线性表示. 证明  设 为一组 维单位向量，对于任意 维向量 则有 即任一 维向量都 可由单位向量线性表示. 线性无关，且 能由单位向量线性表示，即 故 两边取行列式，得 由 令 则 由 即 都能由 线性表示，因为任一 维向量能由单 位向量线性表示，故任一 维向量都可以由 线性表示. 已知任一 维向量都可由 线性表示，则单位向量组： 可由 线性表示，由8题知 线性无关. 10．设向量组 : 的秩为 ,向量组 : 的秩 向量组 : 的秩 ,证明 证明  设 的最大线性无关组分别为 ,含有的向量个数 (秩)分别为 ,则 分别与 等价,易知 均可由 线性表示,则秩( ) 秩( ),秩( ) 秩( )，即 设 与 中的向量共同构成向量组 ,则 均可由 线性表示, 即 可由 线性表示,从而 可由 线性表示，所以秩( ) 秩( ), 为 阶矩阵，所以秩( ) 即 . 11.证明 . 证明:设   且 行向量组的最大无关组分别为 显然,存在矩阵 ,使得 , 因此　 12．设向量组 能由向量组 线性表示为 ， 其中 为 矩阵，且 组线性无关。证明 组线性无关的充分必要条 件是矩阵 的秩 . 证明　 若 组线性无关 令 则有 由定理知 由 组: 线性无关知 ，故 . 又知 为 阶矩阵则 由于向量组 : 能由向量组 : 线性表示,则 综上所述知 即 ． 若 令 ,其中 为实数 则有 又 ,则 由于 线性无关,所以 即                （1） 由于 则(1)式等价于下列方程组: 由于 所以方程组只有零解 .所以 线性无关, 证毕. 13．设 问 是不是向量空间？为什么？ 证明  集合 成为向量空间只需满足条件： 若 ，则 若 ，则 是向量空间，因为： 且     故 故 不是向量空间，因为： 故 故当 时， 14．试证:由 所生成的向量空间就 是 . 证明　 设 于是 故线性无关.由于 均为三维,且秩为3, 所以 为此三维空间的一组基,故由 所生成的向量空间 就是 . 15．由 所生成的向量空间记作 ,由 所生成的向量空间记作 ,试证 . 证明  设 任取 中一向量,可写成 , 要证 ,从而得 由 得 上式中,把 看成已知数,把 看成未知数 有唯一解 同理可证: ( ) 故 16．验证 为 的一个基,并把 用这个基线性表示. 解  由于 即矩阵 的秩为3 故 线性无关，则为 的一个基. 设 ，则 故 设 ，则 故线性表示为 17．求下列齐次线性方程组的基础解系: (1)     (2) (3) . 解　(1) 所以原方程组等价于 取 得 取 得 因此基础解系为 (2) 所以原方程组等价于 取 得 取 得 因此基础解系为 (3)原方程组即为 取 得 取 得 取 得 所以基础解系为 18．设 ,求一个 矩阵 ,使 ,且 . 解  由于 ,所以可设 则由 可得 ,解此非齐次线性方程组可得唯一解 ，　故所求矩阵 ． 19．求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为 . 解  显然原方程组的通解为 ,( ) 即 消去 得 此即所求的齐次线性方程组. 20．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知 是它 的三个解向量．且 ， 求该方程组的通解． 解  由于矩阵的秩为3， ，一维．故其对应的齐次线性 方程组的基础解系含有一个向量，且由于 均为方程组的解，由 非齐次线性方程组解的结构性质得 为其基础解系向量，故此方程组的通解： ， 21．设 都是 阶方阵，且 ，证明 ． 证明  设 的秩为 ， 的秩为 ，则由 知， 的每一列向量 都是以 为系数矩阵的齐次线性方程组的解向量． (1) 当 时,该齐次线性方程组只有零解,故此时 , ， ， 结论成立． (2)　当 时,该齐次方程组的基础解系中含有 个向量,从而 的列向量组的秩 ,即 ,此时 ,结论成立。 综上, ． 22．设 阶矩阵 满足 , 为 阶单位矩阵,证明 (提示:利用题11及题21的结论) 证明  所以由21题所证可知 又　 由11题所证可知 由此 ． 23．求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解 系： (1)   (2) 解  (1) (2) 24．设 是非齐次线性方程组 的一个解, 是对应的齐 次线性方程组的一个基础解系,证明: (1) 线性无关； (2) 线性无关。 证明  (1)反证法,假设 线性相关,则存在着不全为0的数 使得下式成立: (1) 其中, 否则, 线性相关,而与基础解系不是线性相关的 产生矛盾。 由于 为特解， 为基础解系，故得 而由(1)式可得 故 ，而题中,该方程组为非齐次线性方程组,得 产生矛盾,假设不成立, 故 线性无关. (2)反证法,假使 线性相关. 则存在着不全为零的数 使得下式成立: （2） 即 1) 若 ,由于 是线性无关的一组基础解 2) 系,故 ,由(2)式得 此时 与假设矛盾. 3) 若 由题(1)知, 线性无关,故 与假设矛盾, 综上,假设不成立,原命题得证. 25.设 是非齐次线性方程组 的 个解， 为实数， 满足 .证明 也是它的解. 证明    由于 是非齐次线性方程组 的 个解. 故有    而 即      （ ） 从而 也是方程的解． 26．设非齐次线性方程组 的系数矩阵的秩为 ， 是它 的 个线性无关的解(由题24知它确有 个线性无关的 解)．试证它的任一解可表示为 （其中 ）. 证明　设 为 的任一解． 由题设知： 线性无关且均为 的解． 取 ，则它的均为 的 解． 用反证法证： 线性无关． 反设它们线性相关，则存在不全为零的数： 使得 即 亦即 由 线性无关知 矛盾，故假设不对． 线性无关，为 的一组基． 由于 均为 的解，所以 为的 解 可由 线性表出． 令 则 ,证毕．