浅谈二项分布与超几何分布的数学期望

浅谈二项分布与超几何分布的数学期望浅谈二项分布与超几何分布的数学期望浅谈二项分布与超几何分布的数学期望科技信息高校理科研究浅谈二I页分布与超几伺分布硇数学期望辽宁工程技术大学基础教学部李娜王磊 [摘要]本文给出了二项分布和超几何分布数学期望的求解方法,讨论了两者之间的关系,文中的具体实例说明了这一点. [关键词]二项分布超几何分布数学期望二项分布与超几何分布是离散型随机变量中比较重要的分布,两者既有联系又有区别.随机变量的数学期望是反映随机变量的一个重要数字特征.在概率论中占有相当重要的地位,弄清楚两种分布的数学期望对于...

浅谈二项分布与超几何分布的数学期望浅谈二项分布与超几何分布的数学期望科技信息高校理科研究浅谈二I页分布与超几伺分布硇数学期望辽宁工程技术大学基础教学部李娜王磊 [摘要]本文给出了二项分布和超几何分布数学期望的求解方法 ,讨论了两者之间的关系,文中的具体实例说明了这一点. [关键词]二项分布超几何分布数学期望二项分布与超几何分布是离散型随机变量中比较重要的分布,两者既有联系又有区别.随机变量的数学期望是反映随机变量的一个重要数字特征.在概率论中占有相当重要的地位,弄清楚两种分布的数学期望对于初学者尤为重要. 两种分布 1. 定义1设有N件产品,其中有M件正品,从中按有放回的抽样方式任取n(n?N)件,以x表示n件正品的个数,则恰有m(m?M)件正品的概率为 PIX:}_::二 N =c()(1,)… 若令珊_M=P, 则P{x=,BI=CTp(1一p)n-m,121=0,1,2,…,n 称随机变量x服从二项分布,记为X—B(n,p).当n=l时,x服从0-1 分布. 定义2设有N件产品,其中有M件正品,从中按不放回的抽样方式任取n(nN)件,以Y表示n件正品的个数,则恰有in(m?M)件正品的概率为 r.r1… P{Y=ml_M__二:=M_ CN 称随机变量Y服从超几何分布,记为Y,tt(n,M,N) 2.分布的关系若随机变量x服从二项分布X,B(n,p),则x可以看作n个相互独立的服从0-1分布的随机变量的和.若随机变量Y服从超几何分布,即 Y,H(n,M,N),Y也可以看作是n个服从O-1分布的随机变量Y,,(i=1,2, … , n)的和,表示第i次抽样抽到正品的个数.根据抽签原理p{YI-1)= ,若i?j,则Y.与Y是不独立的.即说明超几何分布中的这n个0-1 分布的随机变量并不是相互独立的.因此在实际应用时,要注意两者的区别. 在实际应用中元素的个数N是相当大的,例如,从一个工厂的几十万件产品中任抽几千件观察等.因而在N非常大的实际问题中,放回抽样和不放回抽样的相应事件发生的概率几乎是相同的.因此,则当抽样数13保持不变且远小于样本数N即也小于M和N—M时,有引理1【1]超几何分布的极限分布是二项分布. 证明: r1.r1"一 P{Y=ml_===M_ CN .=21. … ,mf(n-m)!一n!f\fN-M1 ,——]一一lN/IN/ =CPq 二项分布是有放回抽样,而超几何分布是不放回抽样.引理1说明,对于不放回抽样,当抽样数rl保持不变且远小于样本数N同时也小于M和N--M时,超几何分布中的相当于二项分布中的参数P,而 — N-M一相当于三项分布中的1一p. 3.分布的期望我们先给出二项分布的期望,二项分布的期望可用定义法121或者把二项分布分成11个相互独立的O-1分布的随机变量的和,利用期望的性质求解.于是有,若X~B(n,p)则E(x)=np,再根据上面记法,即E(X) :n' 导. 对于超几何分布的期望,设Y,H(n,M,N),则求期望E(Y)也相应的有两种方法. 解法1(定义法): E(Y)=?mP{Y=m}:?m =.C = 寺m''c ='c 一 l22一令k=m,1,则 E(Y):?c一c=c=nM CNCN' 解法2(利用性质):因为Y看作n个互不独立但仍然服从0一1分布的随机变量Y,Y:,…,Y的和,即Y=Y十Yz+…+Y其中E(=p=, i=l,2,…,n,因此 E(Y)=Ef?Y.?E(Y.)=np=n 二项分布与超几何分布的数学期望相同,在求解时都可以用两种方法,但定义法比较麻烦,利用期望的性质比较简单.需要说明一点,随机变量和的期望等于随机变量期望的和,这里并不要求和中的随机变量相互独立. 例1已知100个产品中有10个次品,求任意取出的5个产品中次品数的期望值. 解:文献『4]给出了两种方法:第一种是求出5个产品中次品数的分布率,然后利用定义求解;第二种是利用分解法俐用性质).对于本题, 令x表示5个产品中次品数,经分析X,H(n,M,N),直接利用公式得E n.=s一o-s. 若认为x,B(n,p),其中n=5,P==:o.1,则由二项分布的期望得E(X1=np=5x0.1=0.5,虽然结果是正确的,但计算过程不对,因为随机变量x服从超几何分布而不是二项分布. 例2一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有1O个车站可以下车,如到达一个车站没有旅客下车就不停车.以x表示停车的次数,求Efx)(设每位旅客在各自车站是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立). 解我们先给出文献[3】的方法引入随机变量 Xi={:蓁嚣千辜:i=…,0易知X=X1+x2+??+Xl0,现在来求EO【). 按题意,任一旅客在第i站不下车的概率为,因此20位旅客在第 i站都不下车的概率为(9),在第i站有人下车的概率为1-(斋). 也就是Pfx_-0}:(9),P{x=1】=1一(9),i=1,2,…,10 /0, 20 由此E(X,):1一(斋},i=1,2,…,10 进而E(X):E(X1+X2+…+x10) =E(XI)+E(x2)+.一+E(X0) =10f1一()f=8.784(次) 将X分解成数个随机变量之和,然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望之和.这种处理方法有一定的普遍意义,且在某种程度上可以简化问题. 我们看另外一种做法合不合理,令表示不停车的次数,则E(X) =10一E,又因为,BOO,p),其中P为任一站不停车的概率,由上面的方法知p=(9),所以E(')=nP:10?(斋),则E(x)=10—10?(斋) = 1ol1,(百9)J:,784(次),和上面的结果一致.但经仔细分析求解过程,发现是不对的,因为根本就不服从二项分布,因为每一站不停车或者停车并不是相互独立的,比如前9站不停车,则第1O站一定停车. 因此,第一种做法不要理解为随机变量x.,x,…,x..是相互独立的. 参考文献 [1]陈魁.应用概率统计[M]北京:清华大学出版社,2000.03. [2]何春.浅淡离散型随机变量的数学期望[J].高等数学研究,2001,4 ?):35-36. [3]高雷阜,柴岩.概率论与数理统计[M].北京:高等教育出版社, 2009.02. [4]姜玉英,刘强.离散型随机变量数学期望的几种巧妙算法I].大学数学,2008,24(5):153-154

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