特殊的平行四边形综合
题
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专题:特殊的平行四边形
1、在正方形ABCD中,点P是CD上一动点,连PA,分别过B、D作BE?PA,DF?PA,垂足为E、F。(如图)
(1)探索BE、DF、EF这三条线段具有怎样的数量关系,写出你的结论,并加以证明; (2)若将(1)中“点P是CD上一动点”改为“P是CD延长线上一动点”其他条件不变,请画出图形,并写出BE、DF、EF三条线段之间的数量关系。(不需要证明)
AADD
E
F
BCBC2、已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF?BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG(
(1)求证:EG=CG;
(2)将图?中?BEF绕B点逆时针旋转45º,如图?所示,取DF中点G,连接EG,CG(问(1)中的结论是否仍然成立,若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由( (3)将图?中?BEF绕B点旋转任意角度,如图?所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立,通过观察你还能得出什么结论,(均不要求证明) D A D A D A G
F G E E F E
C C B C B B F
图? 图? 图?
3、如图,在平面直角坐标系中,四边形OBCD是正方形,且D(0,2),点E是线段OB延长线上一点,M是线段OB上一动点(不包括点O、B),作,垂足为M,交MN,DM
的平分线于点N。 ,CBE
(1)写出点C的坐标;
(2)求证:MD=MN;
(3)连接DN交BC于点F,连接FM,下列两个结论:?FM的长度不变;?MN平分,FMB,其中只有一个结论是正确的,请你指出正确的结论,并给出证明。 y
CD
N
O EMBx
4、如图1,正方形ABCD的对角线相交于O,过O作分别交DC于E,BC于F,OE,OF
的平分线交直线AC于P。 ,FEC
(1)OE与OP的数量关系是 。
(2)写出线段EF、PC、BC之间的数量关系,并证明你的结论; (3)如图2,当绕O点逆时针旋转一个角度,使E、F落在CD、BC的延长线上,,EOF
请完成图形并判断(2)中的结论是否正确,若不成立,写出相应的结论。
ADAD
OO
E
P
BFBCC图2 图1
5、和分别是以AB、AE为底的等腰直角三角形,以CE、CB为边作CEHB,,ADE,ABC
连DC、CH。
(1)如图1,当点D在AB上时,CH和CD之间有何数量关系,并说明理由; (2)将图1中的绕A点逆时针旋转45?,的图2,则CH和CD之间的数量关系,ADE
为 ;
(3)将图1中的绕A点顺时针旋转(0?,,45?)得图3,请探究CH与CD,ADE,,
之间的数量关系,并证明。 HB BHBH
DEDD CA CAEECA 图2图1图3
6、如图1,图2,四边形ABCD是正方形,M是AB延长线上一点.直角三角尺的一条直角边经过点D,且直角顶点E在直线AB上滑动(点E不与点A,B重合),另一条直角边与
的平分线所在直线BF相交于点F. ,CBM
(1)如图1,当点E在AB边的中点位置时:
?通过测量DE,EF的长度,猜想DE与EF满足的数量关系是 ;
?连接点E与AD边的中点N,猜想NE与BF满足的数量关系是 ;
?请证明你的上述两猜想.
DC
ABEM
图2 F图1 图3
(2)如图2,当点E在AB边上的任意位置时,请你在AD边上找到一点N,使得NE=BF,进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系(不必证明).
(3)如图3,当点E在AB边反向延长线上时,DE与EF还有(2)中的数量关系吗,说明你的理由.
7、两个大小不同的等边和等边如图摆放,连接AE、BD,M、N、P、Q分,ABC,DEC
别为线段AB、BD、ED、AE的中点。
(1)判断四边形MNPQ的形状,并证明你的结论;
(2)将上图中的等边绕点C顺时针旋转角度(60?,,360?)时,(1)中的结,,,DEC
论是否仍然成立,若成立,画出一种情形,给出证明;若不成立,请说明理由。 A
QM D
PN
BEC
8、某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时,将一块三角板的直角顶点绕矩形ABCD(AB,BC)的对角线交点O旋转(?????)图中M、N分别为直角三角形的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点。
(1)该学习小组成员意外地发现在图?(三角板的一直角边与CD重合)中,222222BN=CD+CN,在图?中(三角板的一边与OC重合)中CN=BN+CD,请你对这名成员在图?和图?中发现的结论,选择其一说明理由。
(2)试探究图?中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的数量关系,写出你的结论,并说明理由。
(3)将矩形ABCD改为正方形ABCD,直角三角板直角顶点绕O旋转至图?,两直角边与AB、BC分别交于M、N,直接写出BN、CN、CM、DM这四条线段之间满足的数量关系。(不需证明)
DA DAADAD OOOMOM
CC CBBNCBNNNB 图4,,图1,,图2,,图3,,
9、如图1,在平面直角坐标系中,A(-6,0),B(0,2)、C(-4,4),AC=,双曲线25
k经过点C,连接BC。 y,x
(1)求k的值;
图1
(2)如图2,若点M的坐标为(-3,1),点E、F分别在BC、CA的延长线上,且BE=CF,
EF求的值; EM
(3)如图3,点Q为双曲线上一点,过Q作轴于N,NQ交OC的延长线于S,QN,y
2是否存在这样的点Q使,若存在,求Q点坐标;若不存在,说明理由。 CS,BN2