关于等周问题级数解法的一些改进

关于等周问题级数解法的一些改进 关于等周问题级数解法的一些改进 2006仨 第3期 青海师范大学(自然科学版) JournalofQinghaiNormalUniversity(NaturalScience) 20o6 No.3 关于等周问题级数解法的一些改进 已渊 (青海卫生职业技术学院,青海西宁810000) 摘要:对苏步青教授在文[1]中介绍的改良后的Hurwitz方法再作一些改进,先对Wirtinger引理进行推广,再用推广后的 Wirtinger不等式很自然而简洁地推出了等周不等式. 关键词:等周问题;等周不等式;级数;解法;改进 中图分类号:0173文献标识码:B文章编号:1(301—7542(2006)o3—0015一o3 1引言 等周问题最早是由着名数学家JohamBeynoulli在1697年提出的,即在具有定长的一切平面单纯闭 曲线中,圆是最大面积的曲线.在随后的300多年间,人们围绕等周问题开展了深入的研究与讨论,并将 其称之为等周定理(等周不等式),等周定理的 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 方法可谓层出不穷,日新月异.在等周定理(等周不等 式)证明方法中,比较有代 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 性的三种证明方法分别是1902年Hurwitz给出的第一个解析证明,1939年 E.Schmidt的证明和1978年苏步青教授在文[1]中介绍的改良后的Hurwitz方法(即用Fourier级数的方 法).近年来,国内学者在等周问题的研究和拓广方面取得了一些新的进展如文 [2],[8].本文对苏步 青教授介绍的改良后的Hurwitz方法再作一些改进,先对Wirtinger引理进行推广, 再用推广后的 Wirtinger不等式很自然地推出了等周不等式. 2Wirtinger引理的推广 Wirtinger引理设)是周期为2rr的C类周期函数,如果Ix)dx=o,那么 r21rr21r J.[()J.[)]d . 式中等号仅当)=acosx+bsinx时成立 现在将其推广为: 引理设f(x)是周期为T的C类周期函数,如果Ix)dx=o,那么 I[()]dx4rrI[)]dxJnJn 式中等号仅当):acos下27rx+bsin时成立. 证明将厂()展开为Fourier级数 f(x),+高(.s+6nSin) 因为)是周期为的c类周期函数,逐项求导可得()的Fourier级数 ),高(6nc.s一in) 收稿日期:2OO6—03—16 作者简介:姚渊(1964一),女(汉族),上海人,青海卫生职业技术学院副教授 ,,,,, 0 16青海师范大学(自然科学版)2006年 而根据假设有口0=J.)d=o,利用Parseval公式可得 2IT[)]d: 奎(口2+6)(5) )]2砉(下4n27r224下n27r2=筝荟2 即TJ0[Td=高2(6) (6)式减去(5)式可得 TJ0[T[圳d=蓥(1)(". 畏?』[厂()]d47r2I[[f()]d(7) 当且仅当‰:6:o(n>1)时即厂():acos+bsin时等式成立,证毕. 3等周问题(等周不等式)的新解法 关于等周问题亦可表述为下列的等周定理(等周不等式),本节给出等周定理(等周 不等式)的直接 比较式证明. 等周定理(等周不等式)在具有定长的一切平面单纯闭曲线C中,圆是最大面积的 曲线.换言之,设 A是一条长为的单纯闭曲线围成的平面图形的面积,~g/z, L2—4rrA>0(8) 式中等号当且仅当曲线c是圆时成立. 证明假设曲线C的自然参数方程为(c):{ LY 轴),曲线c的周长和其围成的平面图形的面积分别为 L:fds:f([,()]+[Y,()])dL=I=I([(s)]2+[(s)]2)dsJ0J0 A=I(s)Y(s)ds ;,.s,s为自然参数(适当选取坐标 (9) (10) 于是一4以=J.([(s)]+Iy(s)])ds一47rJ.(s)),(s)dsr,.r, = {[[(s)]ds一4不[(s)]ds]+[(s)一2(s)]dso 等式成立当且仅当(s)=口c.s2-2邢--+6sin孕,),(s)=(s),解之得 …sin孕 1.y—sin孕一+. 可见.这时曲线是一个圆+(v—c):口+b2.等周不等式证毕. 参考文献: [1]苏步青.微分几何五讲[M].上海:上海科学技术出版社,1978. [2]汪遐昌.均值不等式的重要应用——等周问题的一个简洁证明[J].I~lJJl师范大 学(自然科学版),1996,6. [3]项武义.等周问题的一个初等证明[J].数学年刊A辑(中文版),2002,1. 第3期姚渊:关于等周问题级数解法的一些改进 [4]王方汉.平面折线的等周问题[J].数学通讯,1999,12. [5]张正杰.与等周不等式有关的约束极小问题[J].华中师范大学(自然科学 版),1995,4 [6]黄宣国.某些特殊曲面和子流形的等周不等式[J].数学年刊A辑(中文 版),1998,2. [7]蔡开仁.欧氏空间超曲面的等周不等式[J].杭州师范学院(自然科学版),2001,1. [8]周家足.积分几何与等周不等式[J].贵州师范大学(自然科学版),2OO2,2. OntheIsoperimetricProblemSeriesSolutionModification YA0Yuan (Qingh~,HygieneTechnologyAcademy,Xining810000,China) Abstract:ThepaperimprovesagainOnthebaseoftheimprovementoftheHurwitz'sMeansby SuBuqing.By spreadingWirdnger'slemmaearlier,Weearlcertainlyandterselyputoutawaitaweekinequal ity. Keywords:Isoperimetricproblem;Awaitaweekinequality;Series;Solution;Moaify (上接第l2页) 证明若拓扑空间(t,1)与(,)同胚,即存在一一的满的序同态厂:t一且厂,广 均连续.(-,1)是正规空间,A与B分别是中的任意两个闭集,且A圭B.因为广也是一 一的满的 连续的序同态,所以厂(A),厂(是(-,1)中的闭集,且厂(A)圭厂(.由(t,1)是正规空 间,存在P?叩一(广(A))使厂(B)P.,这时广(A)圭P,即AP).Y-f是同胚映射,则P)? 叩一(A).由保序,故Bf(P.)(f(P)).,因此(,)也是正规空间. 推论I设(,)是LF拓扑空间,则T3T】7'o. 参考文献: [1]王国俊.L—fu2=y拓扑空间论[M].西安:陕西师范大学出版社,1988. [2]L|A.Zadeh.Ftmy8ets[j].InformControl,1965,(8):338—353. [3]C.Lchang.Fuzzytopological印8ces[J].Math.Ia1.Appl,1968,24:182-190. 【4]Fangjin—Xtlan,RenBai—lin.Aset0fricerseparationaxiomsinL— fu2=ytopologi~slmces[J].FtmysetsandSystems,1998,96:359—366 【5]LIIJYing—r,tingandLUOMao—l(al1g,S~llltionsinlattice—valuedinduced× lces[J].FtmysetsandSystems,1990.36:55-66. ANewNormalinL——fuzzyTopologicalSpace 4_,Xue.mei (DepartmentofMathematics,QinghalNormalUniversity,Xining810008,China) Abstract:Inthispaper,anewnormalinL— fuzzytopologicalspaceisgiver,.Moreover.someofitsbasicprop. ertiesarealsoexamined.Weobtainsomeofitsbasicproperties,suchasmuhiplicative,L— goodextend,and hereditary. Keywords:L—-fuzzytopologicalspace;remoteneighborhood;normal