平衡二叉树

二叉树： 左子树都小于根节点，右子树都大于根节点。可以动态维护这棵树（因为是树结构，可以有限步完成插入），所以是动态查找算法。时间复杂度为O(logn)在46.5%的情况下，需要把二叉树平衡化成“平衡二叉树”。 平衡二叉树：定义：平衡二叉树或为空树,或为如下性质的二叉排序树: （1）左右子树深度之差的绝对值不超过1; （2）左右子树仍然为平衡二叉树. 平衡因子：平衡因子bf=左子树深度－右子树深度, 每个结点的平衡因子只能是1，0，-1。若其绝对值超过1，则该二叉排序树就是不平衡的。增加一个元素后，平衡二叉树有可能变成不平衡了，所以需要旋转平衡调整。 平衡二叉树算法思想： 若向平衡二叉树中插入一个新结点后破坏了平衡二叉树的平衡性。首先要找出插入新结点后失去平衡的最小子树根结点的指针。然后再调整这个子树中有关结点之间的链接关系，使之成为新的平衡子树。当失去平衡的最小子树被调整为平衡子树后，原有其他所有不平衡子树无需调整，整个二叉排序树就又成为一棵平衡二叉树。失去平衡的最小子树是指以离插入结点最近，且平衡因子绝对值大于1的结点作为根的子树。假设用A 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示失去平衡的最小子树的根结点，则调整该子树的操作可归纳为下列四种情况：（可以断定插入一个节点一定是在叶子节点上） （1）LL型平衡旋转法 由于在A的左孩子B的左子树上插入结点F，使A的平衡因子由1增至2而失去平衡。故需进行一次顺时针旋转操作。 即将A的左孩子B向右上旋转代替A作为根结点，A向右下旋转成为B的右子树的根结点。而原来B的右子树则变成A的左子树。 （2）RR型平衡旋转法 由于在A的右孩子C 的右子树上插入结点F，使A的平衡因子由-1减至-2而失去平衡。故需进行一次逆时针旋转操作。即将A的右孩子C向左上旋转代替A作为根结点，A向左下旋转成为C的左子树的根结点。而原来C的左子树则变成A的右子树。 （3）LR型平衡旋转法 由于在A的左孩子B的右子数上插入结点F，使A的平衡因子由1增至2而失去平衡。故需进行两次旋转操作（先逆时针，后顺时针）。即先将A结点的左孩子B的右子树的根结点D向左上旋转提升到B结点的位置，然后再把该D结点向右上旋转提升到A结点的位置。即先使之成为LL型，再按LL型处理。 如图中所示，即先将圆圈部分先调整为平衡树，然后将其以根结点接到A的左子树上，此时成为LL型，再按LL型处理成平衡型。 （4）RL型平衡旋转法   由于在A的右孩子C的左子树上插入结点F，使A的平衡因子由-1减至-2而失去平衡。故需进行两次旋转操作（先顺时针，后逆时针），即先将A结点的右孩子C的左子树的根结点D向右上旋转提升到C结点的位置，然后再把该D结点向左上旋转提升到A结点的位置。即先使之成为RR型，再按RR型处理。 如图中所示，即先将圆圈部分先调整为平衡树，然后将其以根结点接到A的左子树上，此时成为RR型，再按RR型处理成平衡型。 平衡化靠的是旋转。参与旋转的是3个节点（其中一个可能是外部节点NULL），旋转就是把这3个节点转个位置。 注意的：左旋的时候p->right一定不为空，右旋的时候p->left一定不为空，这是显而易见的。 如果从空树开始建立，并时刻保持平衡，那么不平衡只会发生在插入删除操作上，而不平衡的标志就是出现bf == 2或者 bf == -2的节点。 插入和删除 ： 插入删除是互为镜像的操作。我们可以采用前面对二叉排序树的删除操作来进行。然后，在删除掉结点后，再对平衡树进行平衡化处理。删除之所以删除操作需要的平衡化可能比插入时次数多，就是因为平衡化不会增加子树的高度，但是可能会减少子树的高度，在有有可能使树增高的插入操作中，一次平衡化能抵消掉增高；在有可能使树减低的删除操作中，平衡化可能会带来祖先节点的不平衡。AVL树体现了一种平衡的美感，两种旋转是互为镜像的，插入删除是互为镜像的操作，没理由会有那么大的差别。实际上，平衡化可以统一的这样来操作： 查找：先按关键字找到删除的节点*p 删除：分为：1.叶子节点：直接删除该节点 2.单分子节点：用*p节点的左边或右孩子节点替代*p 3.双分子节点：用*p节点的左子树的最右下节点*r的值替代*p节点值，用*p 节点的右子数的最左下节点*r的值替代*p节点的值，再删除*r节点 调整： 1、while (current != NULL)修改current的平衡因子。 （1）插入节点时current->bf += (current->data > *p)?1:-1; （2）删除节点时current->bf -= (current->data > *p)?1:-1; （3）current指向插入节点或者实际删除节点的父节点，这是普通二叉搜索树的插入和删除操作带来的结果。*p初始值是插入节点或者实际删除节点的data。因为删除操作可能实际删除的不是data。 2、判断是否需要平衡化 if (current->bf == -2)     L_Balance(c_root); else if (current->bf == 2)  R_Balance(c_root); 3、是否要继续向上修改父节点的平衡因子 （1）插入节点时if (!current->bf) break;这时，以current为根的子树的高度和插入前的高度相同。 （2）删除节点时if (current->bf) break;这时，以current为根的子树的高度和删除前的高度相同 4、当前节点移动到父节点，转1。 p = &(current->data); current = current->parent; 习题分析： 1.含有n个节点的平衡二叉树的最大高度为O(log2n) 2.设Nh表示高度为h的平衡二叉树中含有的最少节点数：有N1=1、N2=2、Nh=Nh-1+Nh-2+1 3.已知节点个数N，有N1=1、N2=2、Nh=Nh-1+Nh-2+1，可以求出树的最大高度， 4.在一棵高度为h（h≧3）的平衡二叉树，最小叶子节点所在层次为h，最小叶子节点所在层次为min（h），显然有，min（1）=1，min（2）=2，min（1）={min（h-1），min（h-2）}+1 5.查找比较关键字序列：设含有n个节点的平衡二叉树，1.求出其最大高度，和叶子节点最小层数，则比较次数最大为最大高度值其一定能找到该节点（存在），所以序列个数一定小于最大高度大于或等于叶子节点最小层数  2.符合二叉排序树排序，用此排除一些选项 五、相关代码实现 1.基本结构体及变量 #define LH +1  // 左高 #define EH 0    // 等高 #define RH -1  // 右高 // 平衡二叉树的类型 struct AVLNode { int data; int bf;    //bf结点的平衡因子,只能够取0，-1，1，为左子树的深度减去右子树的深度 struct AVLNode *lchild,*rchild;    // 左、右孩子指针 }; 2.右旋操作： void R_Rotate(AVLNode *&p)  // LL型算法 { AVLNode *lc=p->lchild; // lc指向p的左子树根结点 p->lchild=lc->rchild; // lc的右子树挂接为p（之前跟节点）的左子树 lc->rchild=p; p=lc;                  // p指向新的根结点 } 3.左旋操作： void L_Rotate(AVLNode *&p)  // RR型算法 { AVLNode *rc=p->rchild;    // rc指向p的右子树根结点 p->rchild=rc->lchild;    // rc的左子树挂接为p的右子树 rc->lchild=p; p=rc;                    // p指向新的根结点 } 4.对树进行左平衡操作： void LeftBalance(AVLNode *&T) {  AVLNode *lc,*rd; lc=T->lchild;                      // lc指向T的左子树根结点 switch(lc->bf)    //  1为左高、0等高、-1为右高 { case LH:              // 1 新结点插入在*T的左孩子的左子树上，要作单右旋处理 T->bf=lc->bf=EH; R_Rotate(T); break; case RH:                // -1 新结点插入在*T的左孩子的右子树上，要作双旋处理 rd=lc->rchild;                // rd指向*T的左孩子的右子树根 switch(rd->bf) {        // 根据旋转后的效果去修改T及其左孩子的平衡因子 以下右旋转类似 case LH: T->bf=RH; lc->bf=EH; break; case EH: T->bf=lc->bf=EH; break; case RH: T->bf=EH; lc->bf=LH; } rd->bf=EH; L_Rotate(T->lchild);          R_Rotate(T);                } } 5.对树进行右平衡操作： void RightBalance(AVLNode *&T)