带电粒子在有界磁场中运动的临界问题例析湖北省恩施
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陈恩谱名师指路为L,板不带电.现有质里为m、电何量为q的带正电粒子（不计重力），从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可米用的办法是a.使粒子的速度v
/4mc•使粒子的速度v>BmLD•使粒子的速度BqL5BqL5BqL时粒子能从右边穿出.4m（2）粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在0点，由几何关系，有L「2=4「—mv2—BqL「2—Bq'得v2-4m所以v
分析
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出粒子速度较小一一轨迹半径较小时，还可以从磁场左边界穿出的情况。例2:如图所示，在OWxa0
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“半径从【要点提醒】考虑到粒子是向右偏转，我们从最左边的轨迹圆画起小逐渐取大”是同样的目的：避免打乱仗和漏掉其中一种情况。【手把手】取“圆心圆”上不同点为圆心、r为半径作出一系列圆，如图乙所示；其中，轨迹①对应弦长大于轨迹②对应弦长一一半径一定、圆心角都较小时（均小于180°,弦长越长，圆心角越大，粒子在磁场中运动时间越长。【手把手】最后一个离开磁场的粒子在磁场中运动时间最长，由题意，该粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一，其圆心角为90°由前述分析可知，轨迹①对应圆心角为90°【手把手】最后将轨迹①作在答题卡的题图上，利用几何关系求出该临界轨迹圆的半径，进而求解速度的大小和方向。【解答】设粒子的发射速度为v,粒子做圆周运动的轨道半径为R,根据牛顿第二定律和洛伦兹力得：2vqvB=mC解得:mvqBR当a/20,00，x>a的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为B。在O点处有一小孔，一束质量为m、带电量为q（q>0）的粒子沿x轴经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮。入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值.已知速度最大的粒子在0a的区域中运动的时间之比为2:5,在磁场中运动的总时间为7T/12，其中T为该粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中作圆周运动的周期。试求两个荧光屏上亮线的范围（不计重力的影响）。在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为x轴和y轴，交点OXXXX1•E1b:*b■*9XXEh**XXkLfl■1XX•&■■_V■4y【提示】本题是带电粒子在有界磁场中运动的临界问题六大类型之一，入射点和入射方向已知，入射速度大小不确定一一这类问题的特点是：所有轨迹圆圆心均在过入射点、垂直入射速度的同一条直线上。小2/32a到x=2aa3在垂直初速度的直【答案】竖直屏上发亮的范围从0到2a，水平屏上发亮的范围从【解答】粒子在0a的区域内的轨迹圆圆心均在在x=2a直线上，在半径由小取到大，可作出一系列圆（如图乙）的速度最大的粒子的轨迹。大小不确定的情况,（如图甲），其中轨迹圆①与直线x=a①，粒子将进入x>a的区域,x=2a直线上取不同点为圆心，，其中轨迹圆①'为半径最小的情况，轨迹圆②为题目所要求X①①'ya②a图甲2a图乙mv-r①qB速度小的粒子将在xa的由题意可知7T12y轴上，半径的范围从0到a，7由此解得：t^T6OCM=60②ti5T"12MC'N60MC'P=36015⑥所以.NC'P=150-60=90⑦12即弧长NP为1/4圆周。因此，圆心C'在x轴上。设速度为最大值粒子的轨道半径为R,有直角COC'可得2Rsin60=2aR=乙3a⑧x=2a壬a33由图可知OP=2a+R，因此水平荧光屏发亮范围的右边界的坐标【易错提醒】本题容易把握不住隐含条件一一所有在x>a的区域内的轨迹圆圆心均在在x=2a直线上,从而造成在x>a的区域内的作图困难；另一方面，在x>a的区域内作轨迹圆时，半径未从轨迹圆①半径开始取值，致使轨迹圆①'未作出，从而将水平荧光屏发亮范围的左边界坐标确定为【练习2】如图所示，在正方形区域abcd内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场。在t=0时刻，一位于ad边中点0的粒子源在a-111x=a。xxxbxabcd平面内发射出大量的冋种带电粒子，所有粒子的初速度大小相冋，方11111向与Od边的夹角分布在0〜180°范围内。已知沿Od方向发射的粒子在t=t0*xxxx时刻刚好从磁场边界cd上的p点离开磁场，粒子在磁场中做圆周运动的半=►111径恰好等于正方形边长L,粒子重力不计，求：1\xxxx11（1）粒子的比荷q/m；11ixxx11x（2）假设粒子源发射的粒子在0〜180「范围内均匀分布，此时刻仍在i11磁场中的粒子数与粒子源发射的总粒子数之比；dpc（3）从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间。【提示】本题是带电粒子在有界磁场中运动的临界问题六大类型之二，入射点和入射速度大小确定，但入射方向不确定一一这类问题的特点是：所有轨迹圆的圆心均在一个以入射点为圆心，以为半径的圆”上一一即所谓圆心圆”上。【答案】9=_，5/6，^（^arcsi^^-）t0m6Bt0二4【解答】以L为半径、O点为圆心作圆心圆”（如图甲）；由于粒子逆时针偏转，从最下面的轨迹开始画起（轨迹①），在圆心圆”取不同点为圆心、以L为半径作出一系列圆（如图乙）；其中轨迹①与轨迹④对称，在磁场中运动时间相同；轨迹②并不经过c点，轨迹②对应弦长短于轨迹③对应弦长一一即沿轨迹③运动的粒子最后离开磁场。a1JI*11/；1l-*、\*f11xxxxr11411r11I7Ji1■'01彳/xxx1刖x・9lO'i■iiiI41l111rxxxx1H1111■1t11■ii1xxxx111*IIJIId_pcIO4--.O3a-XO01xx]①Pb④③x图甲图乙(1)初速度沿Od方向发射的粒子在磁场中运动的轨迹如图，其园心为Onp,t0—612粒子做圆周运动的向心力由洛仑兹力提供，根据牛顿第二定律得n,由几何关系有:Bqv=m(*)2R,q_二m6Bt02RPO为⑵依题意，同一时刻仍在磁场中的粒子到O点距离相等。在t0时刻仍在磁场中的粒子应位于以园心，Op为半径的弧pw上。^pO^=—6由图知此时刻仍在磁场中的粒子数与总粒子数之比为5/6(3)在磁场中运动时间最长的粒子的轨迹应该与磁场边界.e<5sin2b点相交,设此粒子运动轨迹对应的圆心角为9,则在磁场中运动的最长时间etT2■:V512arcsin-4tL0YaO^(12arcsin5)t0。-4【易错提醒】本题因作图不认真易错误地认为轨迹②经过c点，认为轨迹②对应弦长等于轨迹③对应弦长，于是将轨迹②对应粒子作为在磁场中运动时间最长的粒子进行计算；虽然计算出来结果正确，但依据错误。【练习3】如图所示，xOy平面内存在着沿y轴正方向的匀强电场.一个质量为m,带电荷量为+q的粒子从坐标原点O以速度v0沿x轴正方向开始运动•当它经过图中虚线上的M(23a,a)点时，撤去电场，粒子继续运动一段时间后进入一个矩形匀强磁场区域(图中未画出)，又从虚线上的某一位置N处沿y轴负方向运动并再次经过M点.已知磁场方向垂直xOy平面(纸面)向里，磁感应强度大小为B，不计粒子的重力，试求：电场强度的大小；N点的坐标；矩形磁场的最小面积.【提示】本题是带电粒子在有界磁场中运动的临界问题六大类型之四：已知初、末速度的方向(所在直线)，但未知初速度大小(即未知轨道半径大小)•这类问题的特点是：所有轨迹圆的圆心均在初、末速度延长线形成的角的角平分线上。所以从粒子发射到全部离开所用时间为【答案】⑴⑶Smin2mw-E⑵Xn=23a6qa22L二如/12q2B2粒子从O到M做类平抛运动，设时间为【解答】⑴t，则有2J3a=v0ta=1>0）和初速度v的带电微粒沿x轴正方向射向该区域，其中沿半径AO'方向进入磁场区域的带电微粒经磁场偏转后，从坐标原点O沿y轴负方向离开。（1）求磁感应强度B的大小和方向。⑵请指出这束带电微粒与x轴相交的区域，并说明理由。【提示】本题是带电粒子在有界磁场中运动的临界问题六大类型之六：已知初速度方向（所在直线）和出射点，但入射点不确定•这类问题的特点是：所有轨迹圆的圆心均在以初速度所在直线为准线、出【解答】（1）从A点进入磁场区域的微粒轨迹圆心在A点正下方相距R的C处，微粒轨迹如图所示,可知微粒轨迹半径为^mv；（2）所有这些微粒进入磁场后做圆周运动的圆心均在如图所示半圆虚线qBO'CD上,在该曲线上由上到下取点作为圆心、以R为半径作一系列轨迹圆，易由图可知这些微粒均与x轴相交于原点一一因为圆心所在曲线半圆O'CD的圆心是原点O。DD【答案】-=qR，方向垂直xOy平面向外;(2)这束微粒均与x轴相交于原点。
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