专题9 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

|PAGE\*MERGEFORMAT1专题9一元二次方程根的判别式及根与系数的关系一、考纲要求1.掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理，并会灵活运用它们解决问题.2.不解方程判断一元二次方程的根的情况（两不等实根、两相等实根、无实根）；3.由根的情况，确定方程系数中字母的取值范围或取值；4.不解方程，求与方程两根有关代数式的值；5.应用根与系数的关系求作一个一元二次方程；6.根的判别式和根与系数的关系与其它知识的综合运用.二、知识梳理1.一元二次方程根的判别式：关于x的一元二次方程的根的判别式为.（1）>0一元二次方程有两个不相等的实数根，即.（2）=0一元二次方程有两个相等的实数根，即.（3）<0一元二次方程没有实数根.2．一元二次方程根与系数的关系若关于x的一元二次方程有两根分别为，，那么，.三、要点精析易错知识辨析：（1）判断一元二次方程有无实根，就是判断b2-4ac的值，是大于0，等于0，还是小于0，b2-4ac主要应用于不解方程判定根的情况或根据一元二次方程根的情况确定字母系数的取值范围．在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要考虑二次项系数不为零这个限制条件.（2）应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：①根的判别式；②二次项系数，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.（3）认真审题，注意“有实数根”“有两个实数根”“有两个相等的实数根”“有两个不等的实数根”“无实数根”的区别.四、中考真题和 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 精粹1.（2015•广东）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是A.B.C.D.【答案】C【解析】试题解析：Δ＝1－4（）＞0，即1＋4－9＞0，所以，2.（2015上海，第10题4分）如果关于x的一元二次方程x2＋4x－m＝0没有实数根，那么m的取值范围是________．【答案】m＜-4【解析】试题解析：Δ=16+4m＜0，∴m＜-43.(2015•湖南株洲，第8题3分)有两个一元二次方程：M：N：，其中，以下列四个结论中，错误的是()A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根；B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同；C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根；D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是【答案】D【解析】试题 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 :本题是关于一元二次方程的判别式，及根与系数的关系：A．∵M有两个不相等的实数根,∴Δ＞0,即而此时N的判别式Δ＝，故它也有两个不相等的实数根；B．M的两根符号相同：即，而N的两根之积＝＞0也大于0，故N的两个根也是同号的.C．如果5是M的一个根，则有：①，我们只需要考虑将代入N方程看是否成立，代入，得②，比较①与②，可知②式是由①式两边同时除以25得到，故②式成立.D．由两个一元二次方程：M：N：，可知，，又，则比较方程M与N可得故可知，它们如果有根相同的根，则可以是1或－1答案为：D4.（2015•四川成都，第8题3分）关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则的取值范围是（）A.B.C.D.且【答案】D【解析】试题解析：由一元二次方程定义，得，然后由两个不相等的实数根，则.即，所以且，因此选择D.5.（2015•四川眉山，第8题3分）下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是（　　）　A．（x﹣1）2=0B．x2+2x﹣19=0C．x2+4=0D．x2+x+l=0【答案】B【解析】试题分析：根据一元二次方程根的判别式，分别计算Δ的值，进行判断即可．试题解析：A、Δ=0，方程有两个相等的实数根；B、Δ=4+76=80＞0，方程有两个不相等的实数根；C、Δ=﹣16＜0，方程没有实数根；D、Δ=1﹣4=﹣3＜0，方程没有实数根．故选：B．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式Δ=b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．考点：根的判别式．6.（2015•广东省，第8题，3分）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：∵关于的方程有两个不相等的实数根，∴，即1＋4a－9＞0，解得.故选C.考点：一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式.7.（2015•浙江金华，第5题3分）一元二次方程的两根为，，则的值是()A.4B.4C.3D.3【答案】D.【解析】试题分析：∵一元二次方程的两根为，，∴.故选D.考点：一元二次方程根与系数的关系.8.（2015•四川南充，第10题3分）关于x的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；②；③．其中正确结论的个数是（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个【答案】D【解析】试题分析：根据题意，两个方程都有两个整数根且乘积为正，则x1x2=2n＞0,y1y2=2m＞0，解得n＞0,m＞0又一元二次方程的两根之和为-2m，一元二次方程的两根之和为-2n，所以两个方程的根都为负数，故①正确；根据题意，Δ1=4m2-8n≥0，Δ2=4n2-8m≥0，可得m2-2n≥0，Δ2=n2-2m≥0所以，=≥2，故②正确；由根与系数关系得2m-2n=y1y2+y1+y2=(y1+1)(y2+1)-1，由y1和y2都是负整数，得(y1+1)(y2+1)≥0所以，(y1+1)(y2+1)-1≥-1，即2m-2n≥-1，同理可得2n-2m=x1x2+x1+x2=(x1+1)(x2+1)-1≥-1,即2m-2n≤-1，故③正确故选D考点：一元二次方程根与系数的关系.9.已知关于x的一元二次方程x2+x+m=0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是（　　）A．－2B．0C．1D．2【答案】A【解析】试题分析：设方程的另一个实数根为x，则根据一元二次方程要挟与系数的关系，得x＋1=－1，解得x=－2.故选A.【考点】一元二次方程要挟与系数的关系.10.如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　）A．k＜B．k＜且k≠0C．﹣≤k＜D．﹣≤k＜且k≠0【答案】D【解析】试题分析：由题意，根据一元二次方程二次项系数不为0定义知：k≠0；根据二次根式被开方数非负数的条件得：2k+1≥0；根据方程有两个不相等的实数根，得Δ=2k+1﹣4k＞0.三者联立，解得﹣≤k＜且k≠0.故选D.　考点：一元二次方程定义和根的判别式，二次根式有意义的条件.11.(2015•江苏南昌，第11题3分)已知一元二次方程的两根为m，n，则=.【答案】25【解析】试题分析：由一元二次方程根与系数关系得m＋n=4，mn=﹣3，又∴原式=.12.(2015•江苏南京，第12题3分)已知方程的一个根是1，则它的另一个根是_____，m=_________．【答案】3，﹣4．【解析】试题分析：设方程的另一个解是a，则1+a=﹣m，1×a=3，解得：m=﹣4，a=3．故答案为：3，﹣4．考点：1．根与系数的关系；2．一元二次方程的解．13.（2015•甘肃武威，第16题3分）关于x的方程kx2﹣4x﹣=0有实数根，则k的取值范围是．【答案】k≥﹣6．【解析】试题分析：由于k的取值不确定，故应分k=0（此时方程化简为一元一次方程）和k≠0（此时方程为二元一次方程）两种情况进行解答．试题解析：当k=0时，﹣4x﹣=0，解得x=﹣，当k≠0时，方程kx2﹣4x﹣=0是一元二次方程，根据题意，可得Δ=16﹣4k×（﹣）≥0，解得k≥﹣6，k≠0，综上k≥﹣6，故答案为k≥﹣6．点评：本题考查的是根的判别式，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．同时解答此题时要注意分k=0和k≠0两种情况进行讨论．考点：根的判别式；一元一次方程的解．14.（2015•绵阳第17题，3分）关于m的一元二次方程nm2﹣n2m﹣2=0的一个根为2，则n2+n﹣2=．【答案】26【解析】试题分析：先根据一元二次方程的解的定义得到4n﹣2n2﹣2=0，两边除以2n得n+=2，再利用完全平方公式变形得到原式=（n+）2﹣2，然后利用整体代入的方法计算．试题解析：把m=2代入nm2﹣n2m﹣2=0得4n﹣2n2﹣2=0，所以n+=2，所以原式=（n+）2﹣2=（2）2﹣2=26．故答案为：26．点评：本题考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了代数式的变形能力．考点：一元二次方程的解．15.（2015•四川省内江市，第15题，5分）已知关于x的方程x2﹣6x+k=0的两根分别是x1，x2，且满足+=3，则k的值是　　．【答案】2【解析】试题分析：找出一元二次方程的系数a，b及c的值，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后利用完全平方公式变形后，将求出的两根之和与两根之积代入，即可求出所求式子的值．试题解析：∵3x2+2x﹣11=0的两个解分别为x1、x2，∴x1+x2=6，x1x2=k，+===3，解得：k=2，故答案为：2．点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系，对所求的代数式进行正确的变形是解决本题的关键．考点：根与系数的关系．16.（2015•四川泸州，第15题3分）设、是一元二次方程的两实数根，则的值为.【答案】27【解析】试题分析：首先根据根与系数的关系求出x1+x2=5，x1x2=﹣1，然后把x12+x22转化为x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，最后整体代值计算．试题解析：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1=0的两实数根，∴x1+x2=5，x1x2=﹣1，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=25+2=27，故答案为27．点评：本题主要考查了根与系数的关系的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程两根之和与两根之积与系数的关系，此题难度不大．考点：根与系数的关系．17.（2015•四川成都，第25题4分）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是.（写出所有正确说法的序号）=1\*GB3①方程是倍根方程；=2\*GB3②若是倍根方程，则；=3\*GB3③若点在反比例函数的图像上，则关于的方程是倍根方程；=4\*GB3④若方程是倍根方程，且相异两点，都在抛物线上，则方程的一个根为.【答案】=2\*GB3②=3\*GB3③【解析】试题分析：研究一元二次方程是倍根方程的一般性结论，设其中一根为，则另一个根为，因此，所以有；我们记，即时，方程为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：对于=1\*GB3①，，因此本选项错误；对于=2\*GB3②，，而，因此本选项正确；对于=3\*GB3③，显然，而，因此本选项正确；对于=4\*GB3④，由，知，由倍根方程的结论知，从而有，所以方程变为，，因此本选项错误.综上可知，正确的选项有：=2\*GB3②=3\*GB3③.18.（2015•江苏徐州，第13题3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0有两个相等的实数根，则k值为．【答案】-3【解析】试题分析：因为方程有两个相等的实数根，则Δ=（﹣2）2+4k=0，解关于k的方程即可．试题解析：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0有两个相等的实数根，∴Δ=0，即（﹣2）2﹣4×（﹣k）=12+4k=0，解得k=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查了一元二次方程根的判别式，当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．考点：根的判别式．.19.（2015•山东日照，第15题3分）如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2015=．考点：根与系数的关系．.【答案】2026【解析】试题分析：由于m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，可知m，n是x2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根．则根据根与系数的关系可知：m+n=2，mn=﹣3，又n2=n+3，利用它们可以化简2n2﹣mn+2m+2015=2（n+3）﹣mn+2m+2015=2n+6﹣mn+2m+2015=2（m+n）﹣mn+2021，然后就可以求出所求的代数式的值．试题解析：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，所以m，n是x2﹣x﹣3=0的两个不相等的实数根，则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=﹣3，又n2=n+3，则2n2﹣mn+2m+2015=2（n+3）﹣mn+2m+2015=2n+6﹣mn+2m+2015=2（m+n）﹣mn+2021=2×1﹣（﹣3）+2021=2+3+2021=2026．故答案为：2026．点评：本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是把所求代数式化成两根之和、两根之积的系数，然后利用根与系数的关系式求值．20.（2015•北京市，第14题，3分）关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值：a=______，b=______．【答案】（答案不唯一）【解析】试题分析：满足b2=a，a≠0即可.点评：本题考查一元二次方程的基本概念.考点：一元二次方程21.(2015·贵州六盘水，第13题4分)已知x1＝3是关于x的一元二次方程的一个根，则方程的另一个根x2是来．【答案】1【解析】试题分析：根据根与系数的关系，由两根之和可以求出方程的另一个根．试题解析：设方程的另一个根是x2，则3+x2=4，解得x=1，故另一个根是1．故答案为1．点评：本题考查的是一元二次方程的解，根据根与系数的关系，由两根之和可以求出方程的另一个根．考点：根与系数的关系．.22.(2015·黑龙江绥化，第15题分)若关于x的一元二次方程ax+2x－1=0无解，则a的取值范围是____________．【答案】a＜﹣1．【解析】试题分析：根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到a≠0且Δ=22﹣4×a×（﹣1）＜0，然后求出a的取值范围．试题解析：∵关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1=0无解，∴a≠0且Δ=22﹣4×a×（﹣1）＜0，解得a＜﹣1，∴a的取值范围是a＜﹣1．故答案为：a＜﹣1．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式Δ=b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．考点：根的判别式；一元二次方程的定义．23.（2015湖南岳阳第12题4分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，则m=．【答案】【解析】试题分析：根据题意可得Δ=0，据此求解即可．试题解析：∵方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，∴Δ=9﹣4m=0，解得：m=．故答案为：．点评：本题考查了根的判别式，解答本题的关键是掌握当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根．考点：根的判别式．24.（2015湖南邵阳第16题3分）关于x的方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m=．【答案】-1【解析】试题分析：根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为0，据此求出m的值即可．试题解析：∵关于x的方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，∴Δ=0，∴22﹣4×1×（﹣m）=0，解得m=﹣1．故答案为；﹣1．点评：本题考查了一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．考点：根的判别式．25.（2015湖北荆州第14题3分）若m，n是方程x2+x﹣1=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为．【答案】0【解析】试题分析：由题意m为已知方程的解，把x=m代入方程求出m2+m的值，利用根与系数的关系求出m+n的值，原式变形后代入计算即可求出值．试题解析：∵m，n是方程x2+x﹣1=0的两个实数根，∴m+n=﹣1，m2+m=1，则原式=（m2+m）+（m+n）=1﹣1=0，故答案为：0点评：此题考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．26.（2015年广东梅州9分）已知关于x的方程.（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求的值及方程的另一根.【答案】（1）a＜3；（2）-3.【解析】试题分析：（1）由方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式大于0得到关于a的不等级式，解之即可.（2）当该方程的一个根为1时，代入方程即可求得a的值，从而得到方程，解之即得另一根.试题解析：（1）∵关于x的方程有两个不相等的实数根，.（2）∵该方程的一个根为1，∴1+2+a-2=0，解得a=-1.∴原方程为x2+2x-3=0，解得x1=-1，x2=-3∴a=-1，方程的另一根为-3.考点：一元二次方程的根和根的判别式；解一元二次方程和一元一次不等级式.27.（2015•江苏泰州，第18题8分）已知：关于x的方程.（1）不解方程：判断方程根的情况；（2）若方程有一个根为3，求m的值.【答案】(1)方程x2+2mx+m2－1=0有两个不相等的实数根；(2)m=－4或m=－2．【解析】试题分析：（1）找出方程a、b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断；（2）将x=3代入已知方程中，列出关于系数m的新方程，通过解新方程即可求得m的值.试题解析：（1）∵a=1，b=2m，c=m2－1，∵Δ=b2－4ac=（2m）2－4×1×（m2－1）=4＞0，∴方程x2+2mx+m2－1=0有两个不相等的实数根；（2）∵x2+2mx+m2－1=0有一个根是3，∴32+2m×3+m2－1=0，解得:m=－4或m=－2．考点：1.根的判别式；2.一元二次方程的解.28.（2015·湖北省孝感市，第22题10分）已知关于x的一元二次方程：．（1）试判断原方程根的情况；（4分）（2）若抛物线与轴交于两点，则，两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．（友情提示：）（6分）【答案】（1）原方程有两个不等实数根；（2）存在最小值，是【解析】试题分析：（1）根据根的判别式，可得答案；（2）根据根与系数的关系，可得A、B间的距离，根据二次函数的性质，可得答案．试题解析：（1）Δ=[﹣（m﹣3）]2﹣4（﹣m）=m2﹣2m+9=（m﹣1）2+8，∵（m﹣1）2≥0，∴Δ=（m﹣1）2+8＞0，∴原方程有两个不等实数根；（2）存在，由题意知x1，x2是原方程的两根，∴x1+x2=m﹣3，x1•x2=﹣m．∵AB=|x1﹣x2，∴AB2=（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=（m﹣3）2﹣4（﹣m）=（m﹣1）2+8，∴当m=1时，AB2有最小值8，∴AB有最小值，即AB==2点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，利用了根的判别式，根据根与系数的关系，利用完全平方公式得出二次函数是解题关键，又利用了二次函数的性质．考点：抛物线与x轴的交点；根的判别式．29.(2015山东青岛)关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围【答案】m＞－【解析】试题分析：根据一元二次方程根的判别式可得：当方程有两个不相等的实数根，则Δ=－4ac＞0，从而得出m的不等式，然后进行求解.试题解析：由题知，解得，答：的取值范围是考点：一元二次方程根的判别式.30.（2015湖北荆州第24题12分）已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0．（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；（2）当抛物线y=kx2+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围；（3）已知抛物线y=kx2+（2k+1）x+2恒过定点，求出定点坐标．【答案】（1）见解析；（2）实数a的取值范围；（3）【解析】试题分析：（1）分类讨论：该方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况．当该方程为一元二次方程时，根的判别式Δ≥0，方程总有实数根；（2）通过解kx2+（2k+1）x+2=0得到k=1，由此得到该抛物线解析式为y=x2+3x+2，结合图象回答问题．（3）根据题意得到kx2+（2k+1）x+2﹣y=0恒成立，由此列出关于x、y的方程组，通过解方程组求得该定点坐标．试题解析：（1） 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ：①当k=0时，方程为x+2=0，所以x=﹣2，方程有实数根，②当k≠0时，∵Δ=（2k+1）2﹣4k×2=（2k﹣1）2≥0，即Δ≥0，∴无论k取任何实数时，方程总有实数根；（2）试题解析：令y=0，则kx2+（2k+1）x+2=0，解关于x的一元二次方程，得x1=﹣2，x2=，∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，∴k=1．∴该抛物线解析式为y=x2+3x+2，．由图象得到：当y1＞y2时，a＞1或a＜﹣3．（3）依题意得kx2+（2k+1）x+2﹣y=0恒成立，即k（x2+2x）+x﹣y+2=0恒成立，则，解得或．所以该抛物线恒过定点（0，2）、（﹣2，0）．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点与判别式的关系及二次函数图象上点的坐标特征，解答（1）题时要注意分类讨论．考点：抛物线与x轴的交点；根的判别式；二次函数图象上点的坐标特征．31.（2015年江苏泰州8分）已知：关于的方程.（1）不解方程：判断方程根的情况；（2）若方程有一个根为3，求的值.【答案】（1）方程有两个不相等的实数根.（2）-2或-4.【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程根的判别式的情况即可判断方程根的情况.（2）根据方程根的意义，将x=3代入关于x的方程得到关于m的一元二次方程，解之即可.试题解析：（1）∵Δ=(2m)2-4(m2-1)=4＞0，∴方程有两个不相等的实数根.（2）∵方程有一个根为3，∴9+6m+m2-1=0，m2+6m+8=0，即(m+2)(m+4)=0.解得m1=-2，m2=-4.考点：一元二次方程根的判别式；一元二次方程的根；解一元二次方程.32.（2015•四川南充，第20题8分）（8分）已知关于x的一元二次方程，p为实数．（1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）【答案】（1）见解析；（2）p=0，2，－2.【解析】试题分析：（1）计算一元二次方程根的判别式，证明即可证明方程有两个不相等的实数根.（2）根据方程有整数解得出p的值.试题解析：（1）方程化简，得=∴方程有两个不相等的实数根．（2）p的值为0,2，-2时，方程有整数解.考点：一元二次方程根的判别式.