圆弧的低次多项式曲线等弧长逼近

圆弧的低次多项式曲线等弧长逼近 ,,,:,,,,,,,,:,,:,:,,,:,,,, 圆弧的低次多项式曲线等弧长逼近 ,,,,,王旭辉邓建松 ,,,,,合肥工业大学 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 学院安徽合肥 中国科学技术大学数学科学学院安徽合肥 ,,,,:::,,,,,::,, ,,摘要主要研究了三次和四次多项式曲线等弧长逼近圆弧的求解算法对于三次 曲线讨论 ,,é,;,, ,了曲线弧长与相邻控制顶点之间距离的关系从而得到稳定的数值方法求解曲线控制顶点对于四 , ,,,次 曲线给出了等弧长逼近圆弧的精确解实例 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明在保证弧长相等的条件下低次多项式曲 ,， , 线能够较好地逼近圆弧, ,,,,,关键词圆弧多项式逼近曲线等弧长曲线,,， é,;,, ,,,,,中图分类号文献标识码,,,,,:,,,,, , ,:,:,,,,,,,,,,:,,,,,,,,,:,,,:,,::,,,,, ,,,,,,,,～,::, ,:::,,,,,,:,:,,,,,:,;:,,,,:,,,,,;:,,,,,,,, !!, ,,～,:,:,:～,:;,,;,;,,,,,,,:,:,,,,:, ,,,,,,,,,,,,, :,,,:,,,,:～,,;,,,,～,:,;,,;,;;, !,!, , ,,,,,,，, ,～～～,,，，,，,,,,:, , ,,,,,,,,:～::,:,,,～;,,,,:,，;;,,,,,;,,,,:,;:～,:,:，;;,,,:::,:～,,, !,!,,,, ,,,,,,,:～::,:,,,～;,,,,:,,:,;,:;,,,,;,,,,:,:,;,:;,,,,;:～,:,:::～,,,，;;,,,::,,:～,,, !,!,,,, ,, ,,,,:,:;,～;,;,,,:,,:,:::～,,:,,:～,:,é,;,,,～,:,，:～,;,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!, ,,～,,,:～, ,～～:, ,,,～,～ :～～,,～ ,, :,:,,;,::é,;,:,,;,,;,;,,;,;;,;;,,;:,,;,,;,,,:;,,,,,,,,, , ,: ,,,:;,::,:,,,,,;,:;,,，;,:;,:,～,,～,;:,,;～:,,,,,;,;,:,;;,,;～; ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, : ,:,:,,:～;:～,;,,::～,;,:～:,,,;;,,::,,;,:～,:,，:～,;,:,:,,; ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, :::～,,:,,,～;;,～,,～:,～,,:,,:～,;,,～:,;,;;;,:,,,:,,,;::～,,:, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!,,,:,,:，,:,～,:,～;,,:,:,,,,:,:,,,,,,,,,～～,～,;:,,,:,,,,～,～;,;～,,;,;,,:,,;,;,,,,,,:,;,,～, ,,,,,,,!,! ,,,,;,,:,,,,,,:,,é,,;,:～,,;,，:～,,;,,:,;,,～,;,;,,,,,,,,,, ,,更 好 地 应 用 圆 弧人 们 常 使 用统之 间 传 递 数 据引言 :早期的工作主要 是 在某 曲线逼近圆弧曲线,é,,;, , 圆弧曲线是几何造型中一种相当基本的曲线类 ,, 种误差极小意义下采用低次多项式逼近圆弧曲线 ,,型而基于多项式的 造型系统并不能精 ,,,, 有关这部 分 工 作 的 详 情请 参 考 文 献 另 外, :,,:,,,,,,,,,确表示 圆 弧由 于 目 前 通 用 的 系 统 都 等提出了圆弧的任意次数的 参数 转速和进给参数表a氧化沟运行参数高温蒸汽处理医疗废物pid参数自整定算法口腔医院集中消毒供应 多项式逼 ,:,,:,, ，,，,,; ,,,,包含了 曲线所以为了在不同 系近 方 法并 对 该 方 法 做 了 误 差 分 析,é,,;,:,,:,, ,,;,;,, ,,,收稿日期修回日期,:,::,:,,:,::,,:,,,, ,,,,,,,基金项目新世纪优 秀人才支持 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 高等学校学科创新引智计划 中 央高校基本科研业务费专项资金 ，:，,:,:,,,,:,:,,,,,,资助,:,:，,,，:,:,, ,,,,,,作者简介王旭辉男年生博士生研究方向计算机辅助几何设计 ,,，,,,,,,,,～:,,,,,,～,,:,;,～,:,,, ,,,:,,,,,通讯作者邓建松博士教授,，,,,,,;,,～,,:,;,～,:,,, ,, ,,,,:,, ,及均匀放缩 把 其 变 为 一 个 圆 心 在 坐 标 原 点 的 单 位给 出 了 一 些 构 造 和 等,:，，;,,:,,,,～, ,, ,故在本文中我们只考虑圆心在原点的单位圆上 圆,,性方法逼近圆弧所构造出来的多项式曲线满足一 ,的 圆 弧 曲 线而且假设圆 弧的一个端点坐标为 ,些几何直观上的要求如多项式曲线与圆弧有相同 、、的端点在端点处有相同的切向量相同的弧长中点 ,,,,:, ,等但是上 述 圆 弧 多 项 式 逼 近 方 法 都 存 在 一 个 问 ,我们采用三次 曲线来逼近圆弧令其控 ,é,,;,, ,题就是多项式曲线与圆弧曲线的弧长可能不相,,,,制顶点为 则对应的 曲线为 ,,,,,é,;,,: , , , ,等特别地以用三次 曲线逼近四分之一圆 ,, ,é,;,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,:,,,,,,,, , !,,,,,,? 周为 例引用文献中的数据如果要求曲线中点 ,?,: ,与圆 ,弧中点吻合那么最佳逼近多项式为 ,,为了更好地逼近圆弧我们给出下面基本要求 , , σ, ,曲线与 圆 弧 有 相同的起点和 终 点即,é,;,,?,, ,,,,,, , ,, ，， ,,, ,,,, :,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,:,::,,,,: , αα σ, , , 曲线与圆弧在起点与终点处有相同的 ,,é,,;,?,,,,,,,,,,,,, , ,!, ，，,,, ,?? ,,,,,切向量即, ,,,,,,,,,,:,,,:,,:,,‖, : , ,‖ αα ,, , ,,,, ,,,,,,,,其中 ,,,,,,, , ,,, , σ, 槡同时为了使所构造 的 三次 具 有 轴 对 称,é,;,,,, ,,,,,, ,其控制顶点应为性,,,为基函数此时如果采用文献中 次 , ,,,,,;,,,;, , , ,,,,,,,,,,,:,,～,,,,,,同样的误差度量即以: , , , 作 ,,，,,,,,,,!ε, ,,,,,,,,,,,,,,,,,, 为误差度量上述曲线的误差约为,::,,,～,,::,,,,,,,,×,:, , ，, ααααε: ,, ,,,,,,,,,,而曲线弧长的误差约为文献中的 ,,,:×,:,,,,:,:,,,, , αα ,? ? 结果以及本文的结果说明在保持结果曲线与圆弧 ,是 可 以 调 节 的 变 量 通其中～,,,,,,,: , , ,,,, , ,具有相同长度的意义下半径长度的误差改变非常 ,过调 节 的 值可 以 改 变 曲 线 的 形 状 和 弧 ～ ,é,;,,,,小实际上根据后文结论如果不要求逼近曲线和 ,,长如图所示, , ,圆弧具有相同的中点而是要求两者具有相同的弧 ,, ,,长那么逼近误差为与前述误 差大 ,,,,×,: :ε ,致相当而后者稍优特别地两种条件下最佳逼近结 , ,果在曲率方面的表现也是后者稍优实际上两者的 , ,曲率相对于分别为的偏差最大值都出现在端点, ,和因此在圆弧逼近中我们完全 :,:,,,,:,:,,,,, 可以在弧长不变的意义下讨论各种逼近, ,,, 文献是用五次 曲线等弧长逼 近 圆 弧,,,， ,之所以采用五次 曲线是因为这种类型曲线的 ,， ,弧长可以有显式表达而且结果具有一定的对称 性,, 但是在有些应用中五次曲线的次数可能有些 ,,高因 此本文对低次情形进行了深入讨论给出了 三次一般多项式曲线和四次 曲线逼近圆一种用 ,， 弧的算 ,法该方法也能够确保多项式曲线和圆弧有 、,,起点终点在这两点处有相同的切向且弧相同的 ,,长相等特别地对于四次 曲线如果曲线具有, ,， ,,图当时曲线随变化示意图 , ,,é,;～,,α ,π, 对称性那个解具有奇异点如果不要求解具有对,,,,,,, , ,～;,～,; :,,é,,;,:～,,;:～,, ,,απ, ,称性那么 ;,,,～:～,,;, ,, 曲线的弧长为,é,;,, 可以 给 出 满 足 弧 长 相 等 的 四 次 曲 线 的 显 式 ,， ,, ,,,,,, ,,, ,′ ,,′ ′ ,,,, ,,,,,,，,槡! 表达,: : ?? , ,,, ,,,,,,,′′,,三次 曲线等弧长逼近圆弧,,,,， 槡 !, ,é,;, ,, :? ,、对于一般的圆我们可以通过坐标平移旋转以 ,式中 , ,此时 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 首先讨论的情况 ,,απ ,,,,,,,,,,,,,,,′′′,,,,,,,,,,, !, ,, ,,, ， ,? ,,,:,, ,,,,,,,,，! ,～, ,′ ,,槡 ,,,弧长是关于记其为 下面我们来的函数, ～,～, : ? ′ ,, , ,,,,,说明当是关于此处 时的递增函数～: ,～～ ,?, ,,,,,,,,,,,,,,,～,,,,,,,,，,槡 ,,,一个显然 的直接想法是证明任意 取 定 :,,: ? : ? ,,,,,,,,,对于任意取定 的当 时显然,:,,～: ? ?,,,,,,,,,,,时是 关 于 单 调 递 增 ,′,～， ′,～～ : : !,,, ,, ,,,,,的但是这个想法是不正确的反例见图 图 所示是关 于 的 递 增 函 数 ,,,,,,,，～,,,～ ,,,,槡 ,,,,,形 说 明对 于 如 果 取 那 么 , , ,,,,α π: ,,,因此当关于单调递增 ,,～～: ,απ?,,,,,,,,,,,,关于 并不是单调递增的,′～，′～～ ,,,,::当下面将借助于导函数论证单调性时 ,α?π !,,因此我们需要直接从积分表示证明的单调性,～, ,,,,注意到被积函数当而 可能不存在′,′,: ,,,,! ,,,,,,α ,,,,,此时则有,,,,～, ,,,,,,,α,,::,，,α , ,,,,,,,当时对 任 意 的 ,～:,′,，? αππ? ,,,,,,,′,:,:,,? !? ,,,,～ ,, ′,～,, ,～ ,,,,,′,′,!,, ,,, ′,,′,!， , ～ ～ , ,,, ,,:?,,,, ,′′,,， !槡 ,特别地 ,,,,, ,,,,,,,,,,,图当的图形 , ,′,,～′,,～,α ,π， ! , , ,,, ,,,,,,,,,,,,,, ′′,,,,～;,～,;:,,,～,,～,,,,,,,,α ,π， ,,,,,::,,,,,,:, ,,,,′:,,，, α, ! : ?,,,,,,定理则关于 设弧角,,, :,,～～?απ?,, , 而 为单调增函数: , ,,,,,, ,,,, ′′′′,,,,,,!!, ,, ,,,,,,,,,,′′,,, ,′′， ,,， , !， !, , ,,,,,,～,～ ～ ,, ～ ～ ,,,,,″～,,,,, ,,,,, , ,,,,,,′′,,,， !: ,～? ,,,,, , ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,α,,:,,? ,,,,, ,,,,,,:,′′?,, ，! ,,,,,,,,,,所以当单调递增时 ,,,,,,～: ,～,α?αππ? :,， ,,,,,,,,,当的 时 候若 则 :～,,,,,α? π?α,,,,,,则在处 连 续且类似上面的分 ,′～～,,,,,,α, ,,,,,,,,,,, 析可得所以当,′～:～::～: ? π??α?,,,,,,,,,,而对任意:,′,，′,:,:,,,?? !? ,,, ,,,时单调递增,～, ,,,,′′,,,!,,,, ′,,′,，!,,,,,,,当是关于综上的单调 :,,～～: ?απ?～ ～ ,,,,,,,,,～,,,,,?α 递增函数 ,,,,, ?,′′,,，!槡 ,,,, 使得下面我们说明可以通过选取适当的值,,,,,,,,,, ～,,,,,::,,,,::,,,,,,， αα ,圆弧 与 构 造 的 三 次 易 曲线有相同的弧长,, ,,é,,;, ,,,,,,, ,::,,,::,,,,,槡α,α，,,知弧角为而当此时 的圆弧的长度为时,～,: αα且 ,,对应的 曲线退化为连接 的直线则 ,é,,;,,, :,,,,,,′,,,,,,α, , ,,,,,, , ,:,,::,,, ,αα槡，, ,,,,,,,,,,,,,,,::,,,,::,,,,,,，αα ,, , , ,,,:?,,,,,,又由于 ,::,,,::,,,,,, ，αα槡 , ,,通过使用二分法可以求得当时 ,,:?～,,? α ,,,,,,,,,′,′,,,，!槡? ,～,, : 计算得到半径误差最大偏差值为:,,,,,,,,,,,, ,, , , ,,,, , , ,,,,,:,,:,,, ,,,, ×,,,,,,:,,? ,, , ′,,!槡 :? 而, ,,,,,,,,, , ,,,, ,,, ,, , ,,～,,,,,,,,,,,,,,,:,, , ,,,α ,，! ,,, ×,,,:,, ?:? ,,中 采 用图 后一误差表达是在文献给 出 圆 弧 ,,, , ,,,,～,,,,α和结果曲线 的 对 比 以 及 结 果 曲 线 的 半 径 误 差 函 数 , 图形, , α ,,,,,,,则当 时而～:,,～, ? π? α?α,,,,,,,, α,,通 过 使 用 对 分 法可 以 求 得 当时,,,,?α? ,,,是 关 于 的 连 续 函 数故 存 在 ,～～ ～?计算得到半径误差最大偏差 : ,～:,,,,,:,,,,,, 值为 ,α , ,,又由于 是关于 :, ,,使得:,～ ,, , ～α, ,,,,,,,α ,,,, ,,,, ,, ,,,,,,,:,,,,,,, ×,,,,我 们 可 以 使 用 常 用 的 数 值 求 根 的连续单调 函 数:,,? ～ 而,、方法来求解如二分法牛顿法等的值～ , ,,,, ,,,, ,,,,,:,,:,, ， ,,,, ×,,,,,,!、下面 分 别 给 出 逼 近 圆 弧圆 弧 的 三 次 ,:?,,,?,,,:,,? ,曲线并计算出它们的最大半径误差以及等 ,é,;,,图给出圆弧和结果曲线的对比以及结果曲线的半 , 弧长点的误差 径误差函数图形, , 图三次曲线逼近圆弧及其半径误差, ,é,,;, ,:? ,,,,,:,,,,,:::～,,:,～,:～,:,é,;:～,;,,,,,,,;:,,?,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 图三次 曲线等弧长逼近圆弧及其半径误差, , ,,, é,;,?, ,,, ,:,,,,,,,::～,,:,～,:～,:,;:～;,,,,,,,;:,,,?,,,,é,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,, ,,,,,,,,,，:,曲线等弧长逼近圆弧 四次 , ,， ,,,,, ,,,,,,,, :,，, 下面来讨 论 用 四 次 曲 线 来 等 弧 长 逼 近 圆 ,， ,,其中且 则有下面等式～～,,,,,: ?, : ?, : ?, ,,弧曲线是由 , ,,，,～,:;,,，:,:,～,,:～，,,,,, ,!,,, ,,,,,,,,,,,,′,,,,,,等于, ,，, ,,, ,年引入的平面参数曲线中一类重要的 ,,,: ?,: ,,曲线其弧长可以用含参数的多项式精确表示关于 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,～,,,,,,～,,,,,,,,,曲线的详情请参考文献,， ,,, 曲线逼近圆弧对称型四次 ,,,,， ,,定义 对 于 多 项 式 参 数 曲 线 , ,,,, ,,,,如果对 曲线 也做下面的要求曲 ,， ,,，, ,,,,,,,,,,,,,,如果存在 多 项 式使 得 ′，,,,,,,σ!,线与圆弧有相 同 的 起 点 和 终 点曲 线 与 圆 弧 在 ,， ,,,,,,,,,则称 为 曲线 ′,,,,,,， ,σ!起点与终点处有相同的切向量且要求 曲线的 ,,， ,,,,,,定理平 面 参 数 曲 线 是 曲 线 ,,,,,,， , ,控制顶 点 关 于 从 轴 逆 时 针 旋 转的 轴 对 称 , ,α 则有 的充要条件为 ,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,′,,,～,,,, , ,:, ,,:～ :, , , ， :,, ,,,,,,,,,′,,,,～,,,, !α α, ～ ,,, ::,,,, ,, ,,,,,,,, ,,,,,,,,,其中和 分 别 为 非 零 实 多 项 式且 ～,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,互 素且 不 同 时 为 常 数为 首 一 多 ,:,～,: :,,,:,,,～,,,, ,, , αα，,α,α ,,,,,,,项式,::,,,,,, , , αα ,,, ,,,,,, 设 平 面 参 数 曲 线 ,,, ,,,, ,我们希望 通 过 调 节 的 大小使得对应的四次 !～～, , , ,曲线与圆弧有相同的长度但是一般情况下这 ,， , ,,,,,,,,,是四次则对应的和曲线,,,， ～,,,,,, 个要 求 是 无 法 满 足 的假定圆弧的弧角为 ,?α?,:, ,,,,,,,为所构造的 曲线则其应满足方程 ,,,:,,,,， 应为一次多项式令π,, ,,, ,,,,,求解可得,～,～,,～,,,， :, αα,α ,,,,,, , ::,,,, ,,, ,,,,,,, ,? , ,ααπ , α,,,,,, ,, ,, ,,槡 , α? ～, , ～,,,, , , ,, α α , ,,, ,,::,::,,,,,α,, ,, ,,,, , ,,,?π 槡 ,,～～,, , , , , α ,,, ,,,,,,而当时候此时 曲线的形状则得到的 曲线的弧长在一般情况下并 对称性 ,～:,， ,， ? ，αππ, ,,,,与圆弧差异 较 大故 限 定此 时 四 次 ,:,，α? π,,,,,不能等于圆弧的长度且由于有公因子 ,,′,′,! 曲线的弧长为, ,,,,所以得到的 曲线在时有奇,,,,,,， , ,,, , α ,,,, ,,, ,,,,, ,,,,,? , , ,,,,,因此得到的 曲线点 , ,,， , ! 并不能很好的逼近圆弧 , , αα ,,,,,,,,,, ,,,,,,,,, ,αα, ,,例如如果用四次 曲线逼近圆弧圆弧的弧,， ,, , ,,,,槡 , αα,槡, ::,,,,,,,,,,,角为通过 求 解 方 程 可 得 两 组 解 ,:?,～ ,, ,, ,, , ,,, , π , ,槡 槡 , α ? ,,,,,,这 两 组 解 对 应 的 弧 长,,,～～～,, , , 槡 , , , 分别为,,?,, π π 槡 ,当时对应的 曲线的弧长为,,， ?,α ,,, ,,槡,,,:,,,,,,,, ?,综上如果要求四次 曲线的 控 制 顶 点 具 有 ,， , , ,,,,,,,式中显然由,,,,,,,,，,::,,Δ, Δ, αααα,,槡,,,,,,,,,,,,? 这两组解得到 的 曲 线 之 间 是 关 于 从 轴 逆 时 针 旋 , , ,,π转所以下面我们只讨论其中一组的轴对称的, ,α结 果 如 图 而圆 弧 的 弧 长 为 ,,:,,,,,,,,,,?, , 解另一组解情况类似,所示 ,、下面 分 别 给 出 逼 近 圆 弧圆 弧 的 四 次,:?,,,? 曲线等弧长逼近圆弧非对称型四次 ,,, ,， ,曲线并计算出它们的最大半径误差,， , ,为了使得四次 曲线能够等 弧 长 逼 近 圆 弧 ,， ,,,,当把可得 时代入式,,:?,? αα 且有较好的逼近效果我们在使用四次 曲线来,,， ,, ～:,,,,,,,,,,,～:,,,:,:,,,,, , ?, ?,逼近圆弧的时候不对 曲线的控制顶点做对称 ,， , ～:,,,,,,,:,,,～:, , ,, ?性的要求令四次 曲线的五个控制顶点分别为 ,,， 计算得到半径误差最大偏差值为 ,,,,,,, ,,,,,,,,,,:,,:～:,,～～,, , , ， , : ,,,,,,, ,,, ,, ,,,,,,,,:,,,,,× ?,,,:,,? ,,,,,,,,,,,,,,, :,～,::,,,:,,,, , αα，,α,α, 对应的四次 曲线及半径误差如图所示,， , ,,,,,,,,,:,,:,,,, , αα ,,,,当把可得 时代入式,,,,?, ? αα,, 通过求解方程和,,,～:,,,,,:,～:,:,,,,,,, , , ?? , ,,,, ,,,, ,～,,,, , , ,,, ，,α,,～,,,,,,,～:,, , , ? :? 计算得到半径误差最大偏差值为 ,除去具有对称性的控制顶点的解以外还得到了下, ,,, , ,,,,,,,,,,,,:,,面两组解 ,,,×? ,,,:,, ? 对应的四次 曲线及半径误差如图所示,Δ,， , ,, 烌 ,～, , , Δ, 结论 , ,,, ， ,Δ,Δ,Δ, 槡 ,～, , ,本文给出了两种圆弧的等弧长逼近方法分别 ,Δ,,, ,烍 ,,,,用三次 曲线和四次 曲线逼近圆弧对于 ,é,;,， ,,,,,:,,:,,αΔ,Δ, ，Δ, Δ, 槡槡 ～,, , ,三次 曲线我们讨论了其弧长与相邻控制顶 ,é,;,,,, Δ,Δ,槡 ,,从而说明了可以通过数值求 点的距离之间的关系～:, , 烎 根方法稳定求解控制顶点对于用四次 曲线逼 ,,， 槇, :, , ～烌 ,近圆弧我们分别讨论了控制顶点为对称和非对称 槇,,,,, ～::,～,,～,, ,α, ，α, ,的两种情况下等弧长逼近的精确解并通过实例展 ,, ,烍槇, ,,,,示了逼近效果这些结果揭示了在圆弧多项式曲线 ～, ,,,～::,～,,, ,, αα 槇 ,,～可以在保证弧长相等的前提下讨论某种意逼近中 ,～,,, 烎 图对称型四次 曲线逼近圆弧及半径误差 , ,， ,:? ～ ,,,,，,,,,,:,,,,,:?:,:～,,,,:～,,;,:,,:,:～,,;,,,,,,,,;,,:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!, 图非对称型四次 曲线逼近圆弧极其半径误差 , ,， ,:? ～ ,,,,,,,:,,,,,:::～,,:,～,,～,,;:,:,，:～,;,,,,,,,;:,,?,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!, 非对称型四次 图曲线逼近圆弧极其半径误差, ,， ,,,? ,,, ,:,,,,,～,～,～,,,,，～,,,:,,,,,?:,:,,,,:,,,;,,::,,;,,,,,,;,,,,,,,,,,,,,,,,,! ,,,,,,,,,,,,,,,,,, 义下的最佳逼近这为探讨类似的曲线逼近提供了,范劲松安军徐宗俊用三次 表示圆 弧 与 整 ,, ,，,,,,新的可能性 , 机辅助设计与图 法研究,,计算形学学报,圆的算，, ,,,,参考文献,,,,,,,,,,,,,,,,, ;;,;:;,,, ,,,,,,,,～～,～,,,,,,，,:,,,;;,;,,;,;:, ,,,,, !, ,,,,,,,,,,,，，,，:, ,,,,:～,,,,,:,,,,:,:;,,,,!!!,,:,:,,,:,:;,:,,,:,,,，,，:～,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,!,!,,,～～ , ，, ，，，::;,,:,,,,,:,:,,，,,,,,,,,,,,,,,,,,,:,:,,;,,,,,,,,,,,,,::,,,, ,,, , ,,,,～～,,,,,,,，,:,;;,;,,,,,, !, ,,, ,,,,,,,,,,,,,,, :, ,:,:,,, :,:, ,～ :,,,;,,,,,,,,,;;,,,,,,,,,,!,,,,, ,,,,, ,:: :，:,，,, ,, ，～ ～;,,,,::,,:,,,,,, ,! ::,,～ ,～～ ,～, ，,,,: :,,,:;,,;,,,;,,;,;,,,,,,,,,,,!,,,～;:,;,,,: ，;,,,,;,,,;,,,,,:, ，,::,,;, ,,,;, ,,,:, ,,,,,,;:,;:,;,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,, ，,，:～,: ,,:,,,, ,～,::,,,;,,,:;:;,;:,,,,,,,!,!,,,,:,,，～:,:,:,::,:,,,;,,;,,,,,,::,;:,, ,,,,,,,,,,,,,,,::～,,,,,,,,,,,,,::,,,, 冯玉瑜,曾芳玲,邓 建 松几何连续的多项式插值逼 ,,～～,,,,,,,,:,,,,;,，,::,,;, ,,,;, ,;:,;,,,: !,,, 近与 插 值 的 比 较 ,,中国科学技术大 学 学 ，;,;，,,,,,,,,,,;,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,报,::,,,, ,,,,:,，;, ，,,;,,,,:,,,,,,:,:,:,,:,;,;,;,,,,,,,! ,,, ,,,,,，,,,,～,,,,,～,,,,,:;,::,,,,,,,, ,,,, ,,,,,,,～,,,,,,:,é,,;,:～,,;,::～,,;,,,,,～,,,:;,,，;, ,,:,:～;,:;;,;,,::～,,:, ,～ ，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,:,，,:,,;,,:,,;,,,,,,,,,, ,,,,,, ～～，,，:～,,,,:,::,,;,,,,;, ,;,,,,,, ::,,;,,,,,,,, , ,,,, ，,,:,,, ，～,,～ ,:,～,,:～,: ，,,,, ,,,,,,,,,,～,,,:,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,;,;,;,,,,,:, :, ,,: ,,, :,,:,; ，,，:～,,,, :, , ,,下转第页,,, ,～～～:, , :, ,:;,,,;,;,,,,,:;,,,:,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,:,,,， ,,，:～,,,:,:, ,,，,,～,～,,:，,，::, ,:;,;:,;,,,,,,,,;,,,;,,;:,,,;,,,,,,,,,,,,,!!!, ～::,:,,;,;,:,;,,,, , ,～::,; ;,,,,,,,,; ,:,;, ,,!,,,:,,:,～,,, ,,:, ,,,,,,;,,,,;,,,:;,,,,;,:,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,, ,,,;，,，,:,::,:～;,,,,,:;,,,～～::,;，,,:,:,:;:～,::～;,,,,,,,,,,,,,,,!,,,,,,,, ,, :,,,,,, ,,, ,,,,,:,,,,,:,,,,,, , ,,,,,,,,,,:,: ,，:,,，:,～, ,, :, ,～; ,,,;,,:,,:, :, ,,,,,～,,,, ,:～,,～,, ,:～,,,,,，,,,, ,,,～;,:,; !, ,,,,:,, :,:, , ～ :,:, :;,,:,,,;,,,,;,,,,,,,,,,,,, ,! ,;,,:,,,～,;,::,,，,,:,::～;,,,,,,,,,,,,,,, , ,,,,,,,,:;,,:,,,:,;,,,:,～:,,,,,,,,,,:,,～,:, :,!!,,,,,:,,,:,,, ,,,,,,,,,,:,;,，, ,;; ,,,: ,: ,;, ,,,,,,, ,,,:,，，,,～,～,，,,～;,,,,;,::,:,，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,～:～,～ ,～: ,，, , ,: :～,, ,,:,,;,,,;,:;,,,,,,,,,, ,,,,,,,:,,,,,,,,,, ,,上接第页,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,李强,席光,王尚 锦表 示 圆 弧 曲 线 的 实 用 方 , ,，,,,, ,,,,,,～,,，，,, ， :,,,:,,,,,,:,:,:,,:～,,,,,:,, ,,计算机辅助设计与图形学学报,,,,,,,! 法，,, ,,,,,, ,,～, ～ ，, ，:～, : ::,:, ,, é,;,:,,;,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ˇ,,,,,,,,,,,;, ,,～;,,:,,,,,,,,,,,,,,,，,，,,:,，:,,，，，,,,: ,;,,,,,,:,,,,,,:,:, , ,,,,,,,,,,, : ::～,,:,,,,,;:,:,,:～,;,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,!!,,,～,,,;～:,:,,,,;,,～～,,:;,～,,,,,,, , ,,, ,,,,!,,,,, ，, ～,,,, ,;,,,;,à , ,;,,,::,,, ;,;,,,:,,,:,:::～,,:,,,:,， :,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,!,,,, ,,,～ ～,;,，,，:～,,:::,;,,;,,;,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ～～,::;,,:,,,:,,,:,,,,,,,,,,:,:,,, ,,～～,:,,，,,:,:,:;,;,,,;,,:,,;:,;,,,:,,:,,，,,,,,, ,,,,,,, 张伟红蔡亦青冯玉瑜圆弧的五次 曲线等弧长,,， 逼近,,计算机辅助设计与图形学学报,,,,, ～;,:～,:,,,;:,～,:;:;,,;;,,;,, ,,,,,,,,,,,,,,,, ，,, ,,,,:,:,, ,,,,, ～:,,:::, ,,, ,:, ,,,;,,;,;;;,,:;,,,,,,:,,,:,,,,,, ,,,,,,,～，;, ,:,，,:,,;,,:,,;,,,,,,:,,,,,,,:～，, , ,,,，，,,,, ,,,,～,:,;,, ～:,:,,,, ,,,,!,,, ,,,,,,,,, ,,,:，，;,,,,;～;,,，:～;,,:，;,，,,::, ,,,,，,,，:～,,:,;,;,:～,,,,;,;:;,，,,,,,,!,,,: , ,,,,,:,,,,,,:,:,:,,:,;,,:～,,,,～,;::,,,,～:～,,é,,;, ,,,!,,,,,,,,,,, ,,,,,,～:～,,;,，,::,,;,,,,;, ,;:,;,,,:,;,,,～ ,,,,:～，,,,,～,:;,,，:,:,:～,;,,;,, ,,,,,,,, ,,,,,:,,,!,,, ,,, , , ,,,,,,;:;,,;,,,;,，;,,:，,,，,,, ! ,,,,,,,,,,,,,,,,:,,,,:,:, :～,～,,,,,,,,:,:,,,,:,:: ,;,,,,,,,,,,, ,,!,,,::,, ,,,:～,:,，,::, ,,, ,:, ,,,,,;,;;;,,:;,,,,,,,,!,,