高三数学参数方程与极坐标复习

高三数学参数方程与极坐标复习 参数方程与极坐标 目标认知 考试大纲要求: 1. 理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况; 2. 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化; 3. 能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义; 4. 了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别; 5. 了解参数方程，了解参数的意义，能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程; 6. 了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程，了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用。 重点、难点: 1(理解参数方程的概念，了解常用参数方程中参数的意义，掌握参数方程与普通方程的互化。 2(理解极坐标的概念，掌握极坐标与直角坐标的互化;直线和圆的极坐标方程。 知识要点梳理: 知识点一:极坐标 1(极坐标系 平面内的一条规定有单位长度的射线，为极点，为极轴，选定一个长度单位和角的正方向(通常取逆时针方向)，这就构成了极坐标系。 2(极坐标系内一点的极坐标 平面上一点到极点的距离称为极径，与轴的夹角称为极角，有序实数对 就叫做点的极坐标。 (1)一般情况下，不特别加以说明时表示非负数; 当时表示极点; 当时，点的位置这样确定:作射线， 使，在的反向延长线上取一点，使得，点即为所求的点。 (2)点与点()所表示的是同一个点，即角与的终边是相同的。 综上所述，在极坐标系中，点与其点的极坐标之间不是一一对应而是一对多的对应， 即，, 均表示同一个点. 3. 极坐标与直角坐标的互化 当极坐标系与直角坐标系在特定条件下(?极点与原点重合;?极轴与轴正半轴重合;?长度单位相同)，平面上一个点的极坐标和直角坐标有如下关系: 直角坐标化极坐标:; 极坐标化直角坐标:. 此即在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系. 4. 直线的极坐标方程: (1)过极点倾斜角为的直线:或写成及. (2)过垂直于极轴的直线: 5. 圆的极坐标方程: (1)以极点为圆心，为半径的圆:. (2)若，，以为直径的圆: 知识点二:柱坐标系与球坐标系: 1. 柱坐标系的定义: 空间点与柱坐标之间的变换公式: 2. 球坐标系的定义: 空间点与球坐标之间的变换公式: 知识点三:参数方程 1. 概念:一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数: ，并且对于的每一个允许值，方程所确定的点都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系间的关系的变数叫做参变数(简称参数). 相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。 知识点四:常见曲线的参数方程 1(直线的参数方程 (1)经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为: (为参数); 其中参数的几何意义:，有，即表示直线上任一点M到定点 的距离。(当在上方时，，在下方时，)。 (2)过定点，且其斜率为的直线的参数方程为: (为参数，为为常数，); 其中的几何意义为:若是直线上一点，则。 2(圆的参数方程 (1)已知圆心为，半径为的圆的参数方程为: (是参数，); 特别地当圆心在原点时，其参数方程为(是参数)。 (2)参数的几何意义为:由轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点的半径所成的角。 (3)圆的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程明确地指出圆心和半径，圆的一般方程突出方程形式上的特点，圆的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。 3. 椭圆的参数方程 (1)椭圆()的参数方程(为参数)。 (2)参数的几何意义是椭圆上某一点的离心角。 如图中，点对应的角为(过作轴， 交大圆即以为直径的圆于)，切不可认为是。 (3)从数的角度理解，椭圆的参数方程实际上是关于椭圆的一组三角代换。 椭圆上任意一点可设成， 为解决有关椭圆问题提供了一条新的途径。 4. 双曲线的参数方程 双曲线(,)的参数方程为(为参数)。 5. 抛物线的参数方程 ()的参数方程为(是参数)。 抛物线 参数的几何意义为:抛物线上一点与其顶点连线的斜率的倒数，即。 6. 圆的渐开线与摆线的参数方程: (1)圆的渐开线的参数方程(是参数); (2)摆线的参数方程 (是参数)。 规律方法指导: 1、把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法. 常见的消参方法有:代入消法 ;加减消参;平方和(差)消参法;乘法消参法;比值消参法;利用恒等式消参法;混合消参法等. 2、把曲线的普通方程化为参数方程的关键:一是适当选取参数;二是确保互化前后方程的等价性， 注意方程中的参数的变化范围。 经典例题精析 类型一:极坐标方程与直角坐标方程 1(在极坐标系中，点关于极点的对称点的坐标是_____ ，关于极轴的对称点的坐标是_____，关于直线的对称点的坐标是_______， 思路点拨:画出极坐标系，结合图形容易确定。 解析:它们依次是或;;(). 示意图如下: 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 升华:应用数形结合，抓住对称点与已知点之间的极径与极角的联系，同时应注意点的极坐标的多值性。 举一反三: 【变式】已知点，则点 (1)关于对称点的坐标是_______， (2)关于直线的对称点的坐标为________ 。 【答案】 (1) 由图知:,，所以 ; (2) 直线即，所以或() 2. 化下列极坐标方程为直角坐标方程，并说明它是什么曲线。 (1) ; (2) ; (3) ; (4) . 思路点拨:依据关系式，对已有方程进行变形、配凑。 解析: (1)方程变形为, ?或，即或， 故原方程表示圆心在原点半径分别为1和4的两个圆。 (2) 变形得,即， 故原方程表示直线。 (3) 变形为, 即， 整理得， 故原方程表示中心在，焦点在x轴上的双曲线。 (4)变形为, ?,即, 故原方程表示顶点在原点，开口向上的抛物线。 总结升华:极坐标方程化为直角坐标方程，关键是依据关系式 ，把极坐标方程中的用,、,表示。 举一反三: 【变式1】把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并说明它们是什么曲线. (1); (2), 其中; (3) (4) 【答案】: (1)? ，?即, 故原方程表示是圆. (2)?, ?， ?，?或， ?或 故原方程表示圆和直线. 由，得即，整理得 (3) 故原方程表示抛物线. (4)由得, ?，即 故原方程表示圆. 【变式2】圆的直角坐标方程化为极坐标方程为_______________. 【答案】将代入方程得 . 3. 求适合下列条件的直线的极坐标方程: (1)过极点，倾斜角是;(2)过点，并且和极轴垂直。 思路点拨:数形结合，利用图形可知过极点倾斜角为的直线为.过点 垂直于极轴的直线为;或者先写出直角坐标方程，然后再转化成极坐标方程。 解析: (1)由图知，所求的极坐标方程为; (2)(方法一)由图知，所求直线的方程为，即. (方法二)由图知，所求直线的方程为，即. 总结升华:抓住图形的几何性质，寻找动点的极径与极角所满足的条件，从而可以得到极坐标方程.也可以先求出直角坐标方程 运用所得的方程形式，可以更简捷地求解. 举一反三: 【变式1】已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是______。 【答案】:。 (方法一)把直线的极坐标方程化为直角坐标方程:， 则原点(极点)到该直线的距离是 ; (方法二)直线是将直线绕极点顺时针旋转而得到，易知， 极点到直线的距离为。 【变式2】解下列各题 (1)在极坐标系中，以为圆心，半径为1的圆的方程为____，平行于极轴的切线方程为____; (2)极坐标系中，两圆和的圆心距为______ ; (3)极坐标系中圆的圆心为________。 【答案】 (1)(方法一) 设在圆上，则，，，， 由余弦定理得 即，为圆的极坐标方程。 其平行于极轴的切线方程为和。 (方法二) 圆心的直角坐标为， 则符合条件的圆方程为， ?圆的极坐标方程: 整理得，即. 又圆的平行于(轴)极轴的切线方程为:或 ， 即和 (2)(方法一)的圆心为，的圆心为，?两圆圆心距为. (方法二)圆即的圆心为， 圆即的圆心为， ?两圆圆心距为. (3)(方法一)令得，?圆心为。 (方法二)圆即的圆心为，即 . 类型二:参数方程与普通方程互化 4(把参数方程化为普通方程 (1) (，为参数); (2) (，为参数); (3) (,为参数); (4) (为参数). 思路点拨: (1)将第二个式子变形后，把第一个式子代入消参; (2)利用三角恒等式进行消参; (3)观察式子的结构，注意到两式中分子分母的结构特点，因而可以采取加减消参的办法;或把用表示，反解出后再代入另一表达式即可消参; (4)此题是(3)题的变式，仅仅是把换成而已，因而消参方法依旧，但需要注意、的范围。 解析: (1)?，把代入得 ; 又? ,, ?,, ? 所求方程为:(,) (2)?,把代入得. 又?， ? ,. ? 所求方程为(,). (3)(法一):, 又，, ? 所求方程为(,). (法二):由得,代入, ?(余略). (4)由 得, ?,由得, 当时，;当时，，从而. 法一:， 即()，故所求方程为() 法二: 由 得，代入得，即 ?再将代入得，化简得. 总结升华: 1. 消参的方法主要有代入消参，加减消参，比值消参，平方消参，利用恒等式消参等。 2.消参过程中应注意等价性，即应考虑变量的取值范围，一般来说应分别给出、的范围.在这过程中实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法. 举一反三: 【变式1】化参数方程为普通方程。 (1)(t为参数) ; (2)(t为参数). 【答案】: (1)由得，代入化简得. ?, ?,. 故所求方程为(，) (2)两个式子相除得，代入得，即. ? ，故所求方程为(). 【变式2】(1)圆的半径为_________ ; (2)参数方程(表示的曲线为( )。 A、双曲线一支，且过点 B、抛物线的一部分，且过点 C、双曲线一支，且过点 D、抛物线的一部分，且过点 【答案】: (1) 其中，，? 半径为5。 ，且 (2) ，因而选B。 【变式3】(1)直线: (t为参数)的倾斜角为( )。 A、 B、 C、 D、 (2)为锐角，直线的倾斜角( )。 A、 B、 C、 D、 【答案】: (1)，相除得，?倾斜角为，选C。 (2)，相除得， ?，? 倾角为，选C。 5(已知曲线的参数方程(、为常数)。 (1)当为常数()，为参数()时，说明曲线的类型; (2)当为常数且，为参数时，说明曲线的类型。 思路点拨:通过消参，化为普通方程，再做判断。 解析:(1)方程可变形为(为参数，为常数) 取两式的平方和，得 曲线是以为圆心，为半径的圆。 (2)方程变形为(为参数，为常数), 两式相除，可得，即, 曲线是过点且斜率的直线。 总结升华:从本例可以看出:某曲线的参数方程形式完全相同，但选定不同的字母为参数，则表示的意义也不相同，表示不同曲线。因此在表示曲线的参数方程时，一般应标明选定的字母参数。 举一反三: 【变式】已知圆锥曲线方程为。 (1)若为参数，为常数，求此曲线的焦点到准线距离。 (2)若为参数，为常数，求此曲线的离心率。 【答案】:(1)方程可化为 消去,得: ?曲线是抛物线，焦点到准线距离即为。 (2)方程化为， 消去，得， ?曲线为椭圆，其中，，，从而。 类型三:其他应用 6(椭圆内接矩形面积的最大值为_____________. 思路点拨: 由椭圆的对称性知内接矩形的各边平行于两轴，只需求出其中一个点的坐标就可以用来表示面积，再求出最大值。 解析:设椭圆上第一象限的点，则 当且仅当时，取最大值，此时点. 总结升华:利用参数方程结合三角函数知识可以较简洁地解决问题。 举一反三: 【变式1】求椭圆上的点到直线:的最小距离及相应的点的坐标。 【答案】:设到的距离为，则 ， (当且仅当即时取等号)。 ?点到直线的最小距离为，此时点，即。 【变式2】圆上到直线的距离为的点共有_______个. 【答案】:已知圆方程为， 设其参数方程为() 则圆上的点到直线的距离 为 ，即 ?或 又 ，?，从而满足要求的点一共有三个. 【变式3】实数、满足，求(1)，(2)的取值范围. 【答案】: (1)由已知， 设圆的参数方程为(为参数) ? ?，? (2) ?，?.