无穷小之和（代数和）的等价无穷小

无穷小之和（代数和）的等价无穷小 无穷小之和(代数和)的等价无穷小 第十三卷 第二期 江南学院 JOURNALOFJIANGNANCOLLEGE VO1.13NO.2 1998 , 77 无穷小之和(代数和)的等价无穷小 邵鉴本 0/7/ 【摘要】设a,a,,卢都是同一过程下的无穷小,众所周知,当a,a,卢,时a+与 +不一定是等价无穷小.在这篇文章中给出了当.,,,时.+与.+是 等价无穷小的一个充分条件.并把这一结论推广到有限个无穷小的代数和的情开;. 【关键调;量竺垄墅::识代敬 等价无穷小代换是求极限的一种常方法在求极限的过程中,用等价无穷小代换,其实质 是用一个无穷小的主部来代替原来的无穷小.通常,所取无穷小的主部比原来的无 穷小简单, 因此在求极限的过程中,正确运用等价无穷小代换,可以简化计算过程. 关于用等价无穷小代换求极限,有如下的结论]: 设a,a口,都是同一过程下的无穷小,且a,a.卢,. (1)如果lira,)存在(或为co),则lira哥,(z)=lira,(z)(或为oo)} (2)如果lima,(z)存在(或为co),则limaf(x)一lima,(z)(或为oo). 上述结论告诉我们,在乘积(或商)形式的极限运算中.可以用a,卢的等价无穷小a, 代 替a,卢. 但是当出现两个或两个以上的无穷小的代数和时,一般不能用相应的等价无穷小的代数 和去代替原来的无穷小的代数和.例如,当a,a,,时,一般不能用a+卢代替a+卢. 原因是a+与a+I9不一定是等价无穷小. 例如求t—gx—--?一slnx时. 下面的做法是错的鳖?兰=0? 因此,在极限运算中,通常只有在乘积(或商)的形式下,可以用等价无穷小代换,而在出 现无穷小的和或差的情况下不用等价无穷小代换.这样就在很多场合限制了等价无穷小代换 的使用.实际上在很多场合用a+代替a+口仍能得出正确的结果.本文给出当a,a, , 时.+与.+等价的一个充分条件,并把这一条件推广到有限个无穷小的代数和 的情形,这样就扩大了等价无穷小代换的使用范围. 定理1设a,a,I9,都是同一过程下的无穷小,且a,a,卢,卢.记为a,两者中较 低阶的无穷小(若a,卢同阶,则y可以取a,卢中的任意一个),如果a+卢与y同阶,则 a+,a+(其中a?0,?0) 证明因为a,a,所以lira暑一1. 根据极限与无穷小的关系,暑=1+7..其中lim~l=0.由此a一口+7-a. ?95? 记a,一E1'则a;r+e.,旦,m詈=lira警=,譬fm.;o. 同样.园为,.所以=+,,且lira号一0. 因为是,两者中较低阶的无穷小, fA,当比卢同阶时, 所以lira导一{0,当比卢高阶时, 'l1,当比卢低阶时. 其中A为某一非零常数. 所以lira一lira詈=o, 同样lira等=0, 于是矗m专皇一fm+fm=o. 又因a+与7同阶. 所以lira南B?0(其中B为某一常数) ~lira弗m争c+每=矗m 一1+01? 即+卢,+卢.证毕 推论设.,卢,卢都是同一过程下的无穷小,且a,.p, 如果zm=A(或为).且A?1,则—p,一 证明记y为or,卢中较低阶的无穷小. (1)设lira=. 情形一如果A?o.由lira告一等=?o,知与是同阶无穷小.此时.卢都 可取作y.为确定起见.不妨取y: 因为,=lira?lira鲁一lira'fl~Tlim=1一击?o, 所以a一与y为同阶无穷小,由定理l知一,一. 情形二如果A—o?由f号一ffm争=A—o,知口是比p高阶的无穷小, 此时应取y—J8 因为m亏一zm一""譬一各—一?., 由定理】知一卢,一. (2)设一o. 由lim鲁一矗等=.知是比卢低阶的无穷小,此时应取y= 因为m号="m竺二.亏=m丢一fm"m譬:1?o 由定理1知a—p,a一.证毕 ?96? 倒1求m—=_二(?卢,?b,?0)累—sinax--—sin~z(,0'?o) 解因为一0时,一1,?,一1,肛,sino.~,~t3c,sing=c,, ]~l — im .篙一号?1 所以由定理1的推论知, $ino~一sin—"一,",一(一1)一(一1),Ct.TC一肚, 所以一ax--~x一 1.所以矗_一一a 例2求丛旦盐_= 解因为z一0时,ln(1+z+),+z, 21 厢一,{2,且车L'一?一o? 于是由定理1的推论知(1++)一(/r一1),+一 1 所以生土兰互:"x一+2x~ 1. 上述定理1可以推广到有限个无穷小的代数和的情形. 定理2设aj.,嘶(一1,2,…n)都是同一过程下的无穷小,且q,嘶, 7为etAi=1,2,…)中最低阶的无穷小,如果三与7同阶,则三嘶,三嘶. 证明定理2的证明与定理1的证明类似,现简要地叙述如下: 因为a,,,所以a.一+,,且liract一(一1,2,…n)., 0 叉园7是(=1,2,…H)中最低价的无穷小. 辑以专一耄詈 . 从而,m等一詈,m争一.c一,,…,学=兰争一. 又因与7同阶, 所以lira?=B?0(其中B为其一常数), 三口. 三口,三q+三, 从而lira睾L=lira 三嘶三口 _Il,一1 所以三q,三嘶.证毕. 例3 解 拳:三m , (I+z—n)+1一c?z+{lgz求—————_———三一 因为一0时,1一c.艇,{,,z,如(1+—sin~x),一".由定理 一2 +, JJ广: 一 一2" + 1 1的推论又可得到—sin,X一,所以ln(1+—sin~x),X一. 又因一+号+1与In'(1+—抽).1一,{tgx中最低阶的无穷小 号培(或(1+—inZJr))同阶 ga定理2知 抽(1+z—sin2x)+(1一?)+吉fg,一+吉+吉=詈一号一 所以lira ?三一一.,+一ms+?招,.詈一号————————————————————— —————————— ———一Ztm— r-O 3 2 F面给蹦当+比y高阶时,求出+卢的一个等价无穷小的方法. 定理3设口,在的某邻域内有直到阶导数,I~lima:O,limfl=0. 一D 如果.(0)+?(.)=O(i=1.2,….一1),at(n)(.)+(.)?0, 则a+,盟一. 证明由带皮亚诺型余项的泰勒公式 n=(.)(z—.)十筹一.).+…+(一函+o(I一『一), p((x-xo)+(…+()一+o(I. +卢=生(一?)+0(I—oi) OJ~lim 一. ," a … " … a+ … , 8 =1.证毕. ——————?———一z一-rnJ' 例4求li,,ls—tn—x—--a—rctgx 解当一0时.sinx,,arctgx,,显然z—是比$inX与arctgx都高阶的无穷小. 所以不能用定理1及其推论的结果求此极限. 下面用定理3的结果求出当一0时.sinz—arctgx的一个等价无穷小. 记口sinx,p一口g,, (O)=~05Xl…=1, (O)=一,1=0, o)=一一1,.]+0)=o (o)一f,=o.(o)+(0):o; (0)=一c.l一.=一1,卢(0)=I一.=2,(0)+(0)=l?0. 于是由定理3知inx一口?窖,,一 生 所以一争=吉. 例5求当-r一..时,增i1一ji1的一个等价无穷小. 解先求当"一0时,tgu—s[nu的一个等价无穷小. 记口tgu,=一sinu. ?qR' (O)=5eC"I=1,(O)=一C05UI=一1,口(O)+(O)=O{ (0)=2secutgul=0,(0)一sinul.0一O;a(O)+(O)一Oi a(O)=4sec.utg+2secl=2,(.)一?l一1,a(O)+(O)=3?0. 所以tgu—,责专 又当一..时.一o, 所以培i1一?,专()a一去.一..). 定理3也可以推广到有限个无穷小的情形. 定理4设(=1,2.….m)在o的某邻域内有直到阶导数,.~.1imai=O(i=1,2'..?? m),记=耋,如果(.)一.(=1,2,---,n一1).而(.)?.,则,量q,产 一Xo)J. , 证明由带皮亚诺型余项的泰勒公式, , = 忙(3C--Xo.(Ix--XoI-)' … 一 lirao(1x~-xol")1. 所以宝i-1 , 等(一.证毕. 参考文献 1盛祥耀等蝙.t高等虢学,(第二麓).高辱教育出麓社.1985年 1 2N.Piskuno.Differentis|andn饱nICalculus.E,~dish~anflatmn,MirPublishers.1974 _J A?Equivalentlnfiattesim-Iof_nAlgebraic5l岫m ofFiaiteNumber~ofInfl~itesAmals ShaoJianben Al~tract Whileaanda,阻areallequivalentinfini忱simals,asImo.ntoallta+Oand a+areT如tnecessarilyequibvatentinfinitesimals.Thep.apergivesasufficienteondition thata+nd口+areequivalentiufinit~imah.Atts枷etimeIpapergiw~asufficient conditionthat=a/and暑aiareequivalent.' Keyword:Algebraicsum;infinitesimaliEquivalentinfinitesimal ?99?