对数螺线、黄金分割与斐波那契数列的完美统一的

对数螺线、黄金分割与斐波那契数列的完美统一的 对数螺线、黄金分割与斐波那契数列的完美 统一的 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 理论与应用 MA1l1]EMA耵CAI1l羽E0rYADAI’CA耵0NS v01.29No.4 Dec.2009 对数螺线,黄金分割与斐波那契数列的完美统一 方海泉周铁军桑宝祥李伟 (湖南农业大学理学院,长沙,410128) 摘要本文对对数螺线,黄金分割与斐波那契数列之间的关系进行研究,把线段上黄金分割点 的定义推广 到射线上的黄金分割点列,发现过极轴上任意一点有且仅有一条特殊的对数螺线与极轴的 交点所成的点列 为黄金分割点列,并把这个点列所对应的坐标定义为黄金分割数列,我们发现首项为i-的黄 金分割数列无 ~,13 限逼近于斐波那契数列. 关键词对数螺线黄金分割斐波那契数列黄金分割点列 ThePerfectUnityofLogarithmicSpiral,GoldenSection andFibonacciSequence FangHaiquanZhouTiej蛐SangBaoxingLiWei (ScienceCollege0fHunanAgriculturalUniversity,Changsha,41(~2.8) AbstractInthispaper,therelationshipofthelogarthmicspiral,goldensG~tionandFibonacciselencewas studied,and thedefinitionofgoldensecd0npointofasegmentwasextendedtogoldensectionpointlistofaray.Wefoun dthatthereis orrly0rspeciallogarithmicspiralwhichpassesthroughanyvenpointOnthepolaraxis,theintersections whichtheloga— rithmicspiralintersectswiththepolaraxisconstituteagoldensectionpointlist.Thecorrespondingcoord inateofthepointlist wasdefinedasgoldn慨幽foundthatgoldsectionseq啷cewhi?咖infinitely proximatetOtheFibonaceisequence. KeywordsLogarithmicspiralGoldenseefioinFibonaceisequenceGoldens~ctiollpointlist 1引言 我们知道对数螺线是指动点的运动方向始终与极径保持定角a的动点轨迹,其方程为』D =.?e柑 ,(m,口为常数),0为极角,p为极径,口=arctanm(a为定义中的定角,是极径与其切 线的夹角)….而斐波那契数列是指数列{c}:c1=c=1,c+.=c+c,n=2,3,…,其通项 方逵教授推荐 收稿日期:2O09年5月15日 期 对数螺线,黄金分割与斐波那契数列的完美统一l1 为:{()n一()nt[2].关于黄金分割,考虑到方向性,有两种分割法,第一种分 割法如图1,把一条线段佃用点c分割成c,c两部分,使BC=AC,假设线段仰=】,AC: ,则由]--_1”:?可解得,:,(另一负根舍去),r:就是黄金比,这种作法称为 第一黄金分割法,并把c称为的第一黄金分割点.另一分割法,如图2,使BC=AC,这种 作法称为第二黄余分割法.把C称为AB的第二黄余分割点 C 图1线段AB的第一黄金分割 CB 图2线段AB的第二黄金分割 我们将线段上黄金分割点的定义推广到射线上的黄金分割点列,有如下定义: 定义1已知射线OX,在射线OX上任取一点.,可作一点列A.,A,A:,…,A,…,如图 3,使A.是的第一黄金分割点,A是:的第一黄金分割点,…,A是的第一黄金 分割点,…,则称点列A.,,A:,…,4,…为射线OX的第一黄金分割点列,记为{},n=0, 1,2,…,相应地可定义第二黄金分割点列{A},n=0,1,2,…,如图4. pB2BX 图4射线OX的第二黄金分割点列{} 定义2把射线OX看成是正半轴,设第一黄金分割点列A.,A,A,…,一,在OX上 的对应坐标分别为n.,o,n:,…,a,…,把它构成的数列称为第一黄金分割数列,记为{a},n :0,1,2,…;相应地可定义第二黄金分割数列{b},n=0,l,2,…. 2定理与 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 定理1设在OX轴上任意取定的一点,其坐标为o.,过A.存在一条对数螺线10=a. . m一与OX轴的交点依次为A.,,,…,,若.是OA的第一黄金分割点,则是似的第 一 黄金分割点列,且这样的对数螺线有且仅有一条. 证明设过4.的对数螺线为p=n.?er,与OX轴的交点依次为A.,,A:,…,,…, 如图5,可知OA.=a.,OA=n.?e一,因为已知A.是OA的第一黄金分割点,所以= ,:,一 l:?=六==10,(另一根e2m=. 4— 1 ,,OAl ,一OAo一一一2一r八刀一 12数学理论与应用 T1-,/3 <0X轴上任意取定的一点,其坐标为b.,过B.存在一条对数螺线』0=bo ?e与轴的交点依次为B.,B,B,…,,…,若B.是OB.的第二黄金分割点,则Bo, B,B:,…,B,…是0轴的第二黄金分割点列,且这样的对数螺线有且仅有一条. 证明与定理1的证明类似,如图6,这里的m::=2zr ln r =2?m.. 应用定理1易求得第一黄金分割点列A.,A,A,…,A,…,的坐标依次为口.,0l=a.? . :一, :... {,.::...一-:?0.,…,.:....一-=...1,…,所以第一黄金分割数列 {}_{口.?ena-mI={0.?1},n=0,1,2,…,易证+%+】=+2.同理可以求的第二黄金分 割数列{6}:{6.?e2}={6.?1},n=0,1,2,….当0.=6.时,易知{6}是{口}的偶子例, 即在首项相同的情况下,第二黄金分割数列是第一黄金分割数项的偶子列. 定理3设{}和{c}分别是第一黄金分割数列和斐波那契数列,则lira(%一43口.c) =0. 证明当n?1时 对数螺线,黄金分割与斐波那契数列的完美统一13 一 n.c----a0”e2mrml 一 n. 11丁1+4~)一 ()”} = (?){?)一(,r)} =a0?(一r) 因为o<r=<1,所以lim(.一口.c):(一r)n=0. 特别地,当..=时,有下面两个结论: (】)… lira(%一?5口oc)=(n一c)=0,由此可知首项D.=的第一黄金分割数列 n一+?n—++?/c.一’ {%}无限逼近于斐波那契数列{c}. (2)由前面计算可知一c=(一r),=1,2,3,…,当九为偶数时,0<a一c=r J?d, <1,因为cn为整数,所以[.n]=cn;当n为奇数时, . 一一 lrn , 因为o<c一a1r< 1,而C为整数,所以[a]+1=C. 定理4设{6n}和{c}分别是第二黄金分割数列和斐波那契数列的偶子列,..~Jlira + (b一 c)=0. 证明因为=e2=刍C2n{(?一(一r)26一60c2=1一 6.{(?)h一(一r)}-b0”r2n而0<r=二&l联系,密不可分,有 着完美统一的哲学内涵 参考文献 [1]金福.关于对数螺线不变性之证明[J].沈阳师范学院学报,1999,(3),4—7 [2]刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,2003