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中职数学立体几何教案中职数学立体几何教案 x x 职 业 技 术 教 育 中 心 教 案 教 师 姓 名 x x 授课班级 12会计、通信 授课形式 新授 授 课 日 期 2013年 5 月 13 日 第 13 周 授课时数 2 授 课 章 节 ?9.1 平面的基本性质 名 称 教 学 目 的 了解平面的表示方法和基本性质 教 学 重 点 平面的基本性质 用集合符号表示空间点、直线和平面的关系 教 学 难 点 更新、补充、 删 节 内 容 使 用 教 具 课 外 作 业 课 后 体 会 复习引入: 新授: ...

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中职数学立体几何 教案 中职数学基础模块教案 下载北师大版¥1.2次方程的根与系数的关系的教案关于坚持的教案初中数学教案下载电子教案下载 x x 职 业 技 术 教 育 中 心 教 案 教 师 姓 名 x x 授课班级 12会计、通信 授课形式 新授 授 课 日 期 2013年 5 月 13 日 第 13 周 授课时数 2 授 课 章 节 ?9.1 平面的基本性质 名 称 教 学 目 的 了解平面的表示方法和基本性质 教 学 重 点 平面的基本性质 用集合符号表示空间点、直线和平面的关系 教 学 难 点 更新、补充、 删 节 内 容 使 用 教 具 课 外 作 业 课 后 体 会 复习引入: 新授: 1( 平面及其表示 常见的平面形象大都是矩形状的,当我们从适当的角度和距离去观察这些平面时,感到它们与平行四边形是一致的,因此,通常画一个平行四边形来C C D表示平面(图5-27(1)表示平放的平面,图5-27(2) 表示竖 ,D ,D直的平面(请注意它们画法之间的区别( A B 如果要画相交的两个平面,可以按图5-28所示的步 图5-27(1) 骤进行( B A 图5-27(2) 图5-28 一个平面通常用小写希腊字母,、,、,、„表示,写在表示平面的平行四边形某一个顶角内部,记作“平面,”、“平面,”,„,或用表示平面的平行四边形对角的两个大写英文字母标明,记作“平面AC”或“平面BD”,当然也可记作平面ABCD (如图5-27)(应该注意,正像平面几何中直线是可以无限延伸一样,平面也是可以无限延展的,也就是说,它是没有边界的,我们用平行四边形仅仅表示了平面的一部分( 空间图形也可看作是空间点的集合,因此点、线、面的关系可用集合的关系来表示: ?点A在直线l上,记作A,l,点A不在直线l上,记作A,l; ?点A在平面,内,记作A,,,点A不在平面,内,记作A,,; ?直线l在平面,内,记作l,,; ?直线l与直线m交于点N,记作l,m={N},直线l与直线m没有交点,记作l,m=,; ?直线l与平面,交于点N,记作l,,={N},直线l与平面,没有交点,记作l,,=,; ?平面,与平面,交于直线l,记作,,,=l,平面,与平面,不相交,记作,,,=,( 在以后的学习中,我们将经常用到这些记号( 课内练习1 1. 能不能说一个平面长2米~宽1米~为什么, 2. 画一个平行四边形表示平面~并分别用希腊字母和大写英文字母表示这个平面( 3. 分别用大写字母表示图示长方体的六个面所在的平面( 4. 用符号表示下列点、线、面间的关系: DC1 1 (1)点A在平面,内~但在平面,外, A1 B1 (2)直线l经过平面,外的一点N, D C (3)直线l与直线m相交于平面,内的一点N, B A (4)直线l经过平面,内的两点M和N( (第3题图) 5. 下面的写法对不对~为什么, (1)点A在平面内~记作A,; (2)直线l在平面内~记作l,, ,,,, (3)平面,与平面,相交~记作,,,, (4)直线l与平面,相交~记作l,,,,( 2. 平面的基本性质 基本性质: (1)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内( 如图5-29,直线l上两点A,B在平面, 内,那么l上所有的点A , B , 都在平面, 内,这时我们可以说,直线l在平面, 内或平面,经过直l , 线l( 图5-29 这个性质常用来判断一条直线是否在一个平面内( , 因为平面是可以无限延展的,因此两个平面如果有公共的点,那么延展的结果,它们 必定相交于一条直线(由此得平面的第二个基本性l 质: , C , (2)如果平面有一个公共点,那么它们相交于经过这个公共点的一条直线( 如图5-30,平面, 与平面, 相交, C是公共点,那么它们相交于图5-30 过C的直线l(如果我们把一张纸摊平折起来,折痕一定是一条直线,就是这个道理( (3)经过不在同一直线上的任意三点,可以作一个平面,且只可以作一个平面( 这个性质也可以简单地说成:不在一直线上的三点确定一个平A B , , 面(如图5-31,A、B、C三点不在同一直线上,经过这三点可以且只可 , , C 以画一个平面,( 现在你可以明白前面提出的问题了(凳子三条腿、照相机支架三条图5-31 腿,三个着地点总是在一个平面上,因此总是平稳的( 从上述三个性质出发,还可以推出确定一个平面的其它很多方法,其中最常用的是下面三个推论: ?一条直线和直线外一点可以确定一个平面; ?两条相交直线可以确定一个平面; ?两条平行直线可以确定一个平面( 课内练习2 1. 判断题 (1)如图~我们能说平面与平面只有一个交点A吗, ,, (2)如图,我们能说平面与平面相交于线段AB吗? ,, (3)如图,我们能说线段AB在平面内,但直线AB不全在平面内吗? ,, 2. 三角形一定是平面图形吗,为什么, 3. 一扇门可以自由转, 动~如果锁住~就固定 了~如何解释, , A B 4. 怎样检查一张桌子B , , , A , , , 的四条腿的下端是否在, A , 同一平面内, (第1(1)题图) (第1(2)题图) (第1(3)题图) 小结 作业 x x 职 业 技 术 教 育 中 心 教 案 教 师 姓 名 x x 授课班级 12会计、通信 授课形式 新授 授 课 日 期 2013年 5 月 14 日 第 13 周 授课时数 4 授 课 章 节 ?9.2 空间两条直线的位置关系 名 称 了解直线的位置关系,空间平行直线关系的传递性 教 学 目 的 会求异面直线所成的角 异面直线的概念及其判定 教 学 重 点 异面直线所成的角 异面直线的判定 教 学 难 点 异面直线所成的角 更新、补充、 删 节 内 容 使 用 教 具 课 外 作 业 课 后 体 会 A H E D G 复习引入: C B 新授: F 1. 两条空间直线的位置关系 平面上两条直线的位置关系有两种:相交或平行(在空间中的两条直线是否也是如此呢,我们观察一下教室的天花板、地面以及墙面之间的交线,能够找到平行C, D, 和相交的直线,但也能发现一些直线,它们既不平行也不相交( A, B, 把教室看成一个长方体ABCD-A,B,C,D,(如图9-32),可以发现D C 直线对BC与AA,、AD与D,C以及对角线B,D,与AC等等,它们不同 B A 在一个平面内( 图9-32 我们把两条既不相交、又不平行的直线,叫做异面直线,也可以 说,把两条不可能同在一个平面上的直线叫做异面直线(因此,空间中两条直线位置关系(除了重合)有三种: (1) 没有公共点——平行 (必定同在一个平面上); (2) 只有一个公共点——相交 l1 (3) 既不相交也不平行——异面 (不可能同在一个平面上)( 在画异面直线时,要像图9-33那样,把两条直线明显地画在不同的 平面内,这样就容易体现出 “异面”的特点( l , 课内练习1 1. 找出日常生活中异面直线的几个例子( 图9-33 2. 画出图5-32中各面上的对角线~找出不少于5对异面直线来( 3. 两条直线分别在两个平面内~它们是否一定异面直线, 4. 能否把没有公共点的两条直线叫做平行线, 2. 空间的平行直线 平面几何中的平行传递性法则——平行于同一条直线的两条直线互相平行,在空间情况仍然是正确的(例如图9-34中,因为ABB,A,、BCC,B,都是矩形,AA,?BB,, CC,?BB,,所以CC,?AA,(在后文中还将介绍一些具有空间特点的平行判定方法( C, D, 在平面几何中有一个判定定理:如果两个角的两条边分别对应平行, A, B, 那么这两个角相等或互补(对立体几何中空间的角,这条道理仍然成立(如D C ,,,图9和。 -34中的,ACB,ACB B A 例1 如图9-35,已知E、F、G、H分别是任意空间四边形ABCD 图9-34 A 四条边AB、BC、CD、DA的中点,求证四边形EFGH是平行四边 形( H E 证明 D G 由此即得EH=FG且EH//FG(所以四边形EFGH是平行四边形( B C F 课内练习2 图9-35 1. 把一张长方形的纸对折两次然后打开~观察折痕是否平行~为什 么, 2. 画两个相交平面~在这两个平面内各画一条直线~使它们成为平行直线 ( 3. 如图~在长方体中~AE=AE, AF=AF~求1111C, D, E1 E, F1 证:EF=EF且 EF//EF( 1111E A1 A, B, D C E E F B A A 第3题图 第4题图 4. 如图~在长方体ABCD-A,B,C,D,中,E,E,分别是棱AD,A,D,的中点~求证:,CEB=,C,E,B,( 3. 异面直线所成的角 平面几何中的角的两条边是相交的,空间异面直线不相交,怎么形成角呢,我们可以这样来定义: m m, m 如图5-36(1),设l、m是两条异面直l, P P , m,线,在空间任取一点P,过P作l,?l、, l, l l ?m,把l,、m,所成的(不大于90:)角,叫 做异面直线l、m所成的角(或l、m的夹 角),采用平面情况的记法,记作l^m( 图5-36(2) 图5-36(1) 为了简便起见,点P常取在两异面 直线中的一条上( 例如在直线m上,过点P作直线l,?l (如图9-36(2)),那么l,、m所成的角就是异面直线l、m所成的角( 如果两条异面直线l、m所成的角是直角,那么我们就说这两条直线互相垂直,记作l,m(如果两条直线所成的角为0:角,那么我们就说这两条直线平行( D, C, 例2 图9-37表示一个正方体( B, (1)哪些棱与AB,是异面直线, A, (2)求AB,与CC,的夹角的度数; C D (3)哪些棱与AA,垂直, B 解 A 课内练习3 图9-37 1. 在下列各图中~分别以O为顶点~画出异面直线l、m所成的角( l m m O , m O , , O l l 第1题图 2. 设l、m、n为三条空间直线~其中l?m, l,n~则m、n的关系如何, 3. 设l、m、n为三条空间直线~且l ^ m = n ^m=45:~能否得出l?n的结论, 你能举出反例吗, 小结: 作业: x x 职 业 技 术 教 育 中 心 教 案 教 师 姓 名 x x 授课班级 12会计、通信 授课形式 新授 授 课 日 期 2013年 5 月 20 日 第 14 周 授课时数 4 授 课 章 节 ? 9.3 直线和平面的位置关系 名 称 认识和理解直线和平面平行、垂直的有关结论 教 学 目 的 掌握三垂线定理的应用 直线和平面平行的判定和性质 教 学 重 点 直线和平面垂直的判定和性质 三垂线定理及其逆定理 直线和平面平行、垂直的有关结论 教 学 难 点 三垂线定理的应用 更新、补充、 删 节 内 容 使 用 教 具 课 外 作 业 课 后 体 会 复习引入: 新授: 1. 直线和平面的位置关系 CD1 1 我们仍然把教室抽象成一个如图5-38那样的长方体(我们考察B1 A1 AB所在的直线,它在面ABCD上;与面BCCB有一个公共点B;与11 面DCCD没有公共点(这个实例告诉我们: 11D C 空间直线l与平面,的位置关系只有三种: B A (1) l与,有无数个公共点——直线l在平面,内; 图5-38 (2) l与,没有公共点——直线l平行于平面; (3) l与,只有一个公共点——直线l与平面,相交( 图5-39表示了这三种位置关系( l l A , , , ,A l , , B 图5-39 课内练习1 l 1. 举出直线和平面的三种位置关系的实例( 2. 回答下列问题: (1)能否说直线l与平面,有两个交点A、B? (2)如果直线l在平面,外~l是否一定与,平行, , (3)如图~因为l与,没有交点~是否能说l?,? (第2(3)题图) (4)如果直线l不平行于平面,~l必与,相交吗, 2. 直线和平面平行 (1)直线和平面平行的判定 要判断一条直线和一个平面是否认平行,就要将直线和平面无限延伸,看有无公共点,这是 无法做到的,我们希望能找到简便易行的办法来判断直线和平面平行( ,我们看图5-40(1),这是一扇门,门框左右两, 条边缘是直线a、b(把墙面视为一个平面,当门, , 关着时,直线a、b同在平面上, , b 且a?b(开门时,a离开了平面,,但仍保持与ba b a 平行,而且a与平面,也是平行的(如图 5-40(2))( 图5-40(1) 图5-40(2) 这就给出了一个判定直线与平面平行的方法: 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行( 如图5-41中所示,如果a?b,b,,则a?。 ,,a 根据这个判定方法,为了证明一条直线和一个平面平行,只要在这, 个平面内找出一条直线和这条直线平行就可以了( b 画一条直线和一个平面平行,常把直线画在表示平面的平行四边形 图5-41 外面,并且如图5-41那样,与平行四边形的一组对边平行或与平行四边形内的一条线段平行( 在安装日光灯管时,检查两条垂直吊线的长度是否相等;往墙上贴一条横幅时,检查横幅的上边与顶板是否等距,都是为了让灯管与天棚、横幅与顶板平行,使用的原理正是这个判定方法( 为便于记忆,这个方法可简记为:“若线线平行,则线面平行”( A 例1 如图5-42,空间四边形ABCD中,E、F分别是AB、AD的中点,求证 EF?平面BCD( E F 证明 在,ABD中,因为E、F分别是AB、AD的中点,所以 D B EF?BD( ,又因为 EF平面BCD,BD,平面BCD, C 图5-42 所以 EF?平面BCD( 课内练习2 1. 在平面,上有直线b~与平面外直线a不平行~能否说a与,必定不平行,为什么, 2. 设平面,与平面外的直线a平行~证明a与,内的任意直线都不相交( (2)直线和平面平行的性质 现在把图5-40(2)墙面、门分别看作为平面,、,,门边缘b是,、,的交线,a?b(这表明,当直线a和平面,平行时,过a的平面,与平面,的交线必与a平行(我们可以得到直线和平面平行的性质: , 如果直线a和平面,平行,经过a的平面,若与,相交, a 则则交线必定平行于a( 交b 如图5-43,若a?,,a,,,,,,=b,则a?b( , 线 这个性质可简记为:“若线面平行,则线线平行”( 图5-43 必 例2 如图5-44所示的木块,BC?平面AC,木工师傅要过点P和BC截去一个斜角,应定11 平该怎样划线, F 行D1 C1 解 因为BC?平面AC,BC是平面BC与平面AC的交1111111于P , 线,所以BC?BC; 11这B1 A1 条E 过P作BC的平行线EF,则 11D C 已 EF?BC?BC, 11知B A 所以EF、BC共面(连结EB和FC,所得的四边形EFCB必定直 图5-44 线在同一平面上,所以沿此四边形画线即可( ( 课内练习3 1. 一块木板ABCD的一边AB紧靠桌面并绕AB转动~当AB的对边CD 转动到各个位置时~是不是都与桌面所在的平面平行,为什么, 2. 判断下面的说法是否正确: (1)过平面外一点有无数条直线与这个平面平行, , , (2)过直线外一点可以作无数个平面与已知直线平行, , , (3)如果一条直线和一个平面平行~则它和这平面内的任何直线平行, , , (4)平行于同一平面的两条直线互相平行( , , 3. 设a是平面,外的一条直线~a?,~证明在,上有无数条直线与a平行( 4. 已知:长方体ABCD-ABCD~求证: 1111 (1)BC||面AADD,(2) BC||面AADD,(3)CD||面ACB( 1111111 5. 如果平面外的两条平行线中有一条和平面内某一条直线平行~试证另一 条直线和这个平面平行( 3. 直线和平面垂直 直线与平面相交有两种情况,一是垂直,二是斜交(我们先来研究前一种情况( 如果直线l与平面,内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l垂直于平面,,记作 l?,,直线l叫做平面,的垂线,平面,叫做直线l的垂面,交点叫做垂足( 画直线与平面垂直,通常是把直线画成和表示平面 的平行四边形的一组对边垂直(如图5-45)( (1)直线与平面垂直的判定 按照上述的方法去判定一条直线与一个平面垂直是 困难的,我们有下面的较为简便的方法: 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,图5-45 则这条直线和这个平面互相垂直( l, 如图5-46, l,,?,, m , ,,n, ,,m,n={O},若l,m, l n,那么l,,( 有了这个方法,要判定一条直线l是否垂直于一个平面,,只要在, m ,内去找到两条相交直线与l垂直就行了(这也是人们在日常生活中用o n 来判定直线与平面垂直的方法(例如树立旗杆时,只要从不在一条直线上的两个不同的方向,看一下旗杆与水平线是否垂直,就能确定旗图5-46 杆是否与地面垂直了( 例3 如图5-47,有一旗杆AB,从它的顶端A挂一条绳子下A 来,拉紧绳子并把它的一端先后放在水平地面上C、D、E三点处,其中C、B、E在一条直线上,若测得BC=BD=BE,证明旗杆和地面垂直( 证明 因为ΔABC,ΔABD,ΔABE的三边对应相等,所以 E C B D ΔABC,ΔABD,ΔABE, 图5-47 所以 ?ABC =?ABD=?ABE; 又因为C、B、E在一条直线上,所以?ABC=?ABE=90:;所以?ABD=90:(即 AB,BC,AB,BD( 又知B、C、D有三点不共线,所以AB,平面BCD,即旗杆和地面垂直( 课内练习4 1. 回答下列问题: (1)直线l垂直于平面,内的一条直线m~是否能说l ,,, (2)直线l垂直于平面,内的两条直线m,n~是否能说l ,,, (3)直线l垂直于平面内,的无数条直线~是否能说l ,,, (4)一条直线垂直于一个三角形的两条边~这条直线是否和第三边垂直, (5)三条直线相交于同一点~且两两垂直~其中任一条直线是否垂直 A 于另两条直线所确定的平面, 2. 已知直线a?平面,~直线b,,~求证a,b( 3. 如图~有一旗杆AB高8m~它的顶端A挂一条长10m的绳子~拉紧绳子并把它的一端先后放在地面上和B点不在同一条直线的两点B D C (第3题图) C,D上(如果这两点和B点的距离都是6m~求证旗杆和地面垂直( n(2)直线和平面垂直的性质 m 当直线与平面垂直时,有如下的性质: 如果两条直线垂直于同一平面,则这两条直线互相平行( 如图5-48中, m,,,n,,~那么m?n(这也是判定两条直线平行 ,的另一个方法( 图5-48 (3)点到平面的距离 P 设P是平面,外的一点,过点P向,作垂线,垂足为O,线段PO的长就是点P到,的距离,O也叫做点P在平面,内的正射影(简 O 称射影) (如图5-49)( , 例4 如图5-50,已知旗杆AB垂直于水平地面,从旗杆顶拉一条绳子下来,拉紧后在地面上点C,D处量得BC=BD=6m,且BC,BD;图5-49 若已知?CAD=30:,求旗杆的高度( A 解 因为BC,BD,所以 22 CD= CB,BD,62 在等腰,ACD中, B D C 2222CD=AC+AD-2AC,ADcos?CAD=(2-)AC, 3 图5-50 272解得 AC=( ,72(2,3)2,3 在Rt,ABC中, 222 AB=AC-BC=-36=108+72, 372(2,3) AB=,15.25m( 108,723 所以旗杆高约15.25m( 课内练习5 1. 判断题 (1)若直线l,平面,~直线l不平行于l~则l不垂直于, ( ) 11 (2)若直线l?平面,~直线l垂直于l~则l垂直于, ( ) 11 (3)若直线l?平面,~直线l不垂直于l~则l不垂直于, ( ) 11 (4)若直线l,l平行~由它们确定的平面为,~若直线m,l~则m,, ( ) 1 (5)若直线l,l平行~由它们确定的平面为,~若直线m不垂直于l~则m也不垂直于, 1A ( ) (6)过平面外一点~能作、且仅能作一条直线与平面垂直 ( ) B1 2(如图~在例4中~若旗杆立在平台顶上~无法得到垂足B~ 但已知绳子长度为16m~量得CD=8.5m~且BC,BD~ B C 请计算旗杆顶离地面的距离( D (第2题图) 4. 直线和平面所成的角 如果直线l与平面,相交而不垂直,就称直线与平面斜交( l1 l2 直线叫做平面的斜线,交点叫做斜足( , 我们看图5-51,直线l、l与平面,都斜交,但斜交的角度不同( 12 应该怎样来度量这个角度呢,现在来讨论这个问题( 图5-51 l 设斜线l与平面,交于A点,点P在l上,P在,上的P 射影为Q;直线AQ叫做斜线l在平面,上的正射影(简称射影)(图5-52)( , , 可以证明,斜线与平面的射影之间形成的角(图5-52中的AQ ,)是l与,内所有直线所成的角中最小的,我们把这个角叫做 图5-52 l与,所成的角,即: 斜线和它在平面内的射影所成的锐角叫做这条直线和平面所成的角( 若一条直线与一个平面所成的角是直角,我们就说这条直线和平面垂直;若一条直线与一个 平面所成的角是0:角,我们就说这条直线和平面平行或在平面内( 例5 如图5-53,长方体ABCD-ABCD的棱长分别为AB=1,AD=,AA=3,求对角线211111AC与底面ABCD的夹角( C1 1B1 解 因为CC,底面ABCD,所以,CAC就是对角线AC与底111DA1 1 面ABCD之间的夹角(因为 B 2222C AC= ==, 3AD,ABAD,DC AD CC= AA=3, 11 CC3图5-53 1所以 tan,CAC===, 31AC3 所以 ,CAC=60:, 1 即对角线AC与底面ABCD的夹角为60:( 1 课内练习6 1. 过平面外一点P~可以作多少条与夹角为已知角的斜线,你能说出这些斜线的斜,,,0足在平面内的轨迹是什么吗, , 2. 在正方体ABCD-ABCD中~求: 1111 (1)AC与正方体各面所成的角的大小, 11 (2)DB与面AADD所成角的正切值( 111 小结: 作业: x x 职 业 技 术 教 育 中 心 教 案 教 师 姓 名 x x 授课班级 12会计、通信 授课形式 新授 授 课 日 期 2013年 5 月 28 日 第 15 周 授课时数 4 授 课 章 节 ?9.4平面和平面的位置关系 名 称 理解平面与平面平行的判定和性质 理解平面与平面垂直的判定和性质 教 学 目 的 理解二面角的概念及求值 会应用二面角的概念解决简单的实际问题 平面与平面平行的判定和性质 教 学 重 点 平面与平面垂直的判定和性质 两面角的概念 二面角平面角的确定 教 学 难 点 平面垂直结论的应用 更新、补充、 删 节 内 容 使 用 教 具 课 外 作 业 课 后 体 会 复习引入: 新授: 1. 平面位置的基本关系 两个平面,, ,的位置关系就只有两种: (1)相交——此时必定相交成一条直线l;称l为交线; (2)平行——即没有公共点,记作,?,( 2. 平面与平面平行 (1)平面平行的判定 ? 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行( 如图5-55,设l, ,,l, ,,l ,l ={O},且l?,,l?,,那么,?,( 121212 根据这个法则,还可以得到判断平面平行其它方法: ? 如果一个平面内有两条相交 直线,分别平行于另一个平面内的 , , 两条直线,那么这两个平面平行 (如图5-56)( β β ? 垂直于同一条直线的两个平面平行 图5-56 画两个平面平行时,一般要使表示平面的两个平行四边形对应的对边分别平行( 例1 如图5-57,E、F、G分别为空间四边形ABCD的边A AB、AD及对角线AC上的中点,证明:平面EFG?平面BCD( 证明 G F E D 课内练习1 1(两个平面的位置关系有哪几种, 2. 判断题: C B (1)若平面,内的一条直线与平面,平行~则,与,平行 ( ) 图5-57 (2)若平面内的两条直线分别与平面平行~则与平行 ,,,, ( ) (3)若平面内的无数条直线分别与平面平行~则与平行 ( ) ,,,, (4)若平面内的任何一条直线都与平面平行~则与平行 ( ) ,,,, (5)过已知平面外一点~能作、且仅能作一个平面与已知平面平行 ( ) (6)过已知平面外一条直线~必定能作与已知平面平行的平面 ( ) 3. 若平面,?平面,~能否说,内的任一直线都与,内的直线平行,DF1 1 C1 能否说,内的任一直线都与,平行, E1 A1 4. 如图~设E、F、E、F分别是长方体ABCD-ABCD棱AB、CD、 B1111111 D C FAB、C,D上的中点~证明:平面ED?平面BF( 111111 BAE (2)平行平面的性质 (第4题图) 两个平行平面具有下面的性质: 如果两个平行平面都与第三个平面相交,那么它们的交线平行( 夹在两个平行平面间的平行线段相等( 课内练习2 1. 在正方体ABCD-ABCD中~求证平面ABD?平面CDB( 1111111 2. 证明横截一块长方体形状的木块~其截面不是矩形就是平行四边形( 3. 二面角和二面角的平面角 在开门时常说把门开大些或小些,实际上是指门所在平面与门框所在平面之间“角度”的大小(这个角度如何度量呢, 现在我们给出平面交角的定义( 平面内的一条直线把平面分成两部分,其中的每一部分都叫做半平l 面(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫 ,,,做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面(棱为l、两个面分别为A O 的二面角记为二面角,-l-,(图5-60)( , 一个垂直于二面角,-l-,的棱l的平面,交l于点O,分别与两个半平 B β 面交于半直线OA, OB,则,AOB叫做二面角,-l-,的平面角(显然,平面 图5-60 角的大小与垂直平面的位置无关(所以二面角的大小可用它的平面角来度量,平面角是多少度,就说这个二面角是多少度;在不会引起误解的场合,有时我们也简称二面角是多少度( 我们约定,二面角的度数不小于0:,不大于180:( A 例2 在图的空间四边形ABCD中,由它们的边和对角线组 成的,ABC, ,ADB, ,ADC和,BCD都是等边三角形( E (1)把每个三角形所在的面看作一个半平面,共组成了多少个二面 , D角, , C B (2)证明这些二面角均相等; F (3)求每个二面角的大小( 解 课内练习3 1. 在图5-61中~设,ABC、,ADB、 ,ADC为等腰直角三角形(,A=90:)~,BCD为等边三角形~ (1)证明以AB、AC、AD为棱的三个二面角彼此相等,以BC、CD、BD为棱的三个二面角也彼此相等, (2)求这两组二面角的大小( 4. 平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直 平面角是直角的二面角叫做直二面角( 若两个平面相交形成的二面角是直二面角,则这两个平面叫做互相垂直( 若平面,和平面,互相垂直,记作,,,( 注意,在画两个互相垂直的平面时,为了 加强直观效果,如果有一个是水平平面,则把l β 直立平面的一组对边画成和水平平面的某一, 组对边垂直(见图5-62)( 下述方法经常用来判定两个平面垂直问图5-63 图6-62 题: 如果一个平面过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直( 如图5-63,直线l,,,l,,,则,,,( 这个判定方法在实际经常见到(如将帆船甲板和帆都当作平面,桅杆就是甲板的垂线,我们可以认为帆与甲板是垂直的(又如用一端系有铅锤的线来检查墙是否和水平面垂直(如图5-64),也是这个方法的应用( 例3 如图5-65,已知P是平面,外一点,PA,,, 垂足为A,BC,,,PC,BC,证明平面PBC,平面PAC( (2)垂直平面的性质 教室的墙面都是垂直于地面的,它们的交线墙角线自然也垂直于地面(这就是垂直平面的第一个性质: ?如果两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交线必垂直于第三个平面( 如图5-66,,、,、,为三个平面,若,,,, ,,,,l=,,,,则l,,( 在墙面上画一条线垂直于墙脚线,那么这条线必定 l 与地面垂直;反之,在地面上画一条线垂直于墙脚线, 这条线也与墙面垂直(这是垂直平面的又一个性质: , , , ?如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内 垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面( 图5-66 如图5-67,,,,,,,,,l,m,,, n,,,若m,l,则m,,; 若n,l,则n,,( , 例4 如图5-68,在空间四边形ABCD中,AC、BD为对角线( n l 若面,ABD,面,BDC,AB,BD, CD,BD,AD=3, CD=4, , (1) 证明AB,BC;(2)求AC的长( m 所以AC长为5( 图5-67 课内练习4 1. 如图,检查工件的相邻两个平面是否垂直时~只要用直角曲尺的一边紧靠在工件的一个面上~另一个边在工件的另一个面上转动一下~观察尺边是否和这个面密合就可以了(为什么,如果不转动呢? 2. 如果一条直线和一个平面不垂直,经过这条直线能否做一个平面与已知平面垂直?若能~这样的平面有几个? 3. 如图已知平面,, ,=AB,在平面内~直线CD?AB~CD到,,,,, E AB的距离为60cm(在平面内~点E到AB的距离为91cm(求点E, , 到CD的距离( B D , C A (第3题图) 小结: 作业:
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分类:高中语文
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