指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 一:考纲解读、有的放矢
理解有理数指数幂的含义,掌握幂的运算;理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象
通过的特殊点。理解对数的概念及其运算性质。理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象
xx通过的特殊点。了解指数函数y=a与对数函数互为反函数()。了解幂函数的概念。结合y,logaa,,0,1且a
11232函数y=x,y=x,y=x,,yx,的图象,了解它们的变化情况。指数函数、对数函数在高中数学中占有十y,x
分重要的地位,是高考重点考查的对象,热点是指数函数、对数函数的图象与性质的综合应用(同时考查分类讨论
思想和数形结合思想;多以选择、填空题的形式出现,有时会与其他知识结合在知识交汇点处命题。 二: 核心梳理、茅塞顿开
(一)指数与指数函数
(根式 1
(1)根式的概念
根式的概念 符号
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
示 备注
n, xa,nnN,,1且如果,那么叫做的次方根 xan
当为奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次次方根是零 零的nnnnn a
方根是一个负数
n当为偶数时,正数的次方根有两个,它们互为相反数 负数没有偶次方根 nn ,,aa(0)
(2)(两个重要公式
n为奇数 a,
, nna,? ; a(a,0),,|a|,n为偶数 ,,,a(a,0),,
nnn?(注意必须使有意义)。 (a),aaa
2(有理数指数幂
(1)幂的有关概念
mn,mnaaamnNn,,,,(0,,1)、且?正数的正分数指数幂:;
m,11,n(0,,1)aamnNn,,,,,、且?正数的负分数指数幂: mnmana
1
?0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。
(2)有理数指数幂的性质
rsr+s?aa=a(a>0,r、s?Q);
rsrs?(a)=a(a>0,r、s?Q);
rrs?(ab)=ab(a>0,b>0,r?Q);.
3(指数函数、指数函数的图象与性质
xx,xx注:如图所示,是指数函数(1)y=a,(2)y=b(3),y=c(4),y=d的图象,如何确
定底数a,b,c,d与1之间的大小关系,
1111提示:在图中作直线x=1,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即c>d>1>a>b,?c>d>1>a>b。
即无论在轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大。
(二)对数与对数函数
1、对数的概念
(1)对数的定义
xNNN如果,那么数叫做以为底,的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫aNaa,,,(01)且x,logxaaa做真数。
(2)几种常见对数
对数形式 特点 记法
一般对数 N log底数为 aa,,0,1且aa
常用对数 底数为10 lgN
自然对数 底数为e lnN
2、对数的性质与运算法则
NNalog1aalog,N(1)对数的性质():?,?,?,?。 log0,log1,aa,,0,1且aN,aaa
(2)对数的重要公式:
NlogNa?换底公式:; ,,abN均为大于零且不等于log(,1,0)bbloga
1b?。 ,logaalogb
(3)对数的运算法则:
MMN,,0,0如果,那么?;?;log(MN),logM,logNogl,oglM,oglNaa,,0,1且aaaaaaN
nnnlogM,nlogM(n,R)?;?。 logb,logbmaaaam
2
3、对数函数、及对数函数图象与性质
注:确定图中各函数的底数a,b,c,d与1的大小关系
提示:作一直线y=1,该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。 ?0
1时,按交点的高低,从高到低依次为y=x,y=x, y=x,, y=x; 0
1-1232yx,当01,函数f(x)=logx在区间,a,2a,上的最大值与最小值之差为则a=( ) ,a2
(A) (B)2 (C)2 (D)4 22
635fx()fxx()lg.,01,,x4.已知是周期为2的奇函数,当时,设则( ) afbf,,(),(),cf,(),522
abc,,bac,,cba,,cab,, (A) (B) (C) (D)
x,1,2,2,ex,,5.设f(x)= 则不等式f(x)>2的解集为( ) ,2log(1),2,xx,,,,3
(A)(1,2)(3,+?) (B)(,+?) ,10
(C)(1,2) ( ,+?) (D)(1,2) ,10
xx6(已知函数y,4,3×2,3,当其值域为[1,7]时,x的取值范围是( )
5
A([2,4] B((,?,0] C((0,1]?[2,4] D((,?,0]?[1,2] 7(设函数 f(x)定义在实数集上,f(2,x), f(x),且当x?1时, f(x),lnx,则有( )
11111111A(f()0,2,9((2010年天津高考)设函数 f(x),,若f(a)>f(,a),则实数a的取值范围是( ) 1log,,x,,x<0. ,2
A((,1,0)?(0,1)B((,?,,1)?(1,,?)C((,1,0)?(1,,?)D((,?,,1)?(0,1) 10((2011年江西省修水一中高三第一次段考)设函数 f(x)定义域为D,若满足? f(x)在D内是单调函数;?
2x存在[a,bD使 f(x)在[a,b]上的值域为[a,b],那么就称y, f(x)为“成功函数”(若函数g(x),log(a,t)(a>0a
且a?1)是定义域为R的“成功函数”,则t的取值范围为( )
11A((0,,?) B((,?,0) C([0,] D((0,) 44
二、填空题
2x11(若函数y,(a,1)在(,?,,?)上为减函数,则实数a的取值范围是________(
,|x|12(设函数 f(x),a(a>0且a?1),若f(2),4,则f(,2)与f(1)的大小关系是________( 13(下列结论中正确的是________((填序号)
31n23n0?当a<0时,(a),a;?a,|a|;?函数y,(x,2),(3x,7)的定义域是(2,,?); 22
ab?若100,5,10,2,则2a,b,1.
14((2011年江苏高考) 函数f(x),log(2x,1)的单调增区间是________( 5,x1,3x?,,15(已知函数 f(x),,则使函数 f(x)的图象位于直线y,1上方的x的取值范围是 ,,logxx>02
________( ,,lg(x22x3)216(设a>0且a?1,函数 f(x),a有最大值,则不等式log(x,5x,7)>0的解集为________( a
三、解答题
1123π11,,,,17(将下列各数按从大到小的顺序排列:log9,log9,log3,log9,,. 87,2,,2,22
2xx18(函数y,lg(3,4x,x)的定义域为M,当x?M时,求 f(x),2,2,3×4的最值(
1,axab,,R,bb,a,219、(本小题满分12分)已知且,定义在区间内的函数是奇函数( fx()lg,,,12,x
fx()(1)求函数的解析式及的取值范围; b
fx()(2)讨论的单调性;
x20(已知函数 f(x),log(4,1),kx(k?R)是偶函数 4
(1)求k的值;
4x(2)设g(x),log(a?2,a),若函数 f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围( 43
221(若 f(x),x,x,b,且f(loga),b,logf(a),2(a?1)( 22
(1)求 f(logx)的最小值及对应的x值;(2)x取何值时,f(logx)>f(1),且logf(x)0时~f(a),loga~f(,a),loga~ 22
7
111f(a)>f(,a)~即loga>loga,log~?a>~解得a>1. 22aa2
1?当a<0时~f(a),log(,a)~f(,a),log(,a)~ 22
1111f(a)>f(,a)~即log(,a)>log(,a),log~?,a<~解得,11.答案:C
2x10(解析:依题意~函数g(x),log(a,t)(a>0~a?1)在定义域R上为单调递增函数~且t?0~而t,0时~g(x),a
2m,log,a,t,,m~a,,2x不满足条件?~所以t>0.设存在[m~n]~使得g(x)在[m~n]上的值域为[m~n]~所以即2n log,a,t,,n~,,a2mm,a,t,a~,1x2x,),a,t,0的两个不等实根~所以?,1,4t>0~解得02,f(1)( 2
答案:f(,2)>f(1)
33n2323n13(解析:?中~当a<0时~(a)>0~a<0~所以(a)?a,?中~当n为奇数且a<0时~a,a,?中~函22
77数的定义域应为[2~)?(~,?),?中~由已知可得2a,b,lg5,lg2,lg10,1~所以只有?正确(答案:? 33
1,,,,,?14(解析:因为y,logx为增函数,故结合原函数的定义域可知原函数的单调增区间为. 5,2,
1,,,,,?答案: ,2,
,x115(解析:当x?0时~3>1?x,1>0~
?,10时~logx>1?x>2~?x>2.综上所述:,12. 2
答案:,12
,,2lg(x22x3)16(解析:?函数y,lg(x,2x,3)有最小值~ f(x),a有最大值~
22?00~得00的解集为(2,3)(答案:(2,3) a
三、解答题
222117(解析:log9,(,log9),log9~ 222
在同一坐标系内作出y,logx~y,logx~y,logx的图象如图所示~当x,9时~由图象知log9>log9>log9>1872278
2,log8~?log9>log9>log9>1~ 8278
8
111x3π211,,,,,,即log9>log9>log9>1.?y,在R上是减函数~?1>>>0.又log3<0~ 78,2,,2,,2,22
113π211,,,,综上:log9>log9>log9>>>log3. 78,2,,2,22
218(解:由3,4x,x>0~得x>3或x<1~
125x2xx2?M,{x|x>3或x<1}~f(x),,3×(2),2,2,,3(2,),. 612
xx?x>3或x<1~?2>8或0<2<2~
1251x?当2,~即x,log时~ f(x)最大~最大值为~ f(x)没有最小值( 26612
fxfx()()(1),,,,1,ax,19(解:(1),xbb,,,是奇函数,等价于对于任意都有,,,bxbfx()lg,,,,1,ax,0(2)12,x,12,x,
1112,,,axaxx成立,(1)式即为 ( lglglg,,,12121,,,xxax
112,,axx2222axx,4a,4,即,此式对于任意xbb,,,都成立等价于,因为,所以,a,2a,,2?,,,121,,xax
12,x所以; fx()lg,12,x
12,x1111代入(2)式得:xbb,,,,即对于任意都成立,相当于,从而b,,,,,bb,0,,,x,,2212,x22
,1,的取值范围为; 0,,,2,,
11,1,(2)对于任意,且,由,得,所以,xxbb,(,),,01212,,,,xxxx,,,,,,bbb,0,121221,,222,,
1212,,xx(12)(12),,xx2121fx()lglg,lglg10,,,从而=,因此在01212,,,,xxfxfx()(),,12211212,,xx(12)(12),,xx2121
,bb,是减函数; ,,
x20(解:(1)?函数 f(x),log(4,1),kx(k?R)是偶函数 4
x1,4,xxx? f(,x),log(4,1),kx,log(),kx,log(4,1),(k,1)x,log(4,1),kx恒成立 x44444
1?,(k,1),k~则k,, 2
4x(2)g(x),log(a?2,a)~ 43
函数 f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点~即方程 f(x),g(x)只有一个解
14xx由已知得log(4,1),x,log(a?2,a) 4423
x4,14x?log,log(a?2,a) x4423
9
4xa?2,a>0,3
方程等价于 ,x4,14x ,a?2,ax,23
4x2设2,t(t>0)~则(a,1)t,at,1,0有一解 3
42若a,1>0~设h(x),(a,1)t,at,1~?h(0),,1<0~?恰好有一正解?a>1满足题意 3
若a,1,0~即a,1时~不满足题意
432若a,1<0~即a<1时~由?,(,a),4(a,1),0~得a,,3或a, 34
1当a,,3时~t,满足题意 2
3,时~t,,2(舍去) 当a4
综上所述实数a的取值范围是{a|a>1或a,,3}(
221(解:(1)? f(x),x,x,b~
22?f(loga),(loga),loga,b~由已知(loga),loga,b,b~?loga(loga,1),0. 2222222
?a?1~?loga,1~?a,2.又logf(a),2~?f(a),4. 22
222?a,a,b,4~?b,4,a,a,2.故 f(x),x,x,2.
1722从而f(logx),(logx),logx,2,(logx,),. 222224
17?当logx,~即x,2时~f(logx)有最小值. 2224
2,,logx,,logx,2>222,,(2)由题意 2 ,log,x,x,2,<2,2
,x>2或00,即在(0,1)内单调递减, f(x),f(x)12
f(x)f(x)由于是奇函数,所以在(,1,0)内单调递减.
10