弦切角定理证明及例
题
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弦切角定理
弦切角定义
顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角
??PCA=?PBC(?PCA为弦切角)
弦切角定理
弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角)弦切角定理证明
证明:设圆心为O,连接OC,OB,OA。过点A作TP的平行线交BC于D,
则?TCB=?CDA
??TCB=90-?OCD
??BOC=180-2?OCD
更清楚的
?,?BOC=2?TCB(弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半)
??BOC=2?CAB
??TCB=?CAB(弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角)
证明已知:AC是?O的弦,AB是?O的切线,A为切点,弧是弦切角?BAC所夹的弧.
求证:.(弦切角定理)
证明:分三种情况:
(1) 圆心O在?BAC的一边AC上
?AC为直径,AB切?O于A,
?弧CmA=弧CA
?为半圆,
??CAB=90=弦CA所对的圆周角
B点应在A点左侧 (2) 圆心O在?BAC的内部.
过A作直径AD交?O于D,
若在优弧m所对的劣弧上有一点E
那么,连接EC、ED、EA
则有:?CED=?CAD、?DEA=?DAB
? ?CEA=?CAB
? (弦切角定理)
(3) 圆心O在?BAC的外部,
过A作直径AD交?O于D
那么 ?CDA+?CAD=?CAB+?CAD=90
??CDA=?CAB
?(弦切角定理)
弦切角推论
推论内容
若两弦切角所夹的弧相等,则这两个弦切角也相等 应用举例
例1:如图,在中,?C=90,以AB为弦的?O与AC相切于点A,?CBA=60? ,
AB=a 求BC长.
解:连结OA,OB.
?在中, ?C=90
??BAC=30?
?BC=1/2a(,,?中30?角所对边等于斜边的一半)
例2:如图,AD是ΔABC中?BAC的平分线,经过点A的?O与BC切于点D,
与AB,AC分别相交于E,F.
求证:EF?BC.
证明:连DF.
AD是?BAC的平分线 ?BAD=?DAC
?EFD=?BAD
?EFD=?DAC
?O切BC于D ?FDC=?DAC
?EFD=?FDC
EF?BC
例3:如图,ΔABC内接于?O,AB是?O直径,CD?AB于D,MN切?O于C,
求证:AC平分?MCD,BC平分?NCD.
证明:?AB是?O直径
??ACB=90
?CD?AB
??ACD=?B,
?MN切?O于C
??MCA=?B,
??MCA=?ACD,
即AC平分?MCD,
同理:BC平分?NCD.