二次函数的根与系数的关系
一、 交点间的距离
1、设二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的两个交点A(x1,0),B(x2,0),抛物线的顶点为C,显然△ABC为等腰三角形.(1)当△ABC为直角三角形时,求b2-4ac的值;(2)当△ABC为等边三角形时,求b2-4ac的值.
已知关于x的二次函数y=x2﹣2mx+m2+m的图象与关于x的函数y=kx+1的图象交于两点A(x1,y1)、B(x2,y2);(x1<x2) (1)当k=1,m=0,1时,求AB的长;
(A)(2)当k=1,m为任何值时,猜想AB的长是否不变?并证明你的猜想. (
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
:√10)
(B)(3)当m=0,无论k为何值时,猜想△AOB的形状.证明你的猜想. (答案:直角三角形)
二、直线和抛物线相交,有两个交点,知道一个交点坐标求另一个交点坐标。(常用方法:把过交点的直线设出来,联立二次函数,消去y,再运用跟与系数的关系求出另一交点坐标)
(A)如图,A为抛物线的顶点,c为二次函数y=ax2+bx+c与y轴的交点,∠ACO=150°,求b的值
(A)如图,A为抛物线的顶点,c为二次函数y=ax2+bx+c与y轴的交点,∠ACO=45°,求b的值;若∠ACO=30°呢?
如图,抛物线y=x2+bx+3与x轴正半轴交于A、B两点(A点在B点左边),与y轴正半轴交于点C,对称轴为x=2; (1)求抛物线的解析式; (答案:y=x2-4x+3)
(B)(3)如图,平移抛物线使顶点为H(0,-4),点P在抛物线上,PE⊥x轴,若PH平分∠APE,求直线PA的解析式.
如图,抛物线C1:y=x2+4x+3交x轴于A、B两点,交y轴于C点.
(1)点T为抛物线C1对称轴左侧上的点,作AE⊥OT于E,CF⊥OF于F,当CF=2AE时求OT的解析式;
(2)设G为抛物线C1的顶点,将抛物线C1向右平移,直线GB交新抛物线C2对称轴右侧于H点,若S△AGH=7,求抛物线C1平移的距离;(3)将抛物线C1沿y轴翻折得到新抛物线C3,过C点作直线L交抛物线C1于M点,交交抛物线C3于N点,若MN=8√2,求直线L 的解析式.
如图,抛物线y=x2-4x+5的顶点为M,且与y轴交于点C,MA⊥x于A.
(1)将△AOM沿y=x翻折,请验证M的对应点是否在抛物线上;答案:N(1,2)
(2)过N点作直线L,交抛物线于P点,交y轴于点E,连接PC,若PE=PC,求L的解析式;
(3)平移直线y=x交抛物线于H、K两点,若S△MHK=3,求平移后直线的解析式.
三、关于坐标轴对称问题
(A+)如图,抛物线y=x2-2x-3与坐标轴交于A、B、C三点,直线y=kx-1与抛物线交于P、Q两点,且y轴平分线段PQ,求k值.(两种方法:①由全等三角形的对应边相等列方程;②联立后,运用根与系数的关系)(答案:k=-2)
(A+)如图,已知抛物线y=x2-4x+3,过点D(0,-2.5)的直线与抛物线交于M、N两点,与x轴交于点E,且点M、N关于点E对称,求直线MN的解析式 (答案:y=x-2.5)(两种方法:①由全等三角形的对应边相等列方程;②联立后,运用根与系数的关系)
(A+)如图,已知抛物线y=-x2+3x+6交y轴于A点,点C(4,k)在抛物线上,将抛物线向右平移n个单位长度后与直线AC交于M、N两点,且M、N关于C点成中心对称,求n的值。 (答案:n=2)
(B)如图,已知抛物线C:y=x2-2x+4和直线l:y=-2x+8.直线y=kx(k>0)与抛物线C交于两个不同的点A、B,与直线l交于点P,分别过A、B、P作x轴的垂线,设垂足分别为A1,B1,P1.(1)证明:
;
(2)是否存在实数k,使A1A+B1B=8?如果存在,求出此时k的值;如果不存在,请
说明
关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书
理由(答案:不存在)
----------------------------分隔线-----------------------------------
(B)如图,已知抛物线y=-x2+2x+3与坐标轴交于A、B、C三点,点D、C关于原点对称,点M、N是抛物线上两点,且四边形CMDN为平行四边形,求点M、N的坐标。 答案:N(
,2
) M(-
,-2
)
----
----------------------------分隔线-----------------------------------
----------------------------分隔线-----------------------------------
下面还没有整理的
如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点为D,其图象与x轴的交点A,B的横坐标分别为-1,3,与y轴负半轴交于点C.下面五个结论:①2a+b=0;②a+b+c>0;③4a+b+c>0;④只有当a=
时,△ABD是等腰直角三角形;⑤使△ACB为等腰三角形的a的值可以有三个.那么,其中正确的结论是 .
如图,抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧),直线l与抛物线交于A、C两点,其中C点的横坐标为2。
1.求A、B 两点的坐标及直线AC的函数
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
达式;
2.P是线段AC上的一个动点,过P点作y轴的平行线交抛物线于E点,求线段PE长度的最大值;
3.点G抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F点坐标;如果不存在,请说明理由。
4、如图,已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3)。
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为D,在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC是等腰三角形?若存在,求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若点M是抛物线上一点,以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形,试求出点M的坐标。
----------------------------分隔线-----------------------------------
解:⑴∵抛物线与y轴交于点C(0,3),
∴设抛物线解析式为
根据题意,得
,解得
∴抛物线的解析式为
⑵由
得,D点坐标为(1,4),对称轴为x=1。
①若以CD为底边,则PD=PC,设P点坐标为(x,y),根据勾股定理,
得
,即y=4-x。
又P点(x,y)在抛物线上,∴
,即
解得
,
,应舍去。∴
。
∴
,即点P坐标为
。
②若以CD为一腰,因为点P在对称轴右侧的抛物线上,
由抛物线对称性知,点P与点C关于直线x=1对称,
此时点P坐标为(2,3)。
∴符合条件的点P坐标为
或(2,3)。
⑶由B(3,0),C(0,3),D(1,4),根据勾
股定理,得CB=
,CD=
,BD=
∴
∴∠BCD=90°
设对称轴交x轴于点E,过C作CM⊥DE,交抛物线于点M,垂足为F,在Rt△DCF中,
∵CF=DF=1,
∴∠CDF=45°,
由抛物线对称性可知,∠CDM=2×45°=90°,点坐标M为(2,3),
∴DM∥BC,
∴四边形BCDM为直角梯形
由∠BCD=90°及题意可知,
以BC为一底时,顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;
不存在以CD为一底或以BD为一底,且顶点M在抛物线上的直角梯形
∴综上所述,符合条件的点M的坐标为(2,3)。
----------------------------分隔线-----------------------------------
5、已知抛物线
经过点A(5,0)、B(6,-6)和原点.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)若过点B的直线
与抛物线相交于点C(2,m),请求出
OBC的面积S的值.
(3)过点C作平行于x轴的直线交y轴于点D,在抛物线对称轴右侧位于直线DC下方的抛物线上,任取一点P,过点P作直线PF平行于y轴交x轴于点F,交直线DC于点E. 直线PF与直线DC及两坐标轴围成矩形OFED(如图),是否存在点P,使得
OCD与
CPE相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
----------------------------分隔线-----------------------------------
解:(1)由题意得:
解得:
∴抛物线解析式为:
(2)
在抛物线上,
点坐标为(2,6),
、C在直线
上
解得:
直线BC的解析式为
设BC与x轴交于点G,则G的坐标为(4,0)
(3)设P
,
故
∵
∽
∴
或
即
或
解得
或
又
在抛物线上,
或
解得
或
∴P点坐标为
和
。