概率统计体现的数学思想
方法
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(1)化归思想:即把有待解决或未解决的对象,通过转化过程, 归结为一类已经解决或较易解决的问
题
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中去,以求得原问题的解决的思想方法。概率统计在许多内容的处理上都体现了化归转换的思想方法。如几何概型问题通过将每次试验的结果转化为欧氏空间的某一有限可度量的区域(长度、面积、体积) 表示,利用古典概型公式就可计算出要求问题的概率;正是条件概率与乘法公式的相互转化和推广,使得一些问题计算得以顺利实施;利用对立事件的意义, 可以将一类计算复杂的问题转化为简单计算等等。此外,化归思想的具体体现还反映在: 1、正难则反的思想:概率中利用对立事件的概率求得原事件的概率的方法就是“正难则反”的思想,实际上也是一种补集思想,因为从概率论以集合论为基础来看,对立事件对应于集合中互为补集的两个集合。统计里也有类似的情况。2、映射思想:随机变量和函数都是一种映射,随机变量把随机试验的结果映为实数,函数把实数映为实数。在这两种映射之间,试验结果的范围相当于函数的定义域,随机变量的取值范围相当于函数的值域。可见,‘概率’是把事件组成的集合映射到实数区间「0, 1〕上,而随机变量则是把随机试验的结果组成的集合映射到实数集R上。
(2)公理化思想:即从尽可能少的无定义的原始概念和一组不证自明的命题(基本公理)出发,利用逻辑推理法则,建立数学的演绎系统。而教材为了使内容更加具体生动,降低数学的抽象性给学生带来的难度,没有直接抽象的给出概率的公理化定义,而是在教材中专门设置一节课来介绍概率的基本性质,通过具体的实例,归纳出基本性质。
(3)合情推理思想:即从观察实验入手,在个人的数学经验、直觉等背景下,根据已知的某些数学知识和事实,应用某种非严格的但合乎情理的推理形式作出探索性、猜测性的新判断的思维过程。在概率统计中,所有的结论基本上都是根据经验归纳判断出来,没有经过严格的逻辑论证,是一种猜测性判断。
(4)建模思想:即用数学的思维思考实际的问题,将其转化为数学问题,建立数学模型,通过研究数学模型,进而得到问题的解决的数学思想方法。数学模型有广义解释和狭义解释。按广义解释, 凡是以相应的客观原型作为背景加以一级抽象或多级抽象的数学概念、定理、公式等都叫数学模型。在概率统计中, 这种数学模型比比皆是:古典概型、几何概型、二项概型、条件概率、离散型随机变量、连续型随机变量、方差和期望等等。按狭义解释,只有那种反映特定的具体实体内在规律性的数学结构,才成为数学模型。如概率中摸球问题、掷硬币问题和统计中人体脂肪含量与年龄的关系、气温与热饮销售的关系等。
(5)数形结合思想:是本教材的重要特色,在概率统计中,数形结合的思想方法得到了充分体现,如:①教材在概率的基本性质这节,与集合的并、交等关系、运算进行类比,介绍并事件、交事件、互斥事件、对立事件,在它们之间建立对应关系,并用文氏图来
分析
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,使事件的关系一目了然。②利用表格、频率分布直方图、总体密度曲线、茎叶图等来理解样本数据,提取样本数据信息。③几何概型中,常常利用数轴、坐标系来表示线段、平面、空间图形,直观地分析、判断事件发生的可能性大小。事件概率的计算,则是依据图形的长度、面积和体积完成。④通过图像(散点图、二维条形图、三维柱形图等等)发现规律,建立函数模型解决实际问题类似的,教材选修2-3还根据散点图介绍了指数型回归方程,而二维条形图与三维柱形图在运用独立性检验基本思想类型的实际问题中发挥着重要的作用。⑤正态分布是一个重要的随机变量,许多概率分布问题可转化为正态分布来解决,通过分析密度函数等图形,了解随机变量取值的规律与特点,可以计算正态分布下的随机变量值。
(6)随机思想:随机思想是通过偶然去发现必然,去研究隐藏在随机现象背后的统计规律,进而理解随机现象,它是概率论的核心思想。随机思想引入随机事件的概念来研究随机现象,任何随机事件的发生都具有概率规律,探求这个规律的做法就体现着随机思想。随机试验是随机思想中的一个重要方法。
(7)统计思想方法
①统计推断思想:通过统计分析,作出合理的判断。但是统计推断并不能保证结论一定正确,除了跟数据的来源、收集数据的方法等有关外,这也是由统计推断思想方法本身决定的。而确定性思维则是给出明确的结论一一正确或者错误。
②统计调查思想:调查是统计数据得来的基本手段,是整个统计工作最基础的环节。《
标准
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》指出:“在参与解决统计问题的过程中,学会用简单随机抽样方法从总体中抽样本;通过实例的分析,了解分层抽样和系统抽样的必要性和重要性”、“能通过试验、查阅资料、
设计
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调查问卷等方法收集数据”。因此,这是要让学生经历统计调查的活动,学会判断何时使用简单抽样、分层抽样和系统抽样的方法,体会到抽样的必要性和重要性,能够收集数据,运用统计图或者统计表,用数字特征(如中位数、众数、平均数、标准差、方差、频率等等)对数据进行整理和分析,最后对其中规律作出判断。
③统计描述思想:是用统计图表等形式描述事物,解释事物或事物间内在规律的思想。平均数、众数、中位数、标准差、方差、相关关系等都是可以描述出事物内在特征的重要参数,而散点图、茎叶图、折线图、条形图、直方图、统计表等等可以把事物的主要特征很直观的呈现出来。我们可以用这些工具,灵活的整理分析数据,作出正确的判断。
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