数论..因数倍数--质数和合数 及答案

第二讲 约数倍数 知识点拨 板块一  因数倍数 一、 因数的概念与最大公因数 0被排除在因数与倍数之外 1． 求最大公因数的方法 ①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来． 例如： ， ，所以 ； ②短除法：先找出所有共有的因数，然后相乘．例如： ，所以 ； ③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公因数．用辗转相除法求两个数的最大公因数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公因数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)． 例如，求600和1515的最大公因数： ； ； ； ； ；所以1515和600的最大公因数是15． 2． 最大公因数的性质 ①几个数都除以它们的最大公因数，所得的几个商是互质数； ②几个数的公因数，都是这几个数的最大公因数的因数； ③几个数都乘以一个自然数 ，所得的积的最大公因数等于这几个数的最大公因数乘以 ． 3． 求一组分数的最大公因数 先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的分子的最大公因数b； 即为所求． 二、倍数的概念与最小公倍数 1. 求最小公倍数的方法 ①分解质因数的方法； 例如： ， ，所以 ； ②短除法求最小公倍数； 例如： ，所以 ； ③ ． 2. 最小公倍数的性质 ①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数． ②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积． ③两个数具有倍数关系，则它们的最大公因数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数． 3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤 先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数 ；求出各个分数分母的最大公因数 ； 即为所求．例如： 注意：两个最简分数的最大公因数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如： 三、最大公因数与最小公倍数的常用性质 1． 两个自然数分别除以它们的最大公因数，所得的商互质。 如果 为 、 的最大公因数，且 ， ，那么 互质，所以 、 的最小公倍数为 ，所以最大公因数与最小公倍数有如下一些基本关系： ① ，即两个数的最大公因数与最小公倍数之积等于这两个数的积； ②最大公因数是 、 、 、 及最小公倍数的因数． 2． 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。 即 ，此性质比较简单，学生比较容易掌握。 3． 对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为 a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数 例如： ，210就是567的最小公倍数 b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍 例如： ，而6,7,8的最小公倍数为 性质（3）不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。 四、求因数个数与所有因数的和 1． 求任一整数因数的个数 一个整数的因数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。 如:1400严格分解质因数之后为 ，所以它的因数有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24个。(包括1和1400本身) 因数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌握。难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有多少个因数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。 2． 求任一整数的所有因数的和 一个整数的所有因数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有因数的和。 如： ，所以21000所有因数的和为 此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记忆即可。 例题精讲 【例 1】 把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问：能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？ 【例 2】 有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，三样水果各多少？ 【例 3】 现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公因数中，最大的可以是多少？ 【例 4】 一个两位数有6个因数，且这个数最小的3个因数之和为10，那么此数为几？ 12.20.28.32.45.50.52.63.68.75.76.78.92.98共14个 【例 5】 用 这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数，求这些数的最大公因数． 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 45能被9整除 所以这326880个数都有因数9 【例 6】 (西城区13中入学试题)一次考试，参加的学生中有 得优， 得良， 得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满50人，那么得差的学生有多少人？ 1÷[1-( + + )]=42 【例 7】 有一些小朋友排成一行，从左面第一人开始每隔2人发一个苹果；从右面第一人开始每隔4人发一个桔子，结果有10个小朋友苹果和桔子都拿到.那么这些小朋友最多有多少人？ 苹果每隔2人发一个，如果每人编上号码，号码间隔为3 桔子每隔4人发一个，如果每人编上号码，号码间隔为5 从第一个两种水果都拿到的人算起，下一个能两种水果都拿到的人的号码应比他多15个 有10个两种水果都拿到的人所以，第10个两种水果都拿到的人比第一个两种水果都拿到的人的号码多15*9=135 他们一共是136人 这时在第1个人的一侧加上14人，第10个人的一侧也加上14个人，总数就是所求了 136+14+14=164人 【例 8】 已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数． 240÷60=4      60=3×4×5    所以这两个数是3、5 根据A×B=(A,B)×[A,B] 【例 9】 已知正整数a、b之差为120，它们的最小公倍数是其最大公因数的105倍，那么a、b中较大的数是多少？ 设两个数分别为km和kn，其中（m,n)=1,m>n 显然k为两个数的最大公约数 最小公倍数为kmn kmn/k=mn=105=1×105=3×35=5×21=7×15 ∴a=105,b=1或a=35,b=3或a=21,b=5或a=15,b=7 ∵ka-kb=120  k为整数 逐一验证得：a=15,b=7，k=15 两个数分别为：225和105 那么a,b中较大的数等于（225） 【例 10】 在1到100中，恰好有6个因数的数有多少个？ 【例 11】 (2008年仁华考题)1001的倍数中，共有      个数恰有1001个因数． 1001=7×11×13，1001的倍数中必有a个7、b个11、c个13（a、b、c正整数）的乘积。若恰有1001个约数，则必有（a+1)(b+1)(c+1)=1001。所以a、b、c可取6、10、13这三个值。故共有3×2×1=6个这样的数。 板块二  质数合数 1． 质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的因数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数. 要特别记住：0和1不是质数，也不是合数. 常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9. 考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点. ⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意. 2． 质因数与分解质因数 质因数：如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数. 互质数：公因数只有1的两个自然数，叫做互质数. 分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示出来，叫做分解质因数. 例如： .其中2、3、5叫做30的质因数.又如 ，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数因数的个数和因数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 数字的特征. 3． 唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即： 其中为质数， 为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n的质因子分解式. 例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数. 分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7. 4. 部分特殊数的分解 ； ； ； ； ； ； ； ； . 5. 判断一个数是否为质数的方法 根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数)，使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，我们可以先找一个大于且接近p的平方数 ，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的那么p就为质数. 例如：149很接近 ，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数. 【例 12】 下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗： 美少年华朋会友，幼长相亲同切磋； 杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多； 九天九霄志凌云，九七共庆手相握； 聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌． 请你将诗中56个字第1行左边第一字起逐行逐字编为1—56号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话． 【例 13】 (2004年全国小学奥林匹克)自然数 是一个两位数，它是一个质数，而且 的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有多少个？ 只能是由2、3、5、7这四个数字组成的两位数， 【例 14】 两个质数之和为39，求这两个质数的乘积是多少？ 39 = 2+37        2*37=74 【巩固】 如果a，b均为质数，且 ，则 ______. 【例 15】 7个连续质数从大到小排列是a、b、c、d、e、f、g已知它们的和是偶数，那么d是多少？ 已知：有7个连续素数且和为偶数 假设这些素数全是奇数，那么和也是奇数！不符合题意 素数只有2是偶数，所以一个偶数，六个奇数，和为偶数， 符合题意，这些素数是：17，13，11，7，5，3，2 所以c 为11