[最新]三棱锥外接球题目
三棱锥外接球问题
河北师范大学实验中学 秦琳 摘要:三棱锥外接球问题是高考热点,也是难点,常见的椎体外接球问题是有固
定方法的,本文做了一些总结。
关键字:三棱柱,外接球,高考题
引入语: 近几年三棱锥外接球问题,经常出现在高考题中,本文就常见的几种题型做一些介绍,希望对同学们有所帮助。
SABC,O(2011年全国高考题),11,已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上,,ABCSCOSC,21是边长为的正三角形,为球的直径,且,则此棱锥的体积为
2322 ()A()B()C()D6632
A【解析】选
3622,ABCOABC 的外接圆的半径r,,点到面的距离dRr,,,33
26SCOSABC 为球的直径点到面的距离为 2d,,3
113262VSd,,,,,, 此棱锥的体积为 2,ABC33436
此解法充分利用了球当中的性质:每一个截面圆的圆心与球心的连线垂直于截面圆所在平面。下面就几个例题简单总结一下三棱锥外接球问题。
OABBC,SAABC,平面1.(2010辽宁11)已知SABC,,,是球表面上的点,,,SAAB,,1OABC,2,,则球表面积等于 选
,A,4 ,B,3 ,C,2 ,D,,,,,
【解析】该椎体可以补成一个长方体,而长方体的体对角线就是外接圆的直径,所以可轻松
1,1,222得解。 解: R,,1S,4,R,4,球4
,ABCBCBADC,,练一练:将边长为2的正沿边上的高折成直二面角,则AD
BACD,三棱锥的外接球的表面积为 ,
5,答案:
说明:对于直角四面体和双垂四面体,都可以补成长方体或正方体,再利用体
对角线是外接球直径这一性质求解。
2. 点A、B、C、D均在同一球面上,其中? ABC是正三角形,AD?平面ABC,AD=2AB=6则该球的体积为 。
解析:由于有一条棱垂直于底面,所以该棱柱可以补成一个直三棱柱,而直三棱柱的外接球的球心正好是三棱柱中截面的外接圆圆心。
323,答案:
说明:对于能补成直三棱柱的三棱锥外接球问题皆可用此法解。
A,BCD3.正四面体的边长为2,求该四面体外接球的表面积 。
解析:正四面体可以看成是有一个正方体的四条对角线构成的,所以它的外接球与正方体的外接球是同一个,从而轻松得解。
62解:若对角线为2,则边长为,体对角线为,球
66,半径为,表面积为。 2
42623622另解: , OD,ED,(AE,OD),OD,AE,4,,ED,3332
6, ?S,球
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