【doc】实方阵的行列式上界
实方阵的行列式上界
第12棼第瑚
1992~6月
齐齐哈尔师范学院(自然科学版)
JournalolQIqiliarTeacherCollege(NatrualScience)
Vo1.12No.2
June】992
』j—J
实方阵的行列式上界
刘玉高广学(二)z
<lf兰师专)
摘要奉文改进了Hadamard关干任意非奇异方阵的行列式的着名不等式.培出j关 干n价实方阵的行列式的新上界.
关键调H蚵m不等式非奇异方阵芙方蹲,矩,千j列戎上矸
Hadamard于1893年建立了关于任一非奇异方阵一(d)…的行列式上界的着名不等
..
式-IdetAI?(n?II)
文[1)对Hadamard不等式进行了改进,给出了一个比Hadamard不等式精确的关于任一
非奇异复方阵^一()的行列式上界的不等式.
本文用另外的方法对Hadanutrd不等式进行改进.给出了关于一阶非奇异实方阵的行列
式的新上界.
设(d.,)是实方阵.下面把A分块为
A=
AnAt…A_-1
…
I(1)'………'…'_
AmAn…ArzJ
其中A..(i=1t2'..?.置)都是尊.阶方阵,且?=_.
引理l设一(a.,)…是正定矩阵.分块如(1),则必有
detA?detl】detAl|."detAI.(2) 而等号成立的充要条件是.A.,一0(1?;i,=1.2t-.-,^). 证对^用数学归纳法,当^1时.结论显然正确,下面将A重新分块为 =
(:::)
f…厶1
其中D=l………l,B=(...…A..).
I^…^.I
因是的前主子阵,故它是正定阵(可逆阵).取,一(.L)则经过计算得到 ,,,=(:".O--B'A~'B).
因为D--BB是正定阵P,AP的主子阵,则知它也是正定阵.则当日?0时,易证Bt'B
本文1991年12月l0日收到.
齐齐哈尔师范学院(自然科学版)第12卷
娃牛正定阵.1:足当n干0时知
detD~de(口一r)+rD]>det(D一A)+det(B') 于是得.detD>det(D--BjD)(因为det(BD)?0)这咩.任意得 detA—detAl_det(D—D)?detAI1detD
而等号成立的充要条件是,一(lr--A.)一n.再由归纳假设 detD?detA:~letA"detA..
而等号成立的充要条件是,A.一0,l?J}i.j一】,2.…,于是1h()式及(d)式得 detA?detA1detA??detAlI
且等号成立的充要条件是.A.一0.?Jm一】,2.…,. 引理2设:()是正定阵,则有
I)如果是奇数.那么
三
!
detA?口llII(d一{.d.一d一j.)I
(3)
(4)
2)如果一是偶数,那么
?
i
detA?II(d一1dm—d).
t--I
证1)如果n是奇数,把A分块如(1).其中ALj—aAll(江2.3,….)的阶数都为
2,故得detA.=口I].detA..:d一d.一d…则由引理1得 detA~detAl_detAn…detA..一d
2)如果是偶数.把A分块如(1).其中Ai,":1.2.….)的阶数为2.则 detA..一口|l_一ld一口,
则由引理J得
i
detA=detAlldetA2j-..detA?一II(d2】d.一d--I,=i). ?一L
定理设一(a.)?.是非奇异的实方阵.
1)当一是奇数时
r?——?——?—一
fdetAI?,I?吒?[(?d一J)(?d;J--l,j)一(?aId_~,ja…J)];』't'2j'J'】J'】 2)当一是偶数时
rr——————————————1———————一 IdetAI?./lI[(?d)(?d;J)一(?口—m.)).
证因为对于任何非异实方阵A,则AA=D=(6.).是正定阵,若一是奇数,则由引理
2的1)得
又因为
?+L
T
detB?6__II(一2一j6|l_?一-一)
?'2
(detA)=det(AA)~detB.则 一
ld
一
一
一
一
一
一
?
第2期刘玉等:实方阵的行列式七界
同理可证当为偶数时有 口,).].
(detA)?II[(?d...J)r?口)一(?口l_】,)],
-一1一1J一,J一,
综上定理得证.
显然.用本文定理估计关于实方阵的式上界要比用Hadamard定理估jj确搿多
(除非A的行两两正交). 例如下列4阶方阵
A=
3321
l432
1—243
一
l一3—24
是非奇异实方阵.用Hadamard不等式估计为;
detA~...2....3....X....3...0.....X......3....0...X...—3—0<838
而用本文定理估计为:
ldetAl?丽<357.
实际上.本文所给出的定理对任何非奇异的复方阵也成立.
参考文献
1曩伯墁.芷定Hermfle阵的行列式上界与Hadamard不等式的改进复旦大学(自然科学)】98"|):t2fi~
Upper13oundsforDeterminantofRealSquareMatrix LjuYuGaoGuangxue
(HuLa13Teachers—trainingCollege)
AbstractInthispaperismadesomeimprovementinthefamousHadamard
inqua]ityofthedeterminantofanynonsJngu]armatrix,andisa]sopresented
anewresultonupperboundsforthedetermJnaatsofn--threalsquare
matriX.
KeyWordsHadamatdjnequa]ityNonsingularmatrix l[
一
口
.
?
n
.
?
"
半?
d
.
? ? ^ e
本文档为【【doc】实方阵的行列式上界】，请使用软件OFFICE或WPS软件打开。作品中的文字与图均可以修改和编辑，
图片更改请在作品中右键图片并更换，文字修改请直接点击文字进行修改，也可以新增和删除文档中的内容。
该文档来自用户分享，如有侵权行为请发邮件ishare@vip.sina.com联系网站客服，我们会及时删除。
[版权声明] 本站所有资料为用户分享产生，若发现您的权利被侵害，请联系客服邮件isharekefu@iask.cn，我们尽快处理。
本作品所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权，请谨慎使用。
网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽..)目的在于配合国家政策宣传，仅限个人学习分享使用，禁止用于任何广告和商用目的。
浙公网安备 33021202002483