讲义精品一元二次方程解法讲义精品1

一元二次方程讲义 教学内容 考点一、概念 (1)定义：①只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是2，这样的③整式方程就是一元二次方程。 (2)一般 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式： 注：当b=0时可化为 这是一元二次方程的配方式 (3)四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为 的形式，则这个方程就为一元二次方程． （4）将方程化为一般形式： 时，应满足（a≠0） (4)难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题： 例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A B C D 变式：当k 时，关于x的方程 是一元二次方程。 例2、方程 是关于x的一元二次方程，则m的值为 。 考点二、方程的解 ⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 ⑵应用：利用根的概念求代数式的值； 典型例题： 例1、已知 的值为2，则 的值为 。 例2、关于x的一元二次方程 的一个根为0，则a的值为 。 说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制. 例3、已知关于x的一元二次方程 的系数满足 ，则此方程必有一根为 。 说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。 例4、已知 是方程 的两个根， 是方程 的两个根，则m的值为 。 例5、已知 ， ， ，求 变式：若 ， ，则 的值为 。 6、方程 的一个根为（ ） A B 1 C D 7、若 。 考点三、方程解法 （1）基本思想方法：解一元二次方程就是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。 （2）方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法 类型一、直接开方法： 就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。 用直接开平方法解形如 ※对于 ， 等形式均适用直接开方法 典型例题： 例1、解方程： （2） （4） （5） 例2、解关于x的方程： 3. 下列方程无解的是（ ） A. B. C. D. 类型二、配方法 基本步骤 :1.先将常数c移到方程右边 2.将二次项系数化为1 3.方程两边分别加上一次项系数的一半的平方4.方程左边成为一个完全平方式： ※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。 典型例题： 例1、试用配方法说明 的值恒大于0， 的值恒小于0。 例2、已知x、y为实数，求代数式 的最小值。 变式：若 ，则t的最大值为 ，最小值为 。 例3、已知 为实数，求 的值。 变式1：已知 ，则 . 变式2：如果 ,那么 的值为 。 例4、分解因式： 类型三、因式分解法: 把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法 ※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”， ※方程形式：如 ， ， ※分解方法:提公因式,利用平方差与完全平方公式,十字相乘法 针对练习： 例1、 的根为（ ） A B C D 例2. （1） (平方差) (2) (提公因式) （3） （平方差) （4） (完全平方式) (5） (完全平方式) （6） （十字相乘法） （7） （十字相乘法） （8） (提公因式) 例3、若 ，则4x+y的值为 。 例4、方程 的解为（ ） A. B. C. D. 例5、解方程： 例6、已知 ,则 的值为 。 变式：已知 ,且 ,则 的值为 。 例7、解下列方程 (1) (2x – 3)2 = (3x – 2)2 (2) - = x+2 (4) 5m2 – 17m + 14=0 (5) (x2 +x+1)(x2 +x + 12)=42 (6) 2x2 + (3a-b)x –2a2+3ab- b2 =0 例8、解关于x的方程x2+x – 2+k(x2+2x)=0 （对k要讨论） 类型四、公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式的值，当判别式大于等于零时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式,就可得到方程的根。 ⑴条件： ⑵公式： , 典型例题：例1、选择适当方法解下列方程： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ 说明：解一元二次方程时，首选方法是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式法；一般不选择配方法。 例2、在实数范围内分解因式： （1） ； （2） . ⑶ 说明：①对于二次三项式 的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这 种方法首先令 =0，求出两根，再写成 = . ②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去. 类型五、 “降次思想”的应用 主要内容：⑴求代数式的值；⑵解二元二次方程组。 典型例题： 例1、已知 ，求代数式 的值。 例2、如果 ，那么代数式 的值。 例3、已知 是一元二次方程 的一根，求 的值。 说明：在运用降次思想求代数式的值的时候，要注意两方面的问题：①能对已知式进行灵活的变形；②能利用已知条件或变形条件，逐步把所求代数式的高次幂化为低次幂，最后求解。 例4、用两种不同的方法解方程组 说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：①先消元，再降次；②先降次，再消元。 但都体现了一种共同的数学思想——化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题. 考点四、根与系数的关系 ⑴前提：对于 而言，当满足① 、② 时，才能用韦达定理。 ⑵主要内容： ⑶应用：整体代入求值。 典型例题： 例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程 的两根，则这个直角三 角形的斜边是（ ） A. B.3 C.6 D. 说明：要能较好地理解、运用一元二次方程根与系数的关系，必须熟练掌握 、 、 、 之间的运算关系. 例2、解方程组： 说明：一些含有 、 、 的二元二次方程组，除可以且代入法来解外，往往还可以利用根与系数的关系，将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题.有时，后者显得更为简便. 例3、已知关于x的方程 有两个不相等的实数根 ， （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。 例4、当 取何值时，方程 的根与 均为有理数？ 例5、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？ 例6、已知 ， ， ，求 变式：若 ， ，则 的值为 。 例7、已知 是方程 的两个根，那么 . 测试题目： 一、选择题 1．解方程：3x2+27=0得（ ）. (A)x=±3 (B)x=-3 (C)无实数根 (D)方程的根有无数个 2．方程（2-3x）+（3x-2）2=0的解是（ ）. (A) ,x2=-1 (B) , (C)x1=x2= (D) ,x2=1 3.方程(x-1)2=4的根是( ). (A)3,-3 (B)3,-1 (C)2,-3 (D)3,-2 4.用配方法解方程: 正确的是( ). (A) (B) (C) ,原方程无实数解 (D) 原方程无实数解 5.一元二次方程 用求根公式求解,先求a,b,c的值,正确的是( ). (A) a=1,b= (B)a=1,b=- ,c=2 (C)a=-1,b=- ,c=-2 (D)a=-1,b= ,c=2 6．用公式法解方程：3x2-5x+1=0，正确的结果是（ ）. （A） （B） （C） （D）都不对 二、填空 7．方程9x2=25的根是___________.. . 8.已知二次方程x2+(t-2)x-t=0有一个根是2,则t=________,另一个根是_________. 9.关于x的方程6x2-5(m-1)x+m2-2m-3=0有一个根是0,则m的值为__________. 10.关于x的方程(m2-m-2)x2+mx+n=0是一元二次方程的条件为___________. 11.方程(x+2)(x-a)=0和方程x2+x-2=0有两个相同的解,则a=________. 三、用适当的方法解下列关于x和y的方程 12．（x+2）（x-2）=1. 13.(3x-4)2=(4x-3)2 14.3x2-4x-4=0. 15.x2+x-1=0. 16.x2+2x-1=0. 17.(2y+1)2+3(2y+1)+2=0. 18.2x2- 19.x2-bx-2b2=0. 20.a2x2+2abx+b2-4=0(a≠0). 21．（b-c）x2-（c-a）x+（a-b）=0（a≠c） 22．用因式分解法、配方法、分式法解方程2x2+5x-3=0. （A） 因式分解法 （B）配方法 （C）公式法 23．解方程： （1） （2） 24．解关于x的方程：x2-2x+1-k（x2-1）=0 25．已知|2m-3|=1，试解关于x的方程3mx（x+1）-5（x+1）（x-1）=x2 26、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答： （1）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。 （2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？ 27、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。 （1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？ （2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。 （3）两个正方形的面积之和最小为多少?