概率论与数理统计题库

概率论与数理统计题库 一、 事件的关系算与运 表示事件“甲关关品关关～乙关关品关”～关其关立事件滞关; ,、关1A AA;A,“甲关关品关或乙关关品关关”滞. ;B,“甲关关品关”滞.;C,“乙关关品关关”. ;D,“甲关关品关～乙关关品关关”滞.二、 五大公式, P(A)=0.4P(B)=0.5P(B|A)=0.3～有率概～～件率条概、已知事件1AB P(A?B)=关 , 0.62 P(A)=0.4P(B)=0.5P(B|A)=0.3、已知事件～有率概～～件率条概～1AB P(A?B)=关 ～ 0.78 P(A)=0.4P(B|A)=0.3、已知事件～有率概～件率条概～关1AB P(A?B)= ～ 0.28 P(A)=P(B)=P(C)=1/3P(AB)=P(AC)=0、关、、是三事件～个～～C1AB P(BC)=1/4P(A?B?C)=～关 ;或 , ～ 3/4 0.75 P(BA)=1/3P(AB)=1/2P(A)=1/4、关、、是三事件～个～～～关C1AB P(A,B)= ～ 1/3 A=“甲地关生春季旱情”B=“乙地关生春季旱情”、关、是两个1 P(BA)=1/3P(AB)=1/2P(A)=1/4随机事件～且～～～关C=“甲或乙地关生春季旱情”关生的率关概 ～ 1/3 P(A)=P(B)=P(C)=1/4P(AB)=0P(AC)=P(BC)=1/6、已知～～ ～关1 P(ABC)= ～,, 5/12 P(A)=3/4A=“甲地房价下跌”B=“乙地房价下跌”、关、是机事件～且两个随～1 P(BA)=2/3P(AB)=1/2C=“甲或乙地房价下跌”～～关关生的率关概 ～ P(A)=pP(B)=qP(A?B)=,关事件、互不相容～～～关1AB pqp?qp(1?p)q;,;,;,;,; ,A. B. C. D. D P(BA)=P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(A,B)=0.6～关; ,、若C 1 ～ ～ ～ ～(A) 0.2 (B) 0.45(C) 0.6(D) 0.75 P(A)=1/4,P(BA)=1/3,P(AB)=1/2P(A?B)=、若～关; ,1C ～ ～ ～ ～(A) 1/5 (B) 1/4(C) 1/3(D) 1/2、多年的关关可知～一名二年关同加英关从教学学参培关班集中培关后能超关分的率概1CET4425关～不加培关而能超关参分的率关概。假如关次有的同加了培关。学参0.84250.470%;,任取我关班一名同～求关同超关学学分的率,概1425 ;,如果一名同得分超关学分～关他加关培关的率有多大,参概2425 解,关事件参加培关”～英关成关超关分”～关=“=“CET4425AB P(BA)=0.4P(BA)=0.8P(BA)=0.8P(A)=0.7～～P(A)=0.3～所以 P(B)=P(A)P(BA)+P(A)P(BA)=0.7×0.8+0.3×0.4=0.68;,。1 PABPAPBA×()()()0.70.8PAB()====0.823529;,。2PBPB()()0.68 、在某工里有甲、乙、丙三台机器生关螺关关～关的关量各占厂它、、～125%35%40%并且在各自的关品里～不合格品各占、、。5%4%2% 关,;,全部螺关关的不合格品率关多少,;,若关在关品中任取一件恰是不合从12 格品～关关不合格品是甲生关的率关多大,厂概 AA解,关表示“螺关关由甲台机器生关”～表示“螺关关由乙台机器生关”～ 12 A表示“螺关关由丙台机器生关”～表示“螺关关不合格”。B3 P(B)=P(A)P(BA)+P(A)P(BA)+P(A)P(BA);,由全率公式概1112233 ;分,5～ =0.25×0.05+0.35×0.04+0.40×0.02=0.0345 PAPBA×()()0.250.051PAB ;分,()===0.362319;,由关斯公式叶321PB()0.0345、金关的主人外出～委托朋友关水～关已知如果不关水～金关死去的率关概～若关10.8水～关金关死去的率关概。有的把握定朋友关得关水。确会0.150.9 关,;,主人回金关关活着的率,;来概,若主人回金关已关死去～关朋友忘关关来12 水的率关多大,概 P(A)=0.9P(A)=0.1解,关表示“朋友关水”～表示“金关关活着”～关～～AB P(BA)=0.15P(BA)=0.8P(BA)=1?0.15=0.85P(BA)=0.2～～～～ P(B)=P(A)P(BA)+P(A)P(BA);,由全率公式概1 ～ …………………………………;分,=0.9×0.85+0.1×0.2=0.7855PAPBA×()()0.10.8PAB;,由关斯公式叶 ……;()===0.37209328PB()10.785?分, 1、 已知一批关品中90%是合格品～关关关～一合格品被关关关是次品的率关个概 0.05～一次品被关关关是合格品的率关个概0.02～求;1,一关品关关关后被关关是合个格品的率～;概2,一关关关后被关关是合格品的关品是合格品的率个确概. A= 解,关“任取一关品～关关关关关是合格品” ……………………;2, B= “任取一关品是合格品”确 PAPBPABPBPAB()()(|)()(|)=+ 关;1, ……………………;3, = + =0.90.950.10.020.857. PAB()0.90.95 PBA(|)0.9977=== ;, ;,2. ……………………2PA()0.857 、有甲、乙、丙三盒子～其中分关有一白球和黑球、一黑球和白球、三白球和个个两个个两个个1 三黑球。关一枚子～若出关个骰～～点关关甲盒～若出关点关关乙盒～否关关丙盒。然后从1234 所关的中盒子中任取一球。求, ;,取出的球是白球的率～概1 ;,取出的球关白球关～此球自甲盒的率。当来概2 关 =“取出关中的关甲盒”～ 关中的关乙盒”～ 关中的关丙盒”～=“=“=“解,CAAD 312一球关白球”～已知PAPBPC(),(),()===666 123PDAPDBPDC(|),(|),(|)===～ ……………………………… 分(3)336 3112234;,由全率公式 概 …………………… 分PD()= + + =1(2)6363669 31 363PAD(|)==;,由公式 ……………………………… 分2Bayes(2)48 9 、关关台分关以和的率关出信“概号和“”～由于通信系关受到干关～—10.60.4?” 当号关出信“关～收关台未必收到“～而是分关以率概和收到信号?”?”0.80.2 “和“”～同关关出信“”关～收关台分关以率—当号—概和收到信号?”0.90.1 “”和“—～求,;,收关台收到信“号的率～;概,收关台收到信当号?”1?”2 “关～关关台是关出信“号的率。概?”?” 解,关 关出信‘’”～ 号关出信‘号—’”～ 收到信‘号～C=“=“=“?’”AB P(CA)=0.8P(CB)=0.1P(A)=0.6P(B)=0.4已知～～～…………… (3分) ;,由全率公式 概1 P(C)=P(A)P(CA)+P(B)P(CB)=0.6×0.8+0.4×0.1=0.52 ……… 分(2)P(A)P(CA)×0.60.812P(AC)===;,由公式 …… 2Bayes(2P(C)0.5213分) 三、 三大型概古典、何、伯努利几() 、关件中有件是次品。今中机地取从随件～关关三件关品中至少有件是次210331 331?C/C(或17/24)品的率关概～710 、已知件关品中由件次品～在其中任取次～每次任取一件～作不放回抽关～21022 关其中一件是正品～一件是次品的率关概 ～ 16/45 、同关抛关3枚均的硬关～关恰好有枚硬关正面向上的率关; 匀两概C ,1 (A) 1/8 (B) 2/8 (C) 3/8 (D) 4/8～ p、某人向同一目关立重关射关～每次射关命中目关的率关独概～关在第次射关关恰好14第次命中目关的率关; 概,2B 22222234p(1?p)3p(1?p)2p(1?p)p(1?p)～ ～ ～ ～(A) (B) (C) (D) 、袋中有个球;个关球～个白球,～每次取个两～无放回地抽取次～关第15321 二次取到关球的率关; 概,A 3331 ～ ～ ～ ～(A) (B) (C) (D) 54210 、已知某型关子器件命寿以天关的率密度函关 概数2()X F(x).;1,求的分布函数X 10:;,关有一大批此关器件关各器件关否相互坏与独2(>,x10,,立～任取只～以表示命大于寿天的器件)10152Y(f)x=x,的只～求数的分布律。Y ,0,x10.?: xF(x)=0dx=0解,;,因关 当关～～当关～1x?10x>10??? 10: x1,x10?,>10,，，x101010Fxdxdx～故;分,=+=?=?4()01F(x)=2x??10,??,,xxx10，，,0,x10.?: 21(15);,因关任意一只器件命寿大于天的率关概p=?F=～215X3 2 又各器件关否相互立～所以坏与独服从b(10,)～率分布律关概Y 3 k10?k:,10:,:,21 ………………;8分,,,P{X=k}=,k=0,1,2,,,10.,,,,,,k33:::::: 、已知机关量随的率密度函关 概数2X F(x).;1,求的分布函数X1x:;,关关独立地重关关察次～以表24XYxπcos,0,??,示大于的次～求数的分布律。π/6Yfx()=22, ,0,其他.: xF(x)=0dx=0解,;,因关 当关～～当关～1x?00?x?π??? x01，，xxxx()0cossinsinF(x)=1x>π～当～ ～故=+==Fxdxdx??0??,,22220，， 0,x0,<: ,x,;分,4……………………π(F)xsin,0x～=??, 2, 1～xπ.>,: p=1?F(π/6)=1?sin(π/12);,因关大于的率关概～所以服从2π/6XY b(4,1?sin(π/12))～率分布律关 概 :,4k4?k,,()()P{X=k}=1?sin(π/12)sin(π/12),k=0,1,2,3,4. ………………;分, 4,,k:: 四、 一关机关量的分布及性关随 1,X0,?:?11X X~U(?1,2),关机关量随～令～关的分布律关5YY=12,pk331,X0.?<: 0,x10X 11β=β=β=α+1;, ;, ;, ;,不能定 ; 确,ABCDC α?1α+1 kk=1,2,,β=P{X=k}=β、关散型机关量离随的分布律关～～关参数; 2D X , ～ ～ ～ ～(A) 1/5 (B) 1/4(C) 1/3(D) 1/2 Af(x)=,??0,k=1,2,,、关机关量随的率分布律关概～关参数; λ=2X ,C 11==λλ的任意关数～ ～ ～～λ>0λ=b+1(A) (B) (C) (D) b+1b?1五、 关关型率密度分布函的相关关算概与数 ?λx?λx::λ1e,x0?e,x0>> 、关关型机关量的分布函关随数～关率密度函关概数～5F(x)f(x)==,, 0x00x0??:: 0,x0,<: ,2、机关量随的分布函是数～关机关量随的率密度函关概数4(F)x=,x0x1,?a}=P{X>,,:: 11{13}(3)(1)1(1);,因关关关关型机关量～随。或Pπ当～ 1: ,0sπ.??,所以π2s=f(s)F'(s)=, ,0,其它.: X~U(0,1)～已知关方形的周关关～求关方形面关的期望和方差。数学、关关方形的关21 <<1,0x1,: X~U(0,1)解,因～故 ……………………;分,1f(x)=, 0,其他～: A=X(1?X)面关关～所以 1+?1()((1))(1)()(1)EA=EX?X=x?xfxdx=x?xdx=…………;2??60?? 分, 1+?12222222()((1))(1)()(1)EA=EX?X=x?xfxdx=x?xdx=～??030?? 11122()()()DA=EA?EA=?=…………………………;分,33036180 XX~N(0,1)、若～～求的率密度函。概数2YY=e Xy?0解,因关当关～是不可能事件～所以～F(y)=P{Y?y}=0Y=e?yY Xy>0又当关～;分,5F(y)=P{Y?y}=P{e?y}=P{X?lny}=F(lny)YX 2(lny):?112?>e,y0,,所以的率密度函概数;分,3Y=(f)y'F()y=y,YYπ2 ,?0,,y0.: Y=XX~N(0,1)～求的率密度。概、关1 F(x)F(y)解,关机关量随和的分布函分关关数、～先求的分布函数XYYXY Y=X?0y?0F(y)F(y)=0。由于～故当关～ ……………………;1YY分, F(y)=P{Y?y}=P{X?y}=P{?y?X?y}=F(y)?F(?y)y>0当关～有～YXX yF(y)将关于求关～得数即的率密度关概YY 2y:?2 22[(f)y(f)],y0y,+?>:,e,0y,>XX ……………;分,4(f)y==,,πY 0,0y.?:, 0,0y.?: 2X~N(0,1)～求的率密度。概、关1Y=X 解,关机关量随和的分布函分关关数、～先求的分布函数。F(x)F(y)F(y)XYYXYY 2y?0由于～故当关～ ……………………;分,F(y)=02Y=X?0Y y>0当关～有 2～F(y)=P{Y?y}=P{X?y}=P{?y?X?y}=F(y)?F(?y)YXX y将关于求关～得数即的率密度关概F(y)YY y ?:1:1 2+?[(f)y(f)],y0y,>,e0y,>XX,, ……………;分,42y(f)y==2yπ,,Y ,, ?0,0y.0,0y.?:: 2XX~U(0,1)f(y)～求的分布密度函数。、关机关量随1Y=eY 1,0x1,<<: X~U(0,1)～故 ……………………;分,解,因1=f(x),X 0,其他～: 0,y1,<:0,y1,<: ,1, yln11,,X2222……;分,3?=F()y{Pe?}y{PXln}yf()xdx,1=y=e,=ln,y1ye,?2)X~N(0,1)Φ(x)3,关机关量随～的分布函关数～关的关关X 2[1?Φ(2)]2Φ(2)?1 ;A,. ;B,. 2?Φ(2)1?2Φ(2) ;,;,; ,C. D. A X~N(0,1)P(|X|>2～关、若; ,4)=A 2[1?Φ(2)]2Φ(2)?12?Φ(2)1?2Φ(2);,～;,～;,～;,。ABCD N(0,1)P(|X|>1)、若服关准正关分布从～关; ,4=B X 2Φ(1)?12[1?Φ(1)]2?Φ(1)1?2Φ(1);,～;,～;,～;,～ABCD X~N(2,4),Y~N(1,2)N(0,12)、若且与相互立～关独～6XYX?2Y~ X~N(2,4)Y~N(?1,2)N(0,12)、已知～～关～8X+2Y~ 、某人射关直到中关止靶,已知每次射关中的率关靶概0.75. 关射关次的数数2 学与期望方差分关关 ; D , 49491944与与与与(A)(B)(C)～ ～ ～ (D) ,343164439 p(0,2 ()fx=x, ,0,100x.?: F(x).;,求的分布函数;,关有一大批此关器件关各器件关否相互坏与独12(X 立～任取只～以表示命大于寿小关的器件的只～求数的分布律。)10150YY xF(x)=0dx=0解,;,因关 当关～～当关～x?100x>1001??? x100，，x100100100Fxdxdx=+=?=?～()012??100??,,xxx100，， 100: 1,x100?,>, 所以 …………;分,4F(x)=x, ,0,x100.?: 21(150)p=?F=;,因关任意一只器件命寿大于小关的率关概～2150X3 2b(10,) 又各器件关否相互立～所以坏与独服从～率分布律关概Y 3 k10?k:,10:,:,21,,P{X=k}=,k=0,1,2,,,10. ………………;分,8,,,,,,k33:::::: 、某地人区寿口命服从的命分布～求关地人寿区寿口的平均命和关θ=80140X 以前死亡的率。概 1?x:180,ex0?解,因服从的命分布～故寿f(x)= ………;分,1θ=80X,80,0x0<: 1+?+??x180EX=xf(x)dx=xedx=80;1,人的平均命寿～ …………(2分)??800?? ;2,关地人区关以前死亡的率概40 11140?x?x?114080802P{X<40}=edx=(?80)e|=1?e ……………(3分)0?80800 八、 二关散型机关量的率分布离随概 1,,,X～再从任取一～关关个数～关、从中任取一～关关个数51,2,3XY P{Y=2}= 5/18 ～ 6,关散型机关量离随和的关合率分布关概XY (,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)XY 1111Pαβ69183 X,Yα,β 若独立～关的关关 2112,,α=β=α=β= ;A,. ;B,. 9999 5111,,α=β=α=β= ;C, ;D,. ; A ,661818 XY7,关机关量随与相互立～其率分布分关关独概 X01Y01 P0.40.6P0.40.6 关有 PXY()0.==PXY()0.5.== ;A, ;B, PXY()0.52.==PXY()1.==;, ;, ; C ,CD (X,Y)、二关机关量随的关合分布律关1 X101?Y00.10.30.2 10.20.10.1 X,YP(X+Y=0);,求的关关分布律～;,求。12 P(X=?1)=0.1+0.2=0.3P{X=0}=0.3+0.1=0.4解,;,～～.1 P{X=1}=0.2+0.1=0.3P{Y=0}=0.1+0.3+0.2=0.6～～P{Y=1}=0.2+0.1+0.1=0.4。 ;分,5 P(X+Y=0)=P{X=0,Y=0}+P{X=?1,Y=1}=0.5;,。 ;分,23 (X,Y)、二关机关量随的关合分布律关2 X101?Y00.10.10.2 10.20.30.1 X,YX,YP(X+Y=1);,求的关关分布律～;,求～;,是否相互立。独123 P(X=?1)=0.1+0.2=0.3P{X=0}=0.3+0.1=0.4解,;,～～1 P{X=1}=0.2+0.1=0.3P{Y=0}=0.1+0.1+0.2=0.4～～P{Y=1}=0.2+0.3+0.1=0.6。…………………………………;分,4 P(X+Y=1)=P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}=0.5;, ………………;27分, X,YP{X=0,Y=0}=0.1?P{X=0}P{Y=0};,因关～不相互立。独3 (X,Y)、二关机关量随的关合分布律关1 X101?Y00.10.10.2 10.20.30.1 X,YE(X)E(Y)P(X+Y=1);,求和～;,求～;,是否相互立。独123 P(X=?1)=0.1+0.2=0.3P{X=0}=0.3+0.1=0.4解,;,～～1 P{X=1}=0.2+0.1=0.3E(X)=?1×0.3+0×0.4+1×0.3=0～ P{Y=0}=0.1+0.1+0.2=0.4P{Y=1}=0.2+0.3+0.1=0.6～E(Y)=0×0.4+1×0.6=0.6。…………………………………;分,3 P(X+Y=1)=P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}=0.5;, ………………;分,23 X,YP{X=0,Y=0}=0.1?P{X=0}P{Y=0};,因关～不相互立。;独分,31 、盒子里有只关球～只白球～在其中不放回任取次～每次任取只。定关13221 0～第一次取得关球～0～第二次取得关球～:: 随机关量～～求;,二关机关随1X=Y=,, 1～第一次取得白球～1～第二次取得白球～:: X,Y(X,Y)P{X=Y}量的关合分布律～;,求～;,是否相互立。独23 233323{1,0}{0,0}解,;,～PX=Y==?=PX=Y==?=154105410 211323{1,1}{0,1}～………;分,PX=Y==?=PX=Y==?=354105410 P(X=Y)=P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=1}=0.4;, ………………;分,23 X,YP{X=0,Y=0}=0.3?P{X=0}P{Y=0};,因关～不相互立。;独分,31九、二关关关型机关量的分布随 、关机关量随与相互立且均服关独从区上的均分布～匀;0～1,4XY P(X?Y<1/2)= ～ k=f(x,y)(X,Y)、关的关合密度关 422(1+x)(1+y) (X,Y)(0,0),(0,1),(1,0),(1,1);,求常数～;,求落入以关关点的正方形的内概12k 率; X,Y是否立,独(3) 11????2f(x,y)dxdy=kdxdy=kπ=1解,;, 因关～所1????221x1y????????++ 1以。 ;分,k=22π 11111111(,)fxydxdy=dxdy=;,。 ;分,22????22216π110000xy++1111?==f(x)dy～ (3) X2222?π(1+x)(1+y)(1+x)π?? 1111?==f(y)dx～Y2222?π(1+x)(1+y)(1+y)π?? X,Y所以 ～相互立独;分,f(x,y)=f(x)f(x). 3XY 2:12,0yyx1.??? (,)XY、关二关机关量随的率密度关概2(f,x)y=, 0,其他.: E(XY)关求;1,关关密度函数～～;2,。 f(x)f(y)XY x 23: +?12y,0dy1x,<<:4,0x1x,<<,?0解, (1)=(f)x(,f)xydy==,,X??? 0,其他.:,0,其他.: 1 22: +?12y,0dx1y,<<:?<12(1y<),0y1y,,?y …;分,4=(f)y(,f)xydx==,,Y??? 0,其他.:,0,其他.: +?+?E(XY)=xyf(x,y)dxdy;2,?? ????1x1，，25=xy?12ydydx=3xdx=0.5 …………;分,2???,,000，， (0,1)、关和是相互立的机关量～独随在上服均分布～从匀的率密概3XYXY 度函关数 y?:12e,y0,>, (f)y=,2Y ,0,y0.?: 求;1,和的关合率密度函～概数XY 2aa ;2,关含有的二次方程～求有关根的率概(已知a+2Xa+Y=0 Φ(1)=0.8413Φ(2)=0.9772,Φ(0)=0.5000～～根据需要关用)。2π=2.5066 1,0x1,<<: 解, 的率密度函关概数;1,因关和是相互立两个独XXYf(x)=,X 0,其它.: 的机关量～所以随和的关合率密度函关概数XY y?:12e,0x1,y0,<<>, ………………………;3分,=(f,x)y(f)x(f)y=2,XY ,0,其.它: 222;,二次方程有关根的充要件关条～即2a+2Xa+Y=04X?4Y?0X?Y?0～所求率关概，，2x???2??==?=?yyx,,12111x2{0}1????222PXYdxedyedxedx，，200000 2。…………;8x?1=?=?Φ?Φ1212((1)(0))12πedxπ?π20 =1?2.5022(0.8413?0.5000)=0.1445 分, XY4、向一目关射关～目关中心关坐关原点～已知命中点的横坐关和关坐关相互立～独 222D={(x,y)1?x+y?2}N(0,2)且均服从分布. 求;1,命中关形区域的 22概率～;2,命中点到目关中心距离的期望数学.Z=X+Y P{(X,Y)?D}=f(x,y)dxdy?? 解, ;1,D 222+xyr??2π21188edxdyderdr==θ????0188ππD 2，，22112rr2r????8884 ～………;4,=?ed(?)=?e=e?e,,?18,,1，，22xy+?+ + 122228EZEXYxyedxdy=+=+ () ? ? 8π ;2, 22rr??2π+ + 11288==rerdrderdrθ 00084π ……………………;3, + 222rrr???+ + 21π888=?+==reedredr2π 0? 22π0. 、已知二关机关量;随,的率密度关概2X,Y :>>?(x+y)e～x0,y0,=,f(x,y) 0～其他.: P(X>e,x02,e,y0,概率密度分关关和 求;1,子系关和串关关～;2,LLf(x)=(f)y=12,,XY 0,x0.0,y0.??:: 子系关和并关关系关的命寿的率密度。概LLLZ12 ?x?2y::1e,x1?0,e,?y0,>> 和的分布函分关关数和……;分,3解,XYF(x)(F)y==,,XY 0,x0.0,y0.??:: ?3z:1e,?z0,> Z=min{X,Y},;,串关关～其分布函关数1F()z=,min 0,z0.?: ?3z:3e,z0,> ………………………………………………;分,所以率密度关概2f()z=,min 0,z0.?: ?z?2z:(1e)(1?e),z0,?> Z=max{X,Y},;,关关并～其分布函关数2F()z=,max 0,z0.?: ??z2z?3z:e2e3e+,z0,?> 所以率密度关概…………………………………;分,2=f()z,max 0,z0.?: X,Y[0,1] 2、若相互立～独服从上的均分布～匀的率密度关概XY2y,0y1,??: 求的率密度。概Z=X+Yf(y)=,Y 0,其他.: f(x)f(z?x)?0解,由卷关公式～要使被关函数～XY 必关～～………………;1分,0?x?10?z?x?1 所以 f(z)=0关或～有～………………;2分,z<0z>2Z z2f(z)=2(z?x)dx=z关～有～………………;2分,0?z?1?Z0 12f(z)=2(z?x)dx=2z?z关～有～………………;2分,Z1 xxx,,,,θ12n 关用来体自关的关本～求未知参数的矩估极估关和大似然关. 解,先求矩估关 1θθEXxdx===µθ1 01+θ µ1X$?=θ=θ1?µθ1?X1 故的矩估关关 再求大极估似然关nnθθ??11Lxxxxx(,,;)(),,θθθ== 11nini=1 n lnln(1)lnLnx=+?θθ,ii=1 ndLnln=+ln0x@,idθθi=1 θ 所以的大极估似然关关 1$θ=?n1 .lnx,in=1i 1:,xθ～0??fx(～)=、关机关量随的分布密度函数～θ2X,θ ,0～其他: XXX,,,,未知。关取自关体的一关本～个θ>0X12n ˆˆ;,求的矩估关量和大极估似然关量～θθθ112 ˆˆ;,关,与是否是的无偏估关关什关,;要求出关明关程,写θθ2θ? 12 ˆ解,;, 的矩估关量关 ～ 分1θθ=2X(4)1 ˆθ=max{}X的最大关量关 估 分θ(4)2i1 in nn22θˆˆEEXEX()(2)()====θθ;,由于～故是的无偏估关。2θθ i11nn2ii11== 分(1) n?1 nz,[0,]θz nˆ:max{}()Xfzθ==由于 ～ 有θ 2iM1in 0,[0,]z θ + θn?1znznˆ()()θθθ=== Ezfzdzdz 2Mn +1nθ0? ˆ 分(2)所以不是的无偏估关。θθ2 具有分布律、;本小关分,,关机关量随28X 123X222θ(1?θ)p(1?θ)θk x=1,x=1,x=2其中;,关未知。已知取得了关本关参数～求的矩θ0<θ<1θ123 估极估关量和大似然关量。 1124++22x==E(X)=1×θ+2×2θ(1?θ)+3(1?θ)=3?2θ解,～关本均关～33 54ˆ32?θ=θ=令～得的矩估关关关 ………………………;分,θ436 225L(θ)=θ?θ?2θ(1?θ)=2θ(1?θ)似然函关数～ lnL(θ)=ln2+5lnθ+ln(1?θ) ～似然方程关关数数似然函关 θ5dLln()51ˆθ==?=0～得的最大似然关关关估。……;分,θ86dθθθ1? 、;本小关分,,关机关量随具有分布函数210X 0,x0,?: ,θ F(x;)=xθ,0x1,<<, ,1,x1.?: X,X,,,X其中关未知～参数关自关的关本。求来体的矩估极关量和大似θ>0θ12n然关量。 估 θ?1:x,0θx1,<< 解,机关量随的密度关 ……………………………;分,2Xθ=(f;x), 0,其他.: 先求矩估关, µ11θθ?=θEXxdx===µθ1 1?0µ11+θ～ X$=θθ1?X故的矩估关关。………………………………;4分, 再求大极估似然关, x,x,,,xX,X,,,X关关相关于关本的关本关～故似然函关数12n12n nθθ??11nLxxxxx(,,;)(),,θθθ== 11nini=1 ～ 而nndLnlnlnln(1)lnLnx=+?θθ=+ln0x@,,iidθθii=1=1 ～ 所以的大极估似然关关θ 1$θ=?n1lnx,in=1i . ………………………………;4分, x?:1θ>e,x0,,(X,X,,,X)七、关关自关来体的一关本～个密度函关数～其中XX=θf(x;)12n,θ ,?0,x0.: 关未知～关求参数的矩估与极关大估似然关关量。θ>0θ x?+?+?1θ解,;1, ,解得～以θ=µAµ==θ==θE(X)xf(x;)dxxedx111??0??θ 代替得～的矩估关是。µ………………………………………… ;分,θ31θ=X ;2,作似然函数 nx1in:?:x?1i?1nθθi=1exx,x,,,,0>,,?12nexx,x>,,,,0 ～ 12nn=θLf(x)(;)θ==θ,,?i=i1θ i1=,, 0,.其他0～其他.:: n1n?x1?i1θθθx,x,,,x>0L=?n?x关当取关得数求关=1ln()ln,,, i12n?θiLe()=nθ=1iθ nθdLnln()1ˆ=?+x～令其等于零解得,θ=x?i2θθθd=1i ˆ所以是的最大似然关量。估………………………… ;分,θ3θ=X 七、;本小关分,,关机关量随具有率密度函概数9X θ: ,x1,?,θ+1 θ(f;x)=x, ,<0,x1.: X,X,,,X其中关未知～参数关自关的关本。求来体的矩估极关量和大似θ>1θ12n 然关量。 估 µθθ+?1θ=µ===()EXxdx解,先求矩估关量,～所以11θ?+1µ?1θ?1x1 Xˆ=θ故的矩估关量关。 ………………;4分,θ X?1 再求大极估似然关, x,x,,,xX,X,,,X关关相关于关本的关本关～故似然函关数12n12n n:θ ,,x1(i1,2,,)n?=,iθ+1～(L)=θ,(xx)x,12n ,0,其他.: x?1(i=1,2,,,n)L(θ)>0当关～～取关得数i n ln(L(θ))=nlnθ?(θ+1)lnx ～?i=1i nnθθ=dln(L())nn=?lnx=0令～解得。?ilnxθθd?i=1i=1i 1ˆθ=n1 所以的大极估似然关量关 . ………………;5分,θlnX?in=1i 七、;本小关分,,关机关量随具有率分布函概数9X 1: 1,x?1,?,θ θF(x;)=x, ,0,x1.<: X,X,,,X其中关未知～参数关自关的关本。求来体的矩估极关量和大似θ>1θ12n 然关量。 估 解,的率密度关概 ………………;分,Error: Reference source not found2X µθθ+?1θ=µ===()EXxdx先求矩估关量,～所以11θ?+1µ?1θ?1x1 Xˆ=θ故的矩估关量关。 ………………;3分,θ X?1 x,x,,,xX,X,,,X再求大极估似然关,关关相关于关本的关本关～故似然函12n12n n:θ ,x,1(i1,2,,)n?=,iθ+1x?1(i=1,2,,,n)L(θ)>0数关～当关～～取关θ(L)=i,(xx)x,12n ,0,其他.: n ln(L(θ))=nlnθ?(θ+1)lnx数得 ～?i=1i nnθθ=dln(L())nn=?lnx=0令～解得。?ilnxθθd?i=1i=1i 1ˆθ=n1 所以的大极估似然关量关 θlnX?in=1i 十六、 关关关关假关关关区估与 2、已知灯寿泡命～今抽取只灯寿泡关行命关关～得关本小关～X~N(µ,100)1025x=1200 µz=1.96关的置信度关的置信关是区 ;,。95% (1160.8,1239.2) 0.025 N(µ,1)、已知一批零件的关度～今中机地抽取从随零件～关位服正关分布从1610(cm)X µz=1.96得到关度的平均关关～关的置信度关的置信关是区 ;40cm95% (39.51,40.49) 0.025 ,。 2X~N(µ,σ)、假关防科技院男灾学生身高～机关得随人身高～得x=173716 2µt(15)=2.1315～～未知～关的置信度关的置信关区s=6(cm)(cm)0.95(σ0.025 。) 、;本小关分,某批关砂的个关品中的金含量～关定关果关～x=3.252375 ～再假关关定关服正关分布～但均未知。关在体从参数下能否接受s=0.002α=0.01 t(4)=4.6041t(5)=4.0322～假关,关批关砂的金含量均关关。;已知～3.250.0050.005 根据需要关用,。5=2.236 22µµ,σtX~N(µ,σ)解,关定关～均未知～关于均关的假关关关～用关关法。 H:µ=3.25H:µ?3.25提出假关,～ ……………………;分,201 关取关关关关量, ?X3.25t=~t(n?1)当真原假关关关～关关关关量关～……………;分,4S/n t(4)=4.6041由于关著性水平关～故拒关域关α=0.010.005 (??,4.6041]?[4.6041,?)～…………………………………;分,5关在～～～n=5x=3.252s=0.002 ?3.2523.25t==2.236t的关关关关～…………………;,60.002/5 t=2.236<4.6041所以～接受原假关;,. …………………7八、;本关6分,打包机装糖入包～每包关准重关100斤～每日关工后～要关关所装糖包重量的关期望关是否合体乎关准;100斤,。某日关工包糖～得重量如下;关称位斤,,99.3～98.7～100.5～101.2～98.3～99.7～99.5～102.1～100.5～关算得=99.98～s=0.685～x已知所装从装糖包的重量服正关分布～关关天打包机所糖包是否合乎关准,;～α=0.05t(8)=t(8)=?2.3060,1?α/20.975 22解,关糖的每包重量关～关～由关意～均未知～XN~(,)µσµσ,X HH:100;:100µµ= 要关关假关 ……………… ;分,201 X100?T~t(8)因关方差未知～所以关取关关量 …… ;分,1=S/9 W={t>t(8)}H的拒关域关 ……………… ;分,2α/20 99.98100?而-0.086 t= 30.685 t(8)=?t(8)=2.3060 α/20.975 ?0.086<2.3060～未落入拒关域～所以接受H 0 可以关关关天打包机所装糖包合乎关准。………… ;分,1