第六节 定积分的几何应用
第六节 定积分的几何应用
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为定积分的步骤 ? 定积分的微元法
? 直角坐标情形 ? 例1
? 例2 ? 例3 ? 例4
? 参数方程情形 ? 例5
? 极坐标情形 ? 例6 ? 例7 ? 例8
? 圆锥 ? 圆柱 ? 旋转体
? 旋转体的体积 ? 例9 ? 例 10
? 例 11 ? 例 12 ? 例 13
? 平行截面面积为已知的立体的体积
? 例 14 ? 例 15
? 内容
小结
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内容要点:
一、 微元法
定积分的所有应用问题，一般总可按“分割、求和、取极限”三个步骤把所求的量表示为定积分的形式.
可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量(总量)表示为定积分的方法——微U
元法，这个方法的主要步骤如下:
(1) 由分割写出微元 根据具体问题，选取一个积分变量，例如为积分变量，并确定x
它的变化区间[a,b]，任取[a,b]的一个区间微元[x,x，dx]，求出相应于这个区间微元上部分量的近似值，即求出所求总量的微元 ,UU
dU,f(x)dx;
(2) 由微元写出积分 根据dU,f(x)dx写出表示总量的定积分 U
bb U,dU,f(x)dx,,aa
微元法在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用，本节和下一节主要介绍微元法在几何学与经济学中的应用.
应用微元法解决实际问题时，应注意如下两点:
[a,b][a,b] (1) 所求总量关于区间应具有可加性，即如果把区间分成许多部分区间, U
则相应地分成许多部分量, 而等于所有部分量之和. 这一要求是由定积分概念本UU,U
身所决定的;
f(x)dx (2) 使用微元法的关键是正确给出部分量的近似表达式，即使得,U
f(x)dx,dU,,U,U,f(x)dx. 在通常情况下，要检验是否为的高阶无穷小并非易dx
dU,f(x)dx事，因此，在实际应用要注意的合理性.
二、平面图形的面积
(1)直角坐标系下平面图形的面积
(2)极坐标系下平面图形的面积
12曲边扇形的面积微元 dA,[r(,)]d,2
,12所求曲边扇形的面积 A,[,(,)]d,.,,2
三、 旋转体:由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体. 这条直线称为旋转轴.
2dV,,[f(x)]dx,旋转体的体积微元
b2所求旋转体的体积 V,[f(x)]dx.,,a
四 、平行截面面积为已知的立体的体积:如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.
体积微元 dV,A(x)dx,
b所求立体的体积 V,A(x)dx.,a
例题选讲:
直角坐标系下平面图形的面积
22y,xy,x例1(讲义例1)求由和所围成的图形的面积.
2y，1,x 例2(讲义例2)求由抛物线与直线所围成的面积. y,1，x
2y,2x例3(讲义例3)求由和所围成的图形的面积. y,x,4
32y,x,6xy,x例4 计算由曲线和所围成的图形的面积.
22xy，,1例5(讲义例4)求椭圆所围成的面积. 22ab
22,,acos2,例6(讲义例5)求双纽线所围平面图形的面积.
例7(讲义例6)求心形线r,a(1，cos,)(a,0).所围平面图形的面积
2222yyxxa,b,0例8 求出和的图形的公共部分的面积(其中). ，,1，,12222abba
x,h例9(讲义例7)连接坐标原点及点P(h,r)的直线、直线及轴围成一个直角xO
h三角形. 将它绕x轴旋转构成一个底半径为r,高为的圆锥体, 计算圆锥体的体积.
22yx例10(讲义例8)计算由椭圆围成的平面图形绕轴旋转而成的旋转椭球，,1x22ab
体的体积.
2/32/32/3x，y,a(a,0)例11求星行线绕轴旋构成旋转体的体积. x
例12计算由连续曲线、直线y,c、及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋x,,(y)y,d
转一周而成的立体的体积.
22y,x,y,2,x例13(讲义例9)求由曲线 所围成的图形分别绕x轴和y轴旋转而成的旋转体的体积.
例14(讲义例10)一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角(图,5-6-18)，计算这平面截圆柱体所得立体的体积.
Rh例15 求以半径为的圆为底、平行且等于的圆直径的线段为顶、高为的正劈锥体的体积.
极坐标系下平面图形的面积
课堂练习
3,3，，y,sinx,x,0,1.求正弦曲线和直线及x轴所围成的平面图形的面积. x,,,,22，，
2.求由曲线xy,1及直线y,x,y,3所围成的平面图形的面积.
22xxy,,y,，1,y3.求由抛物线与直线围成的图形,绕轴旋转而成的旋转y,101010
体的体积.
浙公网安备 33021202002483