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数列求和的若干常用方法

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数列求和的若干常用方法数列求和的若干常用方法 杨柏山    指导教师:李劲 (河西学院数学与应用数学专业2006届6班30号, 甘肃张掖 734000) 摘 要 数列求和是高中数学知识的难点之一,也是高考数学内容的重点考察对象之一.传统的数列求和往往是用公式来求,但是对一些非等差、等比数列却是行不通的.本文将针对这种现象,打破常规,运用一定的技巧和变形,如分组求和、裂项求和、逆序相加、待定系数等方法来解决这类问题. 关键词 数列;分组;裂项;错位相减;逆序相加;待定系数. 中图分类号 O122.4                    ...

数列求和的若干常用方法
数列求和的若干常用方法 杨柏山    指导教师:李劲 (河西学院数学与应用数学专业2006届6班30号, 甘肃张掖 734000) 摘 要 数列求和是高中数学知识的难点之一,也是高考数学内容的重点考察对象之一.传统的数列求和往往是用公式来求,但是对一些非等差、等比数列却是行不通的.本文将针对这种现象,打破常规,运用一定的技巧和变形,如分组求和、裂项求和、逆序相加、待定系数等方法来解决这类问 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 . 关键词 数列;分组;裂项;错位相减;逆序相加;待定系数. 中图分类号 O122.4                           1 引言 数列求和是数列教学的重要内容之一,也是高考数学的重点考察对象.除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的技巧,如某些特殊数列的求和可采用分部求和法转化为等差数列或等比数列的和或用裂项求和法、错位相减法、逆序相加法、递推法等.现总结如下. 2 常用公式法 直接利用公式求和是数列求和最基本的方法,常用的数列求和公式有: 等差数列求和公式: 等比数列求和公式: 3 分组求和法 所谓分组求和就是: 对一类既不是等差数列,也不是等比数列的数列,若将这类数列适当拆开,能分为几个等差、等比或常见的数列,则对拆开后的数列分别求和,再将其合并即可求出原数列的和. 例1 求数列 1+2 ,1+2+3, …, 1+2+3+…+n, … 的前项和. 分析:从研究通项的结构入手,因为,所以可将数列拆开,分组进行求和. 解: 因为       所以                                                            归纳:一般地,若、分别为等差、等比数列,在求前n项和时,可以从通项入手,将通项拆开,然后进行等差、等比的分组,利用等差、等比数列的求和公式求和. 4 裂项求和法 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用,裂项求和的实质都是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项分解(裂项)如: (1)  (2)  (3)  等 例2 在数列中,又求数列的前项和. 解析:            ∴  ∴  数列的前项和                   归纳: 一般地,若数列为等差数列,且公差不为0, 首项也不为0, 则求和: 首先考虑,则. 例3 求数列的前项和. 解析:    ∵      (分母有理化)             ∴                    归纳: 对于分母是二次根式的和, 且被开方数是等差数列,利用乘法公式,使分母上的和变成了分子上的差,从而又因中间项相消而可求. 5 错位相减法 设数列是等比数列,数列是等差数列,则对数列的前n 项和求解,均可用错位相减法. 例4 (2003年高考模拟 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 )已知,,数列是首项为,公比也为的等比数列,令求数列的前n项和. 解析:  ∵                          ∴                                            ①                                                   ② ①-②得                    例5 (2003年北京高考文科)已知数列是等差数列,且令求数列的前n项和. 解析: ∵      ,            ∴            故          ∴    由  得                                                     ①                            ② 将①式减去②式得                           归纳: 当数列的每一项都为两数之积,各项中前一个数组成等差数列,后一个数组成等比数列,具有这样特点的数列就可以采用错位相减法求和,求和的关键是在等式的两边同乘以公比.即:如果和分别为等差、等比数列,要求的前n项和时,可采用错位相减法. 说明:错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题. 6 倒序相加法 如果一个数列与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和,可采用把正着写的和与倒着写的和两个式子相加,就得到一个常数列的和,这一求和的方法称为倒序相加法. 例 6  求和 解析: 据组合数性质将倒序写为:                                                               ① 又                           ②        ①+②得            ∴  例7 求和 . 解析: 令                               ① 将①式中的次序反过来.     则                                                          ② 将①、②式分别相加得                         ∴        7 递推法 例8 已知数列的前n项和与满足:, ,成等比数列,且求数列的前n项和. 解析:  由题意            ∵                        ∴      ∴    即有      ,  ,  … ,        ∴          ∴  说明:本题的常规方法是先求通项公式,然后求和,但逆向思维直接求出数列的前n项和的递推公式,是一种最佳解法. 8 数学归纳法 第一数学归纳法: (1) 已知命题p(1)成立;                   (2) 若命题p(k)成立,则p(k+1)成立; 由命题(1)、(2)可知命题p(n)都成立.     第二数学归纳法: (1) 已知命题p(1)成立;                   (2) 若当时命题p(k)成立,则p(k+1)成立; 由命题 (1)、(2)可知命题p(n)都成立. 应用的注意点: (1) 两步缺一不可; (2) 第二步证明必须要利用归纳假设; 例9 用数学归纳法证明         证明:  i) 当n=2时,左式=,  右式= ∵                ∴  即 n =2时,原不等式成立. ii) 假设时,不等式成立,即             则n= k+1 时, 左边== 右边=,  要证左边右边. 只要证    即证        即                  显然  所以原不等式成立, 即 n =k+1 时成立,左式右式 由i)、ii)可知,原不等式对均成立. 9 待定系数法 类似等差数列,如果是关于n的k 次式,那么他的前n项和是关于n 的k+1次式,且不含常数项,因此,只要求出这个k+1次式的各项系数即可. 例10 求和. 解析:由于通项是n的二次式,则是n的三次式,且不含常数项.设  ,  令 n =1、2、3 得         解得  所以    致谢 衷心感谢李劲老师的悉心指导! 参 考 文 献 [1]  朱海棠.等差数列的一类递推公式[J].武汉华中师范大学出版社, 2003.1 [2]  张智忱.有几种典型的递推公式构造新数列求通项的方法[J].武汉华中师范大学出版社,2002.7.  [3] 刘祖希.等比数列公式的极限分析法[J].湖北大学,2003.5. [4] 阎硕.等差数列的两个性质及其应用[J].湖北大学,2003.6. [5] 陈磊,刘国良.非线性递推数列的求解方法[J].曲阜师范大学,2003.2.                [6]  唐绍友.例说数列通项与项的解题功能[J].曲阜师范大学,2003.5. [7]  董卓立.n类递推数列通项的求法[J].扬州大学,2003.7. [8]  杨美璋.等差数列的一个性质[J].湖北大学,2003.4.      [9]  王荣峰.数列探索性问题的求解策略[J]. 扬州大学,2003.10. [10] 李国梅.数列整体运算的简捷美[J].扬州大学,2003.11. Sequence Summation Certain Commonly Used Methods Yang Bo-Shan    Instructor: Li Jin (Student Number 30, class 6 of 2006,Specialty of Mathematics and Applied Mathematics, Department of Mathematics, Hexi University, Zhangye,Gansu,734000,China) Abstract  One of the difficult points of the mathematics knowledge of high school that several sue for peace, is the key investigation target of the mathematics content of college entrance examination too. It is the traditional sue for peace come ask with formula often several lines,until some is for equal difference,,etc. impractical than several lines. This text will direct against this kind of phenomenon , break the routine , use certain skill and out of shape, such as divide into groups , sue for peace , split item sue for peace, against preface summation, undetermined methods such as coefficient ,etc. solve these kind of problem, summarize as follows now. Key words  Sequence ;Grouping ; Crack item ;Dislocation cancellation ;Go against the preface summation.
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上传时间:2017-09-19
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