抛物线的焦点弦性质

抛物线的焦点弦性质抛物线的焦点弦性质 2【问题】已知抛物线,过焦点F作一直线l交抛物线于A、B, (x,y)(x,y)ypxp,,2(0)1122 【探究1】求弦长|AB|。 ppAB,AF，BF,(x，)，(x，),x，x，p。 121222 AB,x，x，p【结论1】。 12 【探究2】还有没有其他方法求弦长|AB|, ,,？,？ABp2(1)当时,直线L的斜率不存在,此时AB为抛物线的通径,结论得证; ,2 pp,x,y,cot，,y,(x,)tan,,(2)当时,设直线L的方程为:，即:，代入抛物线方程得:,2222...

抛物线的焦点弦性质 2【问题】已知抛物线,过焦点F作一直线l交抛物线于A、B, (x,y)(x,y)ypxp,,2(0)1122 【探究1】求弦长|AB|。 ppAB,AF，BF,(x，)，(x，),x，x，p。 121222 AB,x，x，p【结论1】。 12 【探究2】还有没有其他方法求弦长|AB|, ,,？,？ABp2(1)当时,直线L的斜率不存在,此时AB为抛物线的通径,结论得证; ,2 pp,x,y,cot，,y,(x,)tan,,(2)当时,设直线L的方程为:，即:，代入抛物线方程得:,222222，由韦达定理，由弦长公式得y,2py,cot,,p,0yy,,p,y，y,2pcot,12122p22。 AB,1，cot,y,y,2p(1，cot,),122sin,2p,【结论2】若直线l的倾斜角为，则弦长。 AB,2sin, 【探究3】过焦点的所有弦中，何时最短, 2p2,？sin,1？,2pAB的最小值为。 2p？2,sin 【结论3】过焦点的弦中通径长最小。【探究4】从刚才的解题过程中我们能否发现了A、B两点的坐标关系, 2222()2yyyyP1212，。 yy,,p,,？x,x,？xx,,12121222244ppP2p2【结论4】(1);(2)xx=。 yy,,p12124 【探究5】以AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系, 设M为AB的中点,过A点作准线的垂线AA,过B点作准线的垂线BB, 过M点作准线的 11垂线MM，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知: 1 AA，BBAF，BFAB11，所以二者相切。 MM,,,1222 【结论5】以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。【探究6】连接AF、B F 则 AF、B F有什么关系, 1111 ; ？AA,AF,？，AAF,，AFA？AA//OF？，AAF,，AFO？，AFO,，AFA11111111 同理AFB F。 ,，BFO,，BFB？，AFB,90:？111111 BF。【结论6】AF,11 【探究7】刚才我们证得为直角三角形，那么图形中还有哪些直角三角形, ,AFB11 由“探究5”知M 在以AB为直径的圆上AMBM。 ,？111由“探究6”知为直角三角形，M 是斜边A B 的中点， ,AFB11111 ，？AM,MF？，MFA,，MAF？，AAF,，AFA111111111 ，，MFAB。 ,？，AAF，，FAM,，AAM,90:？，AFA，，AFM,90:？11111111【结论7】AM,BM，MF,AB。 111 进而可得如下结论:以AB为直径的圆与直线AB相切。 11 A、【探究8】点O、B的位置关系, 12yyyyp因为，而， yy,,p21122212kk,,,,,,,oAoB21pxypy111,p22yp222所以，所以三点共线。 k,,,,koAoB12p,p y2 A、【结论8】点O、B三点共线。 1 【类似结论】 (1)B、O、A三点共线; 1 (2)设直线AO与抛物线的准线的交点为B，则BB平行于轴;(2001年高考题) x11(3)设直线BO与抛物线的准线的交点为A，则AA平行于轴。 x11 pp,FA,?,FB,?FA,x，FB,x，【探究9】由抛物线的定义得:。 1222 pp,FA,x，FB,x，【结论9】。 1222 11，【探究10】是定值吗,(2001年高考题) FAFB ,【法1】因为直线l的倾斜角为,过A作AR垂直于x轴,垂足为R,设准线与x轴的交点为R,则1 11cos,,p？,RRAAAFRFFRAF,,,，,，cos,; 1112AFp 11cos，,112，,,同理可得:。？FAFBpBFp 【法2】可利用平行线分线段的比定理证得。 OFOFOFBFOFAF？，,1AF，BF,AB？,,,，而，， AABBAAABBBAB1111 1112？AA,AF,BB,BF又。？，,,11FAFBOFp【法3】直接利用“结论9”，可得证。 112【结论10】。，,FAFBp

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