[指南]一阶线性非齐次微分方程
一阶线性非齐次微分方程
一、线性方程
方程
dy
,,PxyQx()()
dx 1
叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。
Qx(),0如果 ,则方程称为齐次的;
Qx()如果 不恒等于零,则方程称为非齐次的。
a) 首先,我们讨论1式所对应的齐次方程
dy
,,Pxy()0
dx 2
的通解问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
。
dy
,,Pxdx()
y分离变量得
ln()lnyPxdxc,,,,两边积分得
,Pxdx(),yce,,或
其次,我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。
ux()c将1的通解中的常数换成的未知函数,即作变换
,Pxdx(),yue,,
,Pxdx(),PxyuPxe()(),,两边乘以得
dy,PxdxPxdx()(),,,,,(),ueuPxe
dx两边求导得 代入方程1得
,Pxdx()Pxdx(),,ueQx()uQxe(),,,, ,
Pxdx(),ucQxedx,,(),
于是得到非齐次线性方程1的通解
,PxdxPxdx()(),,yecQxedx,,,(),,, 将它写成两项之和
,,PxdxPxdxPxdx()()(),,,yceeQxedx,,,,(),
非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解
【例1】求方程
3
dy2y2(),,,x1
dxx,1
的通解。
322dxdx,,,,,x,1x,12ye[c(x1)edx],,,,,解:
3
22ln(x,1),ln(x,1)2,e,[c,(x,1),edx],
1,22,,,,,()[()]xcxdx11,
1
22,,,,,()[()]xcx121
由此例的求解可知,若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程,求解它只需
套用
公式
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。