衍射透镜衍射效率及光学传递函数

衍射透镜衍射效率及光学传递函数 第 21 卷 第 6 期Vol . 21 ,No . 6 激光技术 1997 年 12 月December ,1997 L A SER T ECHNOL O GY 衍射透镜衍射效率及光学传递函数 殷功杰 薛呜球 () 中国科学院西安光学精密机械研究所 ,西安 ,710068 摘要 : 分析了衍射透镜的衍射效率及其对光学传递函数的影响 ,得出了总的光学传递函数和 各衍射级次光学传递函数之间的加权和关系公式 。最后进行了实例计算和讨论 。 关键词 : 衍射透镜 衍射效率 光学传递函数 Diff ract ive eff ic iency of diff ract ive lenses an d its eff ects on MTF Y i n Gon j ie , X ue M i n gqi u ( ) Xi’an Instit ute of Op tics and Precisio n Mechanics ,Academia Sinica , Xi’an ,710068 Abstract : A weighted sum equatio n ,which describes t he relatio n bet ween t he diff ractive efficiency and modulatio n t ransfer f unctio n of diff ractive lenses ,is derived. According to diff ractive efficiency and op tical t ransfer f unctio n , t he total op tical t ransfer f unctio n can be exp ressed wit h weighted sum of t he series of order op tical t ransfer f unctio ns of diff ractive light s. The weighted factors are t he diff ractive efficiency . We employed t he result s to calculate M TF of various diff ractive lens singlet s and got co nsistent result s wit h t he literat ure 1 . Key words : diff ractive lenses diff ractio n efficiency modulatio n t ransfer f unctio n 一 、引言 用于成象光学系统中的衍射透镜 ,与传统的折射透镜相比 ,较突出的特点之一是除象差 外 ,其衍射效率也必须加以考虑 。本文不想涉及由于位相函数的二阶量化带来的衍射效率问 题 ,而是集中讨论非单色光成象条件下 ,衍射透镜不可避免地出现的多级次衍射现象和衍射效 率问题 。D . Buralli 假设非成象衍射光波在象面上产生均匀分布的光场 ,从而只对光学传递函 1 数的零频成分有贡献。我们则导出了各级次衍射波对总的光学传递函数贡献的加权和公 式 ,并用等效折射率透镜模型进行了实例计算 。 二 、衍射效率计算 λ用于光学系统的衍射透镜 ,一般都 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 成具有轴对称的表面轮廓 。假设设计波长为 时 0 2 4 φ(λπ( ) 所要求的位相透过函数为 :) , r= 2A r+ Gr+d 0 φ φ λ式中 , r 为衍射透镜面上的径向坐标 , 系数 A 和光焦度有关 ,= - 2 A, G 可作为变量在 0 2 4 ( )φ(λ) π1a 光学系统中校正象差 。设 x = A r+ Gr+ 代入上式得 :, x = 2x d 0 πφ即 为 x 的线性函数 。因从位相函数中减去 2整数倍的位相值与原函数是等效的 ,上式变 d ( )φ(λ) π( )1b , x = 2x + m 为 : d 0 φπm = 0 , ?1 , ?2 r为,其取值使| | ?2,为的是保证衍射透镜足够薄 。 x + m = 0 决定的dm 衍射透镜上各环带半径 。位相函数如图 1 中实线所示 。 φid()则透镜的透过系数为 :(λ) 2 t , x = e 0 上式为关于 x 的周期为 1 的周期函数 ,可展开 + ? i2πn x 成傅里叶级数 。( )λ()3 t , x = Ce0 n? n = - ? 当改变入射光波的波长时 ,则位相函数发生变 化 ,从图 1 中的实线变成虚线所示 。原来位相函数 ππαα (λλ)调制 深 度 为 2, 现 在 变 为 2。其 中 = / 0 (λ) (λ) λλλ{ n - 1 / n - 1 } , 为入射波长 ,?。 0 0 πα( )( )φ= 2x + m 4 位相函数也变为 d 2 4 Fig. 1 Phase f unction versus x = A r+ Gr+ ( ) 此式仍为 x 的周期为 1 的函数 。代入 2式得到的 () 透过系数仍能展开成公式 3的傅里叶级数 ,而其中系数 m +1 i2πα( x + m ) - i2πn x π(α) i - nπ α ( ) sin C [( - ) C= ee d x = e n ] 5 n ?m 3 2 ( )( )ηπ(α ) 6 = CC = sin C[-n] 故各级次的衍射效率 n 为衍射级次 n nn λ λη 显然 = 时 ,= 100 % ,0 1 λ λ即理想设计的情况 。?时 , 0 将出现多级次衍射波 。 有时为 了工艺上 更 易 实 现 , π 常使位相函数调制深度为 2的 Fig. 2 The diff ractive efficiency is t he f unctio n of wavelengt h of lenses 整 数 倍 以 增 加 环 带 宽 度 和 深 wit h different p hase t hick mo dulatio n 3度 l , 则 同 样 能 导。设 倍 数 为 a —l = 1 b —l = 2 c —l = 3 2 η(α π) 出() 7 = sin C[ - n/ l l] n 图 2 计算了 l = 1 ,2 ,3 情况下衍射效率随波长变化的情况 ,可见 l 的增加不利于复色光成 (λλ) α 象 计算时忽略材料色散 ,取 = / 。0 三 、衍射效率和光学传递函数 1 ,2 出现多级次衍射光波情况下 ,光学传递函数和衍射效率的关系已有人做过研究。他 们假设所有的非成象光波都在象面上产生均匀分布的光场 。我们则假设每个衍射级次的光波 都在象面上有一定的分布 ,总的光场分布为其叠加 。 ( ) ) ( 假设 h x , y 为第 m 级衍射波的单位脉冲响应函数 , x , y 为象面坐标 ,则总的光波分m 4m = + ?: 布的单位脉冲响应为 ( )( ( ) )8 h x , y= h x , ym ?m = - ? 点扩散函数为 : ? 22 ( )( ) () ( ) | h x , y| 9 I x , y= | h x , y | ? m ? - ? 则光学传递函数为 : ? ? π( )- i2x f + yf x y ( ) ( ) ( ) d x d y I x , y d x d y O TF f , f = I x , y e x y κ κ - ?- ? ? ? + ? ? π( )2 2- i2x f + yf x y ( )( ) ( ) 10 = | h x , y| e d x d y | h x , y | d x d y m m ? ? κ κ - ?- ?m = - ?m = - ? ? 2 因为|h ( x , y ) | d x d y 是第 m 级衍射波能量 。根据衍射效率和光学传递函数的定 m κ - ? 义 ,上式可变为 : 371 第 21 卷 第 6 期殷功杰衍射透镜衍射效率及光学传递函数 + ? η( )( )( )11 O TF f , f = O TF f , f x y m m x y ?m = - ? + ? + ? 式中 , π( ) 2 2- i2x f + yf x y( ) ( ) = | hx , y | d x d y | h O TF x , y | e d x d ym m m κ κ - ?- ? () 为第 m 级衍射光的光学传递函数 。公式 11就是总的光学传递函数与各衍射级次传函之间 的加权和公式 ,权重为各级衍射效率 。 四 、计算举例 5 () 有了加权和公式 11,再把各级衍射都用一个折射率无穷大的薄透镜来等效,就可以 利用现成的光学设计软件来计算各衍射级次的 O TF 了 。具体步骤见文献 5 。我们取 m = Table Paramet ers of diff ractive lenses 0 ,1 ,2 三个衍射级次 ,则加权和公式为 : F/ 10 F/ 4 ηηηO TF = ?O TF+ ?O TF+ ?O TF 1 1 0 0 2 2- 2φλ) ( )( A = / - 2mm - 4 . 1666 - 10 . 4167 10ηη)δ( ( ) (η + 1 - ) - - f , f 12 1 2 0 x y- 5- 43- 42 . 6041 ×10 ×10 4 . 069 φλ ) ( )( G = / 8mm 1 0 δ( ) f , f 为单位脉冲函数 。 x y - 11/ 200 1/ 80 φ( ) mm 1 作为计算实例的衍射透镜 ,取孔径 D = 20 mm , F 数为 F/ 10 , F/ 4 ,物距无穷远 ,要求 5 λ对轴上点校正球差。设计波长 = 600 , 得 0 参数如附表 。 五 、讨论 图 3 是用折射透镜模型计算得到的两个衍 Fig. 3 λM TF at design wavelengt h = 600nm 0 λλ 射透镜在 = 时的调制传递函数 ,轴上点校0 正了球差 ,故所得调制传函实际 上是衍射极限 ,而 1?视场的 M TF 有限大下降 ,这 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 模型计算结 果是正确的 ,因为轴外象差没有 做任何校正 。接着对衍射透镜在 λ 非 设 计 波 长 = 900 nm 处 的 λ()Fig. 4 M TF at no n2design wavelengt h = 900nm o n axis field view M TF 进行了计算 , 如图 4 所 示 。 我们只对轴上点进行了计算 ,发现在高频处 ,两透镜计算结果与文献 1 一致 ;在零频附近低频 处 ,M TF 曲线指数般快速降低到文献 1 中计算结果上 。 在非设计波长处 ,衍射透镜出现的多级次衍射波相当于使光学系统中杂散光增加 。我们 的加权和公式可初步定量估算出杂光量 。 参 考 文 献 ( ) 1 Buralli D ,Mo rris G. Appl Opt ,1992 ;31 22:4389,4396 ( ) 2 Lo ndo no C ,Clar k P. Appl Opt ,1992 ;31 13:2248,2252 ( ) 3 沈忙作 1 光学学报 ,1994 ;14 9:966,969 4 顾德门 J W 著 ,詹达三等译 1 傅里叶光学导论 1 北京 :科学技术出版社 ,1976 :137 ( ) 5 Burralli D ,Mo rris G. Appl Opt ,1991 ;30 16:2151,2158 3 3 3 作者简介 :殷功杰 ,男 ,1966 年 3 月出生 。博士 。从事衍射光学和计算机三维视觉研究工作 。 收稿日期 :1995211227 收到修改稿日期 :1997204212