论文 函数凸性证明不等式的应用
函数凸性在证明不等式中的应用
摘 要
本文首先从解析定义、几何解释和直观描述性定义三个方面介绍了凸函数的定义,随后揭示凸函数的判定定理和凸函数的性质~其中重点把握凸函数的Jensen不等式。在此基础上~建立凸函数框架统一证明初等不等式~并推证一些著名不等式~如Holder不等式等~显示出函数凸性在不等式证明中的重要性,最后进一步研究函数凸性在几何和三角函数不等式中的精巧妙用~以及在数学
分析
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中的应用。
关键词:函数凸性 证明不等式 Jensen不等式
函数凸性证明不等式的应用
1 凸函数的定义
函数凸性的分析定义形式较多,下面给出函数凸性定义的更一般的三种形式。 1.1解析定义
,1.1.1定义 设定义在上。,,及,恒有 x,,0,1,,,,a,bx,,a,b,,fxx,x,,,,1212
,,,,,,,,,,f,x,1,,x,,fx,1,,fx1212, ?
,,fx,,a,b,,,,fxa,b则称为上的凸函数,并称曲线在上是上凸的;如果不等号的方向相反,
,,,,a,bfx那么称函数在上是下凸的。
若不等式当且仅当时成立,则称是在上的严格凸函数。 ,,,,x,xfxa,b12
xx,,,,,,,,fxa,ba,bx,x1212,, 1.1.2定义 设函数在上连续,,,有
,,,,x,xfx,fx,,1212f,,,22,, , ? 那么称函数为上的凸函数,并称函数在上是上凸的;如果不等号的方,,fx,,a,b,,,,fxa,b
向相反,那么称函数在上是下凸的。 ,,,,a,bfx
注:若为区间上的下凸函数,则为区间上的凸函数。从而上凸函,,,,,,1,,,,fxa,b-fxa,b数特征的讨论对下凸函数也适用。
1,,,定义2是定义1中仅取时的情形,从而定义2的条例弱于定义1。 22
1.2几何解释
,, 1.2.1上凸函数是描述平面所定义区域上一条“上凸曲线”,图象的任一弦上fxxOy
的某点,在对应的弧上的点的下侧如(图1)
图1
0
同理,下凸函数的情况只是反向的,即。 ,,fx,,,,,,,,,,f,x,1,,x,,fx,1,,fx1212
1.2.2在初等数学中,函数的凸性可根据图象来判定,如图1-2所示,在上,,,,fxa,b是上凸的,而在上是下凸的。 ,,b,c
2 图
1.2.3在数学分析中函数的凸性是由函数的二阶导数的符号来判定的:对任意的x,,, a,b,
''如果<0,那么,,在,,上是上凸的; fxa,bf(x)
'',,,,如果>0,那么在上是下凸的。 fxa,b,,fx
1.3直观描述性定义
1.3.1如果某函数图像上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方,则相应的函数称为凸函数。
1.3.2如果一个函数的图像上任一点的切线都在图像下方,则相应的函数是凸函数。
2 函数为凸的必要充分条件(即判定定理) 2.1函数为凸的必要充分条件
nSSRxf 设是凸集上的凸函数的充要条件是对任意的,,单变量函数,,y,,,,,,,,0,1g,,f,x,1,,y是上的凸函数。
,0,x,1x,0 证明:(1)充分性:设g()是[0,1]上的凸函数,取,,则对<<1,12
,,,,,,,,,,,,,g1,1,,g0,g,,1,1,,,0,g,有,即
,,,,,,,,,,,fx,1,,fy,f,x,1,,y
1
S故为上的凸函数。 ,,fx
, (2)必要性:设为S上的凸函数,假定,,O<
0,,,取,则 x,x,hFx,fx,h,fx321
fx,fxfx,fx,,,,,,,,3221,x,xx,x3221,0上式可写成 x,x31
F,,,,x,Fx,h,0。 22h
,,,,x,h,x由中值定理,存在,使
''',,,,,,,,,,,,。 Fx,Fx,h,hF,,f,,h,f,h再用一次中值定理,便得
2
2'', ,,,,,,Fx,Fx,h,hf,1
,,xfx111''此即说明0成立,因此。 ,,xfx1,,fx,0,22
,,xfx133
由上定理1,可得出定理2。
'' 2.2.2定理 若函数是内具有一阶和二阶的导数,,恒有,,,,,,,fxa,bx,a,b,,fx,0,则曲线在区间上对定义1、定义2都是上凸的。 ,,,,fxa,b
3 凸函数的性质
''?3.1对任意的,如果<0,那么对任意,,,,都有 xx,,x,,,a,bx,a,b,,fxn12
fxfxfx,,,,,,,,?,x,x,,x?,,12n12n f,,,nn,,
''如果>0,则不等号方向相反。等号当且仅当时成立。 x,x,?,x,,fx12n3.2Jensen不等式
3.2.1定理(Jensen)设,,为定义在定义1的凸函数,则对任意的实数fx
n
,,0,,,且,有 ,,,,x,x,?,x,,i,1,2,?,ni,1,2,?,nx,a,b,,1i,12nii,1
nn,,,,f,x,,fx, ? ,,,,iiii,1,1,,ii
x,x,?,x等号当且仅当时成立。 12n
证明 用数学归纳法。
n,2?时,由凸函数的定义1中的?式
,,,,,,,,,,,fx,,fx,1,,fx,,fx 11222122
,,,,,,,f1,,x,,x,f,x,,x, 21221122
x,x且等号仅在时成立,从而结论成立; 12
n,kx,x,?,x?设时?式成立且等号仅在时成立。 12n
k,1
n,k,1x,x,?,x,x当时,设,,1,, ,12kk,1ii,1
3
k1*记 x,,,x,ii1,,,1i,1k
kk11*则 , x,,x,x,,x,x,,11iikk11,,,,,1,1ii,1,1kk
*从而 ,,x,a,b
kkk,1*i且, ,,,1,,,x,1,,x,,i,iik,11,1,,,i,1i,1i,1k,1k,1
k,1,,*有 ,,,,f,x,f1,,x,,x,,,iik,1k,1k,1i,1,,
* ,,,,,,,1-,fx,,fxk,1k,1k,1
k,,,i,, ,,,, ,1-,fx,,fx,k,1ik,1k,1,,1,,i,1k,1,,
时成立。又由归纳假设,有 等号仅在x,x,?,x12n
kk,,,,ii,,,,fxfx, ,,ii,,1,,1,,i,1i,1,1,1kk,,
因此
k,1k,,,i1 ,,,,,,f,x,,,fx,,fx,,,,iik,1ik,1k,11,,i,1i,1,,k,1
k
, ,,,,,,fx,,fx,iik,1k,1i,1
k,1k,1,,,,f,x,,fx即 , ,,,,iiii,,i,1i,1
,,,,x,x,?,x这时又必有x,xi,1,2,?,kx,x,?,x等号仅在且,从而等号仅在12ki12n
时成立。
综上所述,定理得证。
3.2.2 Jensen不等式还可变形为以下形式:
,,,,,,,x,a,b,,fxa,bi,1,2,?,n 3.2.2.1设函数为上的严格凸函数,,>0,且ii
n,,,,,,,,,?,xxx,,?,,,,,,,fxfxfx1122nn1122nn,,f,,1,则有 ? ,,i,,,,,,?,,,,,,?,,,i112n12n,,
4
成立。当且仅当时等号成立。 x,x,?,x12n
3.2.2.2函数为区间上凸函数,当时,有 ,,,,,,?,,fx12n
nn,,11, ? ,,fx,fx,,,,iinn,1,1,,ii
当且仅当时等号成立。 x,x,?,x12n
4 函数凸性在证明不等式中的应用 4.1在初等数学中,调和平均值不大于几何平均值,几何平均值不大于算术平均值,算术平均值不大于平方平均值
证明上述不等式用到数学归纳法,其实这些不等式可在凸函数框架下统一证明。证明时构造一个恰当的函数则是证明的关键。
xxxn,,?,12nn, 例1:设>0,,证 x,,,xx?xi,1,2,?,ni12n111n,,?,xxx12n
当且仅当所有,,全部相等时,等号成立。 x1,i,ni
证明 要利用Jensen不等式来证明,关键是找出合适的凸函数(观察不等式
xxx,,?,12nn,的形式,易知两边取对数变成 xx?x12nn
xxxxxxln,ln,?,ln,,?,12n12nln,, nn
1'',,fx,这就很容易找到合适的凸函数了。首先考察,,(x>0)的凸性。因为>0,fx,,lnx2x由定理1知,,,,,fx是0.,上严格凸函数。
x,,由Jensen不等式知,当>0,不全相等时有 i,1,2,?,ni
xxxxxx,,?,ln,ln,?,ln12n12nln,,< nn
111,,?,,,xxx111112n,,,ln?,ln,ln,,ln及 < ,,nnxxx12n,,
所以有
xxxn,,?,12nn,,xx?x成立。 12n111n,,?,xxx12n
5
4.2 凸函数的Jensen不等式,可以用来推证许多著名不等式,如:Holder
不等式、Cauchy不等式、平均值不等式、Young不等式等
例:2:(Holder不等式)设,,为正实数,>0,>0,,则 ab,,i,1,2,?,np,q,1pqii
pqnnn,,,,pq, ? ,,ab,ab,,,,,,,iiiiiii,1,1,1,,,,
aaan12当且仅当时等号成立。 ,,?,bbb12n
nn11'''f,,x,,fx,,, 证明 令,,设函数,则,>0,,,fx,,lnxA,aB,b,,ii2xx,1,1ii
可知为严格凸函数。 ,,fx,,lnx
ab11,,xx令,,,, ,,p,,q1212AB
由Jensen不等式?可知:
abab,,iiii, p,q,p,qi,1,2,?,nlnlnln,,ABAB,,
pqaabb,,,,,,i1ii即:, i,1,2,?,n,p,q,,,,,,ABAB,,,,,,
pqpqnnnababab,,,,,,,,,,iiiiii所以:,即 pq,,,1,,,,,,,,,,,,,ABABAB,,,,,,,1,,,,,1i,1ii
整理得Holder不等式:
pqnnn,,,,pq成立。 ,,ab,ab,,,,,,,iiiiiii,1,1,1,,,,
abii,其中当,时等号成立,即为: i,1,2,?,nAB
aaan12,,?,时等号成立。 bbb12n
11ba,,,1 例3:(Young不等式)若>0,>0,>0,>0,>0且,求证: pqpq
pq,abab,,,。 q/ppq,
证明 从所求的不等式的形式来看,不容易直接找到合适的凸函数,因此,我们要对
6
pq,,,ab,,它进行一定的变形。不妨不等式两边同时取自然对数,则有<,由,ln,,lna,bq/p,,pq,,,此很容易找到合适的凸函数。
1''考虑函数(>0),因为>0。 f,,x,,,xfx,,lnx2x
11由定理1知,在>0时为凸函数,因为有>0,>0,,所以,,xfx,,1pqpq
pqpq,,,,,,,ab111,1,,,,,,,ln,,,lna,lnb,, /qp,,,,,,pqppqp,,,,,,,
pqpq,,,ab,,,,111,1,,,,,,,,ln,a,ln,b,,, lnq/p,,,,,,ppqppq,,,,,,,
,,,,1,1,,,, ,lna,lnb,,,,,,pp,,,,
,,,lnab
于是
pq,,,ab,,,,ab,,lnln, q/p,,pq,,,
pq,ab即 。 ab,,q/ppq,
,,1 特别地,当,时,此不等式就是前面例1的结果,即平均值不等式。Youngp,q,2
不等式在泛函分析、偏微分方程中应用很广。
4.3 函数凸性在证明一些几何和三角函数不等式中的精巧妙用
,,,x,0,,例4:设,,证明: p,Rii
px,px,?,pxpx,px,?,pxsinsinsin1122nn1122nn,sin p,p,?,pp,p,?,p12n12n
,,,,0,,证明 取fx,,sinx,它是上的凸函数,由Jensen不等式,得
px,px,?,pxpx,px,?,pxsinsinsin1122nn1122nn,-sin -p,p,?,pp,p,?,p12n12n
px,px,?,pxpx,px,?,pxsinsinsin1122nn1122nn,sin所以 p,p,?,pp,p,?,p12n12n
7
特别地:如果在这个不等式中,令则得 ,,,,1p,1i,1,2,?,ni
xxx,,?,12n; nsin,sinx,sinx,?,sinx12nn
对于三角形的三个内角、、,有 ,,2,,,
,,33,,,sin,sin,sin,3sin, ,,,32
,,,1,cos2x1,cos2x 例5:设,证明:。 x,0,,,,,sinx,cosx,2,,2,,
22sinxcosx22x证明 先将原不等式化为,因为为上的凸,,,,sinx,cosx,2,,0,,,,fx,x
b函数,故当>0,>0时,有 a
a,b1,,, ,,,,,,f,fa,fb,,22,,
22令a,sinx,b,cosx,则
1222,,sincos112a,bx,x,,,,,,,,f,f,f,,, ,,,,,,,,22222,,,,,,,,
22sinxcosx1122,,,,,,,,,,,fafb,,,,sinxcosx而 , ,,,,22
1,cos2x1,cos2x所以 ,,,,sinx,cosx,2
2xa,sinx这道题目很难用初等知识证明,但通过构造凸函数,巧妙地令,,,fx,x
2b,cosx,便可很方便地证得。
4.4 对于数学分析、泛函分析中一些重要不等式,利用函数凸性也可以建立
统一框架,简捷方便地进行证明
,,,,,,,,,,fxa,b,tm,M例6:设在上可积,m,fx,M,是上的凸函数,则
bb11,,,。 ,,,,,,,fxdx,fxdx,,,,aa,,baba,,
nn,,11,,,t,,t证明 由Jensen不等式,有, ,,,,kknn,1,1,,kk
b,a,,令,则有 t,fa,k,,kn,,
8
nnbabababa,,,,1,,1,,,,,,。 fakfak,,,,,,,,,,,,,,,,,,bannbann,,,,,,,1,1kk,,,,由于可积,为凸函数,故可积。 ,,,,,,,,fx,t,fx
上式中令,取极限,即得到 n,,
bb11,,,,,,,。 ,fxdx,,,fxdx,,,,aa,ba,ba,,
特别地,若在上连续,且>0,取,则有 ,,,,,,,,fxa,bfx,t,,lnt
bb11,,。 ln,ln,,,,fxdxfxdx,,,,aa,,baba,,
Hardmard前例结合凸函数的定义,可得不等式:
设是区间上的凸函数,,则 ,,,,,tm,M,,,t,t,m,M11
t1t,t,t,,,,,,t2,,1212,,。 ,tdt,,,,,,t122t,t,,21
5 结束语
本文利用凸函数的定义与凸函数的Jensen不等式这两个重要方面来证明不等式,需要巧妙地构造函数及选取适当的,此法虽具有一定的构造性,但是能使十分复杂的问题迎x
刃而解,这也就是J凸函数奇妙之处。
参考文献:
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